插值与曲线拟合论文

1、拟合及插值问题研究作者：王成龙 指导老师：汪志华摘 要 本文讨论了插值函数的基本概念及线性插值和多项式插值存在唯一性.主要介绍了基于基函数的拉格朗日插值、基于均差的牛顿插值和基于导数埃尔米特插值及三次样条插值.曲线拟合及基于最小二乘拟合的多项式插值和正交多项式插值.关键词 拉格朗日插值 牛顿插值 曲线拟合 最小二乘法1 引 言 函数常被用来描述客观事物变化的内在规律（数量关系）.但在生产和科研实践中遇到的大量函数,却是复杂函数.对于实际中的这些复杂函数,我们希望能构造一个能反映函数本身的特性,又便于计算的简单函数,近似代替原来的函数.解决上述问题的方法有两类:一类是对于一组离散点,选定一个便于

2、计算的函数形式,如多项式函数、分段性函数、有理函数、三角函数等,要求简单函数满足.由此确定函数作为的近似函数,这就是插值方法.令一类方法在选定近似函数的形式时,不要近似函数必须满足,而只要在某种意义下(最小二乘法原理),使近似函数在这些点上的总偏差量最小,这类方法称为曲线拟合.2 插值问题与插值多项式定义1 设为区间上函数，为上互不相同的点，为给定的某一函数类，若上有函数，满足.则称为关于节点在上的插值函数，称点为插值节点；称为插值型值点，简称型值点或插值点;称为被插函数.定义2 已知函数在区间上的个点的值，即已知，寻求一个解析形式的函数，使之满足 .则称为插值结点,为被插值函数，为插值函数，

3、称条件为插值条件，若为次数不超过的多项式，即，则.其中为实数，则称为插值多项式.定理1在个相异结点满足插值条件而次数不高于的多项式是唯一的.2.1 拉格朗日插值多项式给定，构造次数不超过的拉格朗日插值多项式.称为关于的次拉格朗日插值多项式，它满足.其中称为为结点的次插值函数，它满足.设是上关于的次插值多项式，在上有阶连续导数，在上存在，则其余项为.例1 已知函数表00.511.522.5-1-0.7501.2532.25试证明由此构造的拉格朗日插值多项式是一个二次多项式.解 构造，得 将其余结点代入得可知满足所有插值条件.根据唯一性定理，就是所构造的拉格朗日插值多项式.2.2 牛顿插值定义3

4、零阶均差 一阶均差 .二阶均差.2阶均差是1阶均差的均差，可递推阶均差，得.2.2.1 均差（差商）的性质（）阶均差与函数值的关系为.（）均差关于所含结点是对称的，若为的任意排列，则即均差值与结点次序无关. 牛顿插值多项式给定，次数不超过的牛顿插值多项式为.牛顿插值多项式的系数可由以下均差表求得. 插值余项.由插值多项式的唯一性知，因此，牛顿插值与拉格朗日插值有相同的余项表达式，即由此有.例2 已知函数表如下.00.20.40.60.80.19950.39650.58810.77210.9461试求方程的根的近似值.解 采用牛顿插值，作均差表如下：一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0.19950

5、.39650.58810.77210.946100.20.40.60.80.0152281.0438411.0869571.1494250.0736310.1147920.1744920.0718840.1086240.049209按4次牛顿插值公式可得 .等距结点的牛顿插值 若插值结点为等距结点，即，称为步长，表示在上的值，则有等距结点的牛顿插值公式.定义4 令分别称为在点的一阶向前差分和一阶向后差分。由此可递推阶向前差分和阶向后差分为.并规定零阶差分为均差与差分有以下关系，即.差分表 牛顿前插、后插插值公式及其余项牛顿前插公式为.其余项为.牛顿后插公式为.其余项为.例3 设，给出在的值，试

6、用3次等距结点插值公式求及的近似值.解 前插公式 .后插公式 .2.3 埃尔米特插值多项式插值多项式除了满足插值条件外，还要求与被插函数在结点处的导数值相等，即有.上面等式共有个条件可唯一确定次数不超过次的多项式，称之为埃米尔特插值多项式，它用插值基函数可表示为其中，和是插值基函数. 插值基函数和是满足下列条件 的次多项式.容易求得其中，是拉格朗日插值基函数.若在插值区间内存在阶导数，则次艾尔米特插值多项式的余项为其中 特别地，当时，结点为满足条件的艾尔米特插值多项式为.例4 求在上的分段3次埃尔米特插值函数，并估计误差.解 令 ，分点当时，有 误差估计.2.4 三次样条插值定义5 设在上取个

7、互不相同的结点，即给定各结点上的函数值，如果函数在区间上满足下列条件，则称之为三次样条插值函数，简称三次样条：， ；在每个小区间上，都是次数不超过三次的多项式；. 三次样条插值函数的计算.由给定的数据,步长,求出,.由追赶法解三对角方程组（三弯矩方程组），当自然边界条件时，有当边界条件为时，有其中由求出代入式，即 区间上的三次样条函数自然边界条件：已知，特殊情形导数边界条件：. 三次样条插值收敛性设为三次样条插值函数，则有估计式， .其中：.可见，当时，三次样条插值函数及其一阶导数、二阶导数分别一致收敛于被插函数、及.例5 已知函数的数据表：01 234-8-701956求三次自然样条函数并求

8、.解 已知步长，得继而得 由上述可得三对角方程组解得 于是 由此得三次样条函数本题的真实函数是误差为.3 曲线拟合的最小二乘法3.1 最小二乘原理设已知某物理过程的一组观测数据 ， . （1）要求在某特定函数类寻求一个函数作为的近似函数，使得二者在上的误差或称残差 ， （2） 按某种度量标准为最小，这就是拟合问题.要求残差按某种度量标准为最小，即要求由残差构成的残差向量的某种范数为最小，要求，或即为最小，这本来都是很自然的，可是计算不太方便.以通常要求： 或者 （3）为最小.种要求误差平方和最小的拟合称为曲线拟合的最小二乘法.就是说，最小二乘法提供了一种数学方法，利用这种方法可以对实验数据实现

9、在最小平方误差意义下的最好拟合.用最小二乘法求拟合曲线时，必须选择函数类，确定拟合函数的形式，这与所讨论问题的专业知识和经验有关.常，其中，是一组线性无关且已给定的函数，表示组成的函数空间，表示为 （4）此时为线性拟合模型，否则当关于某个或某些参数非线性时，称之为非线性模型.下面给出求解方法.确定出拟合参数，就可得到拟合函数.对于给定的数据，要在给定的函数空间中找一个函数 （5）使满足 （6）这种求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法.称为最小二乘问题的最小二乘解.令性能指标函数 （7）要使达到极小，由多元函数取极值的必要条件 （8）可得方程组 引入记号 （9）则所得方程组表示成， （10）

10、这个方程组成为正则（或正规）方程组或法方程组，写成矩阵形式为 （11）这是一个系数矩阵为对称性方程组.线性无关时，有唯一解， 并且相应的拟合函数 （12）就是满足残差平方和为最小的最小二乘解.在实际问题中得到的观测数据并非是等精度、等重要性的.衡量数据的精度和重要性，常常对数据进行“权”处理，对精度好、重要的数据给予较大的权，否则给予小的权，这就是加权最小二乘法.用加权最小二乘法进行拟合是对于观测数据，要求在某函数类中寻求一个函数，使 （13）为最小.中为一组正数，反映数据特性的权，此时正则方程组仍如式（10），即 只是其中 （14）由以上讨论可知： 对于给定数据，在函数空间中存在唯一函数使残

11、差平方和为最小. 用最小二乘解得系数可通过解正则方程（10）求得. 用最小二乘解来拟合数据，的平方误差为.例6 设已知数据点，分布大致为一条直线，利用最小二乘原理，作拟合直线，该直线不是通过所有点数据而是使残差平方和 为最小.确定直线参数是取式（4）中此时正则方程组（1-11）成为.结束语本课题介绍了复杂函数的两种近似表示形式，多项式插值与拟合及其求法.多项式插值是根据插值条件多项式,多项式拟合是根据最小二乘原理,即“偏差平方和最小”求多项式.拉格朗日适合求固定节点的函数值.牛顿插值可以在计算过程中,根据精度要求逐步增加节点,且计算量小,埃尔米特插值适合导数已知的情况,所有插值多项式的次数都不

12、能太高,否则会出现龙格现象.样条函数光滑性好,但构造和计算较复杂,并且需要求一个三队角方程组.用最小二乘原理进行多项式拟合,适用于根据大量观测数据,寻找变量之间的近似函数关系式.参考文献1 王新和,程世洲,曲线拟合的最小二乘法J，疆职业大学学报,2004,12(2):84-86.2 李桂成，计算方法M,北京,电子工业出版社,2005.10.3 杨泮池,计算方法M,西安,西安交通大学出版社,2005.11.4 马东升,雷勇军,数值计算方法M,2版,北京,机械工业出版社,200.9.5 张韵华,奚梅成,陈效群,数值计算方法与算法M,2版,北京,科学出版社,2006.6 Berden R L, Fa

13、ires J D, Reynolds A C. Numerical Analysis. Apline Press. 1984The study of function fitting and interpolationAuthor: Wang chenglong Supervisor: Wang zhihuaAbstract: The subject of my paper has discussed the basic conception of interpolation function and the uniqueness existed in the linear interpola

14、tion and polynomials interpolation. It has mainly introduced Lagrange interpolation which is based on primary function, Newton interpolation on standard deviation and Hermit interpolation on derivative. It has also studied the piecewise linear interpolation ,the cubic spine interpolation and the curv