几何模型：一线三等角模型

1、一线三等角模型一一. .一线三等角概念一线三等角概念“一线三等角” 是一个常见的相似模型， 指的是有三个等角的顶点在同一条直线三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼， “K 形图” ， “三垂直” ， “弦图”等，以下称为“一线三等角” 。二二. .一线三等角的分类一线三等角的分类全等篇同侧锐角直角钝角异侧相似篇同侧锐角直角钝角异侧三三、 “一线三等角一线三等角”的性质的性质1.1.一般情况下，如图一般情况下，如图 3-13-1，由，由1=1=2=2=3 3，易得，易得AECAECBDE.BDE.2.2.当等角所对的边相等时，

2、则两个三角形全等当等角所对的边相等时，则两个三角形全等. .如图如图 3-13-1，若，若 CE=EDCE=ED，则，则AECAECBDE.BDE.3.3.中点型中点型“一线三等角一线三等角”如图如图 3-23-2，当，当1=1=2=2=3 3，且，且 D D 是是 BCBC 中点时，中点时，BDEBDECFDCFDDFE.DFE.4.4.“中点型一线三等角中点型一线三等角“的变式的变式( (了解了解) )如图如图 3-33-3，当，当1=1=2 2 且且1902BOCBAC时，点时，点 O O 是是ABCABC 的内心的内心. .可以考虑构可以考虑构造造“一线三等角一线三等角”. .如图如图

3、 3-43-4“中点型一线三等角中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，通常与三角形的内心或旁心相关，1902BOCBAC这是内心的性质，反之未必是内心这是内心的性质，反之未必是内心. .在图在图 3-43-4（右图）中，如果延长（右图）中，如果延长 BEBE 与与 CFCF，交于点，交于点 P P，则点，则点 D D 是是PEFPEF 的旁心的旁心. .5 5. .“一线三等角一线三等角”的各种变式（图的各种变式（图 3-53-5，以等腰三角形为例进行说明，以等腰三角形为例进行说明 ）图图 3-53-5其实这个第其实这个第 4 4 图，延长图，延长 DCDC 反而好理解反而好理解.

4、.相当于两侧型的，不延长理解，以为相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题行解题四、四、“一线三等角一线三等角”的应用的应用1.1.“一线三等角一线三等角”应用的三种情况应用的三种情况. .a.a.图形中已经存在图形中已经存在“一线三等角一线三等角”，直接应用模型解题；，直接应用模型解题；b.b.图形中存在图形中存在“一线二等角一线二等角”，不上，不上“一等角一等角”构造模型解题；构造模型解题；c.c.图形中只有直线上一个角，不上图形中只有直线上一个角，不上“二

5、等角二等角”构造模型解题构造模型解题. .体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角一线三等角”来解题来解题. .2.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在张角问题，在 x x 轴或轴或 y y 轴（也可以是平行于轴（也可以是平行于 x x 轴或轴或 y y 轴的直线）上构造一轴的直线）上构造一线三等角解决问题

6、更是重要的手段线三等角解决问题更是重要的手段. .3.3.构造一线三等角的步骤：构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似找角、定线、构相似坐标系中，要讲究坐标系中，要讲究“线线”的特殊性的特殊性如图如图 3-63-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系为了利用这个特殊角导线段的关系，过过 C C、D D两点作直线两点作直线 l l 的垂线是必不可少的的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了两条垂线通常情况下是为了“量化量化”的需的需要。要。上面就是作辅

7、助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握容易掌握. .解题示范解题示范例例 1 如图所示如图所示，一次函数一次函数4yx 与坐标轴分别交于与坐标轴分别交于 A、B 两点两点，点点 P 是线段是线段 AB 上上一个动点一个动点（不包括不包括 A、B 两端点两端点） ，C 是线段是线段 OB 上一点上一点，OPC=45，若若 OPC 是等腰是等腰三角形三角形,求点求点 P 的坐标的坐标.例例 2 如图所示，四边形如图所示，四边形 ABCD 中，中，C=90,ABD=DBC=22.5，AEBC 于于 E，AD

8、E=67.5，AB=6,则则 CE= .例例 3 如图如图，四边形四边形 ABCD 中中,ABC=BAD=90，ACD=45，AB=3，AD=5.求求 BC的长的长.例例 4 如图，如图，ABC 中中,BAC=45，ADBC，BD=2，CD=3,求求 AD 的长的长.一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙.找出相似形，找出相似形，比例不能少比例不能少.巧设未知数，妙解方程好巧设未知数，妙解方程好还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造例 5 如图， 在ABC 中

9、， BAC=135， AC=2AB, ADAC 交 BC 于点 D， 若 AD =2，求ABC 的面积当然有当然有 45或或 135等特殊角等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角，据此也可以构造不同的一线三等角一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种 .大练身手大练身手：例 7：在平面直角坐标系中，已知点 A（1，0） ，B（0，3） ，C（3，0） ，D 是线段 AB 上一点，CD 交y轴于 E，且 SBCE2SAOB（1）求直线 AB 的解析式；（2）求点 D 的坐标，猜想线段

10、 CE 与线段 AB 的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）若 F 为射线 CD 上一点，且DBF45，求点 F 的坐标例 8： 如图， 直线yx2 与y轴交于点 C， 与抛物线yax2交于 A、 B 两点 （A 在 B 的左侧） ，BC2AC，点 P 是抛物线上一点（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 P 在直线 AB 的下方，求点 P 到直线 AB 的距离的最大值；（3）若点 P 在直线 AB 的上方，且BPC45，求所有满足条件的点 P 的坐标yEDCAOBxBxyCAO练 1：.如图，抛物线的顶点为 C（1，1） ，且经过点 A、点 B 和坐标原点 O，点 B 的横坐标为3（1）求

11、抛物线的解析式；（2）若点 D 为抛物线上的一点，且BOD 的面积等于BOC 的面积，请直接写出点 D 的坐标；（3）若点 E 的坐标为（0，2） ，点 P 是线段 BC 上的一个动点，是否存在点 P，使得OPE45？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由BACOxyE课后作业：课后作业：如图，点如图，点 A(0,-1),B(3,0),P 为直线为直线 y= -x+5 上一点，若上一点，若APB=45，求点，求点 P 的坐标的坐标在四边形在四边形 ABCD 中，中，ABC=BAD=90，ACD=45，AB=3,AD=4,求求 AC 的长的长.如图，正方形如图，正方形 ABCD 中，点

12、中，点 E,F,G 分别在分别在 AB,BC,CD 上，上，EFG 为等边三角形，求证：为等边三角形，求证：BE+GC=3BC如图，ABCDBA,且 AC=2BC,求证:CD=2AB.如图，在四边形 ABCD 中，ABC90，AB3，BC4，CD10，DA55，求 BD 的长如图，点 A 是反比例（X0）图形上一点，点 B 是 X 轴正半轴上一点，点 C 的坐标为（0，2） ，点ABC 是等边三角形时，求点 A 的坐标.如图，抛物线yax2bx4 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与y轴交于点 C，直线 l：y12xm 经过点 A，与抛物线交于另一点 D（5，72）

13、，点 P 是直线 l 上方的抛物线上的动点，连接 PC、PD（1）求抛物线的解析式；（2）当PCD 为直角三角形时，求点 P 的坐标；（3）设PCD 的面积为 S，请你探究：使 S 的值为整数的点 P 共有几个，说明理由yxOABCDl1.如图 1,已知直线 y=kx 与抛物线交于点 A（3，6）.（1）求直线 y=kx 的解析式和线段 OA 的长度；（2）点 P 为抛物线第一象限内的动点,过点 P 作直线 PM, 交 x 轴于点 M（点 M、O 不重合）,交直线 OA 于点 Q,再过点 Q 作直线 PM 的垂线,交 y 轴于点 N.试探究：线段 QM 与线段 QN 的长度之比是否为定值？如果是,求出这个定值,如果不是,说明理由；（3）如图 2,若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点,点 E 在线段 OA 上（与点 O、A 不重合）,点 D（m，0）是 x 轴正半轴上的动点,且满足BAE=BED=AOD.继续探