数学寒假作业拓展训练

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2、DF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论 ） 是菱形， 是什么特殊四边形？并证明你的结论2、在ABC 中，AB=BC，将ABC 绕点 A 沿顺时针方向旋转得A1B1C1，使点 Cl 落在直线 BC 上(点 Cl 与点 、 ， 沿顺时针方向旋转得 落在直线 点 C 不重合 ， 不重合)， 的位置关系， 理由； (1)如图 9 一，当 C>60°时，写出边 ABl 与边 CB 的位置关系，并说明理由； 如图 ° (2)当 C=60°时，写出边 ABl 与边 CB 的位置关系 不要求说明理由 ； 的位置关系(不要求 不要求说 理由)； 当

3、 ° 中用尺规作图法画 再猜想你在(1)、 中得出的结论是否还成 (3)当 C<60°时，请你在图 9 一中用尺规作图法画出A1B1C1，再猜想你在 、(2)中得出的结论是否还成 当 ° 并说明理由 立?并说明理由 并说明理由3、如图，在ABCD 中，DAB=60°，点 E、F 分别在 CD、AB 的延长线上，且 AE=AD，CF=CB 、如图， DAB=60°， CD、 的延长线上， AE=AD CF=CB =AD， (1)求证 求证： 是平行四边形 (1)求证：四边形 AFCE 是平行四边形 (2)若去掉已知条件的“DAB=60

4、76;，上述的结论还成立吗? 若去掉已知条件的“DAB=60° (2) 若去掉已知条件的 “DAB=60° ， 上述的结论还成立吗 ? 若成立，请写出证明过程； 若不成立，请说明理由 若成立，请写出证明过程； 若不成立，请说明理由4、已知：等边ABC 和点 P，设点 P 到ABC 三边 AB、AC、BC 的距离分别为 h1、h2、h3，ABC 的高为 h。 、已知：等边 ， 、 、 。 ，此时 若点 P 在一边 BC 上（如图 1） 此时 h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h。请直接应用上述信息解决下列问题： ） ， ，可得结论： 。请直接应用上述信息解决下列问题： 、

5、点 当点 P 在ABC 内（如图 2） 点 P 在ABC 外（如图 3）这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请 ） 、 ）这两种情况时，上述结论是否成立？若成立， 给予证明；若不成立， 之间又有怎样的关系， 写出你的猜想，不需要证明。 给予证明；若不成立，h1、h2、h3 与 h 之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需要证明。图1图2图35、 、 如图， ABC 中，AB = AC，D 是 BC 上任意一点， D 分别向 AB，AC 引垂线， 在 上任意一点， 引垂线， 如图， 过 垂足分别为 E，F，CG 边上的高 是 AB 边上的高 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明 （1）

6、DE，DF，CG 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明 ） 在底边的延长线上， （1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由 （2）若 D 在底边的延长线上， ）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由 ） （ AG E BF D C6、如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，AD = 4，P 是 AD 上的动点，PFAC 于 E，PEBD 于 F， 、如图， 上的动点， ， ， ， ，的值 求：PE + PF 的值A E BPD F CO7、如图 l，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AC 上一点，连结 EB，过点 A

7、作 AM BE，垂足为 M，AM 、 上一点， ， 、 ， ， ， ， 求证： 的延长线上， 交 BD 于点 F(1)求证：OE=OF；(2)如图 2，若点 E 在 AC 的延长线上，AM BE 于点 M，交 DB 的延长线于点 F，其它条件不 求证 ； 如图 ， ， ， 如果成立， 给出证明；如果不成立，请说明理由 变，则结论“OE=OF”还成立吗 如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 末用） 则结论“ ”还成立吗?如果成立 （DA O F B M 图1 EA O M BDC 图2CEF8、如图 10，P 是线段 AB 上一点，APC 与BPD 是等边三角形，请你判断 AD 与 BC

8、 相等吗？并证明你的判 、 上一点， 是等边三角形， 相等吗？ ， 断 末用） （末用）A二、条件探索 条件探索 1、如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E,F 分别在 BC,AD 、如图， 在不添加辅助线的情况下， 上，在不添加辅助线的情况下，请你添加一个适当的条FDBEC全等， 件，使 ABE 和 CDF 全等，你添加的条件是，并给出你的理由 并给出你的理由2、如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BDCD，ABCD 且ABC 为锐角，若 AD4，BC12，E 为 BC 、如图， 为锐角， ， ， ， ， 上一点。 分别为何值时， 平行四边形？等腰梯形？直角梯形？请分别说明理由。 上一点

9、。问：当 CE 分别为何值时，四边形 ABED 是平行四边形？等腰梯形？直角梯形？请分别说明理ADBEC3、如图， 如图，矩形 ABCD 中，O 是 AC 与 BD 的交点，过 O 点的直线 EF 与 AB、CD 的延长线分别交于 E、F。 的交点， AB、（1）求证：BOEDOF 求证： BOEDOF 满足什么条件时， 是菱形，并证明你的结论。 （2）当 EF 与 AC 满足什么条件时，四边形 AECF 是菱形，并证明你的结论。F A DO B C4、如图，E 如图，边上的一个动点（ 不重合） ，以 正方形 ABCD 的边长为 1，G 为 CD 边上的一个动点（点 G 与 C、D 不重合）

10、以 CG ，GCEF， 为一边向正方形 ABCD 外作正方形 GCEF，连结 DE 交 BG 的延长线于 H。 1）求证：BCGDCE；BHDE 求证： BCGDCE；BH DCE 2)当点 G 运动到什么位置时，BH 垂直平分 DE? 请说明理由. 2)当点 运动到什么位置时， 请说明理由.A D C H G B F E F5、如图，点 D 是线段 AB 的中点，点 C 是线段 AB 的垂直平分 如图， C 的中点， E 线上的任意一点。DE DF (1)求 线上的任意一点。DEAC 于点 E，DFBC 于点 F，(1)求A DB成为正方形？请说明理由。 证：CE=CF;(2)点 C 运动到

11、什么位置时，四边形 CEDF 成为正方形？请说明理由。 CE=CF;(2)点 运动到什么位置时，是等腰梯形，BCOA，OA=7，AB=4， COA=60°， 6、如图所示，在平面直角坐标中，四边形 OABC 是等腰梯形，BCOA，OA=7，AB=4， COA=60°， 如图所示，在平面直角坐标中， 轴上的个动点， 重合 CP， 点 P 为 x 轴上的个动点，点 P 不与点 0、点 A 重合连结 CP，过点 P 作 PD 交 AB 于点 D (1)求点 的坐标； (1)求点 B 的坐标； (2)当点 运动什么位置时， 为等腰三角形， (2)当点 P 运动什么位置时，OCP 为

12、等腰三角形，求这时点 P 的坐标； 的坐标；AB、BC、CD、 的中点，请添加一个条件， 7、如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点，请添加一个条件，使四 如图， 为菱形，并说明理由 边形 EFGH 为菱形，并说明理由 解:添加的条件： 添加的条件： 理由： 理由：H A G E B C DF如图， 已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm,BC=6cm AB=3cm,BC=6cm 某一时刻， 8、 如图， 某一时刻， 动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以

13、2cm/s 的速度向 A 点匀速运动， 点匀速运动；同时， 点匀速运动， 1 经过多少时间， 问：经过多少时间，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 ？ 9 B CM D NARt 按如图( 所示重叠在一起, 9、如图,把正方形 ACFG 与 RtACB 按如图(甲)所示重叠在一起,其中 AC=2, BAC=600,若把 Rt 如图, 绕直角顶点 按顺时针方向旋转, F,得 ACB 绕直角顶点 C 按顺时针方向旋转,使斜边 AB 恰好经过正方形 ACFG 的顶点 F,得AB C,A E,如图 如图( 所示. C，A B 分别与 AC,AB相交于 D、E,如图(乙)所示. 至少旋转多少度才能

14、得到 说明理由. . ACB 至少旋转多少度才能得到ABC?说明理由. 的重叠部分( CDEF)的面积 若取近似值, 的面积( .求ACB 与ABC的重叠部分(即四边形 CDEF)的面积(若取近似值,则精确到 )0_ A_ G_ A _ E_ G_ D_ C( 甲_ F_ B _ C( 乙)_ FB _三、存在型探索 是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片， 与原点重合， 2、如图， Rt OAC 是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点 O 与原点重合，点 A 、如图， 轴上， 轴上， CAO30? 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，OC= 3 ，CAO30?将 Rt OAC 折

15、叠， 边上， 重合， 折叠，使 OC 边落在 AC 边上，点 O 与点 D 重合，折痕为 CE. 所在直线的解析式； 求折痕 CE 所在直线的解析式； 求点 D 的坐标 上的一点， 的平行线， 设点 M 为直线 CE 上的一点， 过点 M 作 AC 的平行线， y 轴于 交 、为顶点的四 点 N，是否存在这样的点 M，使得以、为顶点的四 ，使得以、 边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点的坐标； 边形是平行四边形？若存在，请求出符合条件的点的坐标； 若不存在，请说明理由 若不存在，请说明理由yCDOEAx图 11代数 一、函数应用题 1、近期，海峡两岸关系的气氛大为改善。大陆相关部门于

16、2005 年 8 月 1 日起对原产台湾地区的 、近期，海峡两岸关系的气氛大为改善。 15 种水果实施进口零关税措施，扩大了台湾水果在大陆的销售。某经销商销售了台湾水果凤 种水果实施进口零关税措施，扩大了台湾水果在大陆的销售 销售。 根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系： 梨，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系： 每千克售价（ 每千克售价（元） 38 37 36 35 20 每天销量（千克） 每天销量（千克） 50 86 52 54 56 千克； 设当单价从 38 元/千克下调了 x 元时，销售量为 y 千克； 千克下调了 元时，间的函数关系式； （1）写出 y

17、与 x 间的函数关系式； ） 千克， 千克， （2）如果凤梨的进价是 20 元/千克，某天的销售价定为 30 元/千克，问这天的销售利润是多少？ ） 千克 千克 问这天的销售利润是多少？ ，凤梨最长的保存期为一个月 （3）目前两岸还未直接通航，运输要绕行，需耗时一周（七天） 凤梨最长的保存期为一个月（30 ）目前两岸还未直接通航，运输要绕行，需耗时一周（七天） 凤梨最长的保存期为一个月（ ， ，若每天售价不低于 千克， 天） 若每天售价不低于 30 元/千克，问一次进货最多只能是多少千克？ ， 千克 问一次进货最多只能是多少千克？ 2、小亮妈妈下岗后开了一家糕点店，现有 千克面粉， 千克鸡蛋，

18、计划加工一般糕点和精 千克面粉， 千克鸡蛋， 、小亮妈妈下岗后开了一家糕点店， 千克鸡蛋； 制糕点两种产品共 50 盒。已知加工一盒一般糕点需 千克面粉和 千克鸡蛋；加工一盒精 千克鸡蛋。 制糕点需 千克面粉和 千克鸡蛋。 （1）有哪几种符合题意的加工方案？请你帮忙设计出来； ）有哪几种符合题意的加工方案？请你帮忙设计出来； 那么按哪一个方案加工， （2）若销售一盒一般糕点和一盒精制糕点的利润分别为 元和 2 元，那么按哪一个方案加工， ）若销售一盒一般糕点和一盒精制糕点的利润分别为 小亮妈妈可获得最大利润？最大利润是多少？ 小亮妈妈可获得最大利润？最大利润是多少？y（） 60 50 40 3

19、03、你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数 、你吃过拉面吗？ O 学知识： 一定体积的面团做成拉面， 学知识： 一定体积的面团做成拉面， 面条的总长度 y(m) 5 10 15 20 25 30 x（分分） 是面条的粗细(横截面积 横截面积)s(mm2)的反比例函数，其图 的反比例函数， 是面条的粗细 横截面积 的反比例函数 象如图所示。 象如图所示。 的函数关系式； 写出 y 与 s 的函数关系式； 面条的总长度是多少米？ 求当面条粗 时，面条的总长度是多少米？ 4、制作一种产品，需先将材料加热达到 60后，再进行操作设 制作一种产品， 60 再进行操作 ，从加热开始计算的时间为

20、分钟） 据 该材料温度为 y（） 从加热开始计算的时间为 x（分钟） 据 ， 了解，设该材料加热时， 成一次函数关系； 了解，设该材料加热时，温度 y 与时间 x 成一次函数关系；停 止加热进行操作时， 成反比例关系（如图） 已 止加热进行操作时，温度 y 与时间 x 成反比例关系（如图） 已 15 加热 5 分钟后温度达到 知该材料在操作加工前的温度为 15， 60 60 分别求出将材料加热和停止加热进行操作时， （1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与 x 的函数 关系式； 关系式； 根据工艺要求， 15 须停止操作， （2）根据工艺要求，当材料的温度低于 15时，须停止操作，

21、那 么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？ 么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？ 5、有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘图 11 是反映所 有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、 乙两个工程队同时进行挖掘 之间关系的部分图象 挖河渠长度 y（米）与挖掘时间 x（时）之间关系的部分图象请 y(米) 解答下列问题： 解答下列问题： 60 甲 米时，用了_小时 _小时 小时时， （1）乙队开挖到 30 米时，用了_小时开挖 6 小时时，甲队比 50 乙 乙队多挖了_ _米 乙队多挖了_米； 30 请你求出： （2）请你求出： 的时段内， 之间的函数关系式

22、； 甲队在 0x6 的时段内，y 与 x 之间的函数关系式； x(时) O 6 2 的时段内， 之间的函数关系式； 乙队在 2x6 的时段内，y 与 x 之间的函数关系式； 图 11 开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队？ 开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队？ 280kg， 190kg， 6、某工厂现有甲种原料 280kg，乙种原料 190kg，计划用这两种原料生产 A,B 两种产品 50 件，已 知生产一件 A 产品需甲种原料 7kg、乙种原料 3kg，可获利 400 元；生产一件 B 产品需甲种原 7kg、 3kg， 3kg， 5kg， 料 3kg，乙种原料 5kg，

23、可获利 350 元 请问工厂有哪几种生产方案？ （1）请问工厂有哪几种生产方案？20 15 10（2）选择哪种方案可获利最大，最大利润是多少？ 选择哪种方案可获利最大，最大利润是多少？ 某厂生产一种零件， 该厂为了鼓励客户购买， 7、某厂生产一种零件，每个成本为 40 元，销售单价为 60 元。该厂为了鼓励客户购买，决定当一 个时，多购买一个， 次购买零件超过 100 个时，多购买一个，全部零件的销售单价均降低 元，但不能低于 51 元。 当一次购买多少个零件时， （1）当一次购买多少个零件时，销售单价恰为 51 元？ 个时， 的函数关系式。 （2）设一次购买零件 x 个时，销售单价为 y 元

24、，求 y 与 x 的函数关系式。 个零件时，该厂获得的利润是多少？ 个零碎件时， （3）当客户一次购买 500 个零件时，该厂获得的利润是多少？当客户一次购买 1000 个零碎件时， 利润又是多少？（利润 = 售价成本） 利润又是多少？（利润 售价成本） ？（ 准备加工后上市销售， 8、某蔬菜公司收购到某种蔬菜 140 吨，准备加工后上市销售，已知每吨蔬菜精加工后的利润为 2 千元， 千元， 千元，粗加工的利润为 1 千元，该公司的加工能力是每天可以精加工 6 吨或粗加工 18 吨. y(千元 千元) （1）请写出这些蔬菜加工后上市销售总获利 y(千元)与蔬菜精加工数量 x（吨）之间的函数关系

25、 式； 如何安排才能使该公司从这批蔬菜中获利最大， （2）如果要求加工的时间不超过 15 天，如何安排才能使该公司从这批蔬菜中获利最大，最大获 利是多少（排工要求取整天数） 利是多少（排工要求取整天数）之间的关系如下表： 某产品每件成本 10 元，在试销阶段每件产品的日销售价 x （元）与产品的日销售量 y （件）之间的关系如下表： 30 25 20 15 的函数关系式 （1）在草稿纸上描点，观察点的分布，确定 y 与 x 的函数关系式 ）在草稿纸上描点，观察点的分布，x （元） y （件）20253035? ?（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少

26、元？ ）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？二、不等式应用题 2、某工厂现有甲种原料 226kg，乙种原料 250kg，计划利用这两种原料生产 A、B 两种产品共 40 、 ， ， 、 件，生产 A、B 两种产品用料情况如下表： 、 两种产品用料情况如下表： 需要甲原料 需要乙原料 7kg 4kg 一件 A 种产品 一件 B 种产品 3kg 10kg 请解答下列问题： 设生产 A 产品 x 件，请解答下列问题： (1)求 x 的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案； 求 的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案； (2)若甲种原料 50 元/kg、乙种

27、原料 40 元/kg，说明 中哪种方案较优？ 若甲种原料 、 ，说明(1)中哪种方案较优？ 3、将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分 5 个苹果，则还剩 12 个苹果；若每位小朋友 个苹果， 个苹果； 、将一箱苹果分给若干个小朋友， 个苹果，则有 个苹果求这一箱苹果的个数与小朋友的人数 分 8 个苹果，则有个小朋友分不到 8 个苹果求这一箱苹果的个数与小朋友的人数 4、 五一”黄金周期间，某学校计划组织 385 名师生租车旅游，现知道出租公司有 42 座和 60 座 名师生租车旅游， 、 五一”黄金周期间， “ 两种客车， 两种客车，42 座客车的租金每辆为 320 元，60 座客车的租

28、金每辆为 460 元 （1）若学校单独租用这两种车辆各需多少钱？ ）若学校单独租用这两种车辆各需多少钱？ 可以坐不满） 而且要比单独租用一种车辆节省租金 ，而且要比单独租用一种车辆节省租金 （2）若学校同时租用这两种客车 8 辆（可以坐不满） 而且要比单独租用一种车辆节省租金请 ） ， 你帮助该学校选择一种最节省的租车方案 你帮助该学校选择一种最节省的租车方案 盘围棋， 盘后， 5、小明和小亮共下了 10 盘围棋，小明胜一盘计 1 分，小亮胜一盘计 3 分.当他俩下完第 9 盘后， 小明的得分高于小亮； 盘后，小亮的得分高于小明.他们各胜过几盘？（ ？（已知比赛 小明的得分高于小亮；等下完第

29、10 盘后，小亮的得分高于小明.他们各胜过几盘？（已知比赛 中没有出现平局） 中没有出现平局） 6、某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共 10 辆，其中轿车至少要购买 3 辆，轿车每辆 7 万元， 、 万元， 万元， 万元； 面包车每辆 4 万元，公司可投入的购车款不超过 55 万元； （1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由； ）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由； （2）如果每辆轿车的日租金为 200 元，每辆面包车的日租金为 110 元，假设新购买的这 10 辆车 ） 每日都可租出， 辆车的日租金不低于 那么应选择以上那种购买方案？ 每日都可租出，要使这 10 辆车的日租金不低

30、于 1500 元，那么应选择以上那种购买方案？综合题如图：矩形的顶点在坐标原点 O，OA 在 y 轴上，A 点坐标为（0，3） ，另一边 OB 在 x 的正半轴上,点 M 是 AC 边 的中点，点 P 是 OB 边上一动点,PFOM，PEBM，垂足分别为 E、F （1）若四边形 PEMF 为矩形，求 B 点坐标； （2）在（1）的条件下，求过 A、M、B 三点的抛物线解析式； （3）在抛物线上是否存在一点 N，使得四边形 AMON 是平行四边形，若存在，求出点 N 的坐标，若不存在， 说明理由。 y3AMCF O PEBx如图，已知抛物线与 x 轴交于 A（1，0） 、B（3，0）两点，与 y

31、 轴交于点 C（0，3） 。 求抛物线的解析式； 设抛物线的顶点为 D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 P，使得PDC 是 等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标;若不存在，请说明理由; 若点 M 是抛物线上一点，以 B、C、D、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点 M 的坐标。y D C M P A OBx第 26 题图如图 13， 已知抛物线经过原点 O 和 x 轴上另一点 A,它的对称轴 x=2 与 x 轴交于点 C， 直线 y=-2x-1 经过抛物线上一点 B(-2,m)，且与 y 轴、直线 x=2 分别交于点 D、E. （1）求 m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证： CB=CE ； D 是 BE 的中点； （3）若 P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点 P,使得 PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. y x=2 B COAxDE 图 13如图 9，在直线 l 上摆放有ABC 和直角梯