全国高中数学联赛二试

1、2005年全国高中数学联赛试题二此题总分值50分如图，在 ABC中，设ABAC，过A作厶ABC的外接圆的切线I，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D ;交直线1于E、F。证明：直线DE、DF分别通过厶ABC的内心与一个旁心。注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为 旁心。此题总分值50分设正数 a、b、c、x、y、z满足cybz a, az ex b;bxay c.2 x 求函数f (x, y,z)1 x-的最小值.z三、此题总分值50分对每个正整数n,定义函数f(n)当n为平方数,1 - 1当n不为平方数、n240其中x表示不超过x的最大整数

2、，x x x.试求： fk的值.k 12005年全国高中数学联赛试题二参考答案此题总分值50分如图，在 ABC中，设ABAC，过A作厶ABC的外接圆的切线I，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段 AB于D ;交直线I于E、F。证明：直线DE、DF分别通过厶ABC的内心与一个旁心。注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为 旁心。证明：1先证DE过厶ABC的内心。如图，连 DE、DC,作/ BAC的平分线分别交 DC于G、DE于I，连IC,那么由AD=AC , 得，AG 丄 DC , ID=IC.又D、C、E在O A上，1/ IAC= / DAC= / I

3、EC,. A、I、C、E 四点共圆，2/ CIE= / CAE= / ABC，而/ CIE=2 / ICD ,1./ ICD= / ABC.211AIC= / IGC+ / ICG=90 + / ABC ,/ ACI=/ ACB , I ABC 的内心。2 22再证DF过厶ABC的一个旁心.连FD并延长交/ ABC的外角平分线于11,连111、B 11、B I，由1知，I为内心，/ IBI 1=90 =/EDI1 , D、B、11、I 四点共圆，/ BI I1 = / BDI 1=90 -Z ADI 111=Z BAC+ Z ADG -Z ADI= Z BAC+ Z IDG , A、I、I1

4、共线22I1是厶ABC的BC边外的旁心此题总分值50分设正数 a、b、c、x、y、z满足cybza, az cx b; bx ay c.的最小值.求函数f(x, y,z)解：由条件得,b(az cx b)c(bx ay c) a(cy bz a)即 2bcxa2b2c20，b2x2c2bc2，同理，得y2 2 . 2a c b,z2ac2 . 2 2a b c2aba、 b、c、x、y、z为正数，据以上三式知,b2c2a2, a2c2 b2,a2 b2 c2，故以a、b、c为边长，可构成一个锐角三角形ABC，cos A, y cos B, zcosC，问题转化为:在锐角ABC 中,求函数f (

5、cos A、cosB、2 Acos AcosC)=1 cos Acos2 B1 cosBcos C的取小值.cosCcot A, vcot B,wcotC,那么 u,v,wR ,uvvwwu1,且u21 (u2v)(u w), v 1 (u v)(vw), w2(uw)(v w).2 Acos A1cos A2uu21uu21.u22u1( u21 u)u2( . u21 u)lu2 1同理,2cos1cosBv2w2+ (v2vww2)(u2c, x3uu2(u v)(u w)3v-(),2 cos1 cosC2 (uuw w2)w),丄).v wv w1 (uv212vw3w)wuw)v2

6、w2如2uv v2)取等号当且仅当此时,三、此题总分值50分对每个正整数n,定义函数fn0当n为平方数240其中X表示不超过x的最大整数，x x X.试求： f k的值.* 2 2 2 解：对任意 a,k N，假设 k a (k 1)，那么 1 a k 2k,设.a k ,01,那么1a1. a k2k2ka k a k2a k2a k22k务2 2 1让a跑遍区间(k2,(k 1)2)中的所有整数，贝Uk2 a (k 1)2 ai 1(n 1)2n 2kF是f(a)当a 1i 1 i 1 i2k 2kF面计算,画一张2k 2k的表，第i行中，但凡i行中的位数处填写“ * 号，那么这行的i 1

7、 i2k“* 号共竺个，全表的“i2k 2k* 号共个；另一方面，按列收集i 1 i*号数，第j列中，假设j有T (j)个正因数，那么该列使有T (j)个“*号，故全表的“ *号个数共2k2kT(j)个，因此2k=i2kT(j).j 1i 1j 1T(2 n 1) T(2 n)nn 2k那么 f(a)T(j) n T(1) T(2) (n 1)T (3) T(4)i 1i 1 j 115256由此,f (k)k 1(16 k)T(2k 1) T(k)k 1记ak T(2k 1) T(2k), k 1,2,15,易得ak的取值情况如下:k123456789101112131415ak356678

8、6988810710101615因此,f(k)(16 k)akk 1783据定义f (256)2f(16 )0 ,又当k241,242,255,设k152 *(16 r 30),15215,15r2 r 15r31r152 r 15r30，1 30r31 .152 r那么1,k241,242,2 ,255240从那么i 1f(k) 783256f(k)i 1783 15768.2005年全国高中数学联赛加试第2题的探讨本文对2005年的全国高中数学联赛加试第2题的解法及来历作以探讨，供感兴趣的读者参考。题目：设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy bz a ； az cx b; bx ay

9、 c，求函数2 2 2f(x, y,z) - y的最小值。1 x 1 y 1 z一几种迷茫思路的分析这道题目初看起来比拟平易，给人一种立刻想到直接使用Cauchy不等式的通畅思路的惊喜，殊不知，这是一个极大的误区，此题的难度和技巧正好在这里设置了较好的陷阱。思路一：由Cauchy不等式知f (x,y,z)(x y z)2z) u到此，在u0的情况下，力图使用函数思路二：考虑到题目的条件是x、y、z用a、b、c表达的式子：6个变量的1的性质无法得到最小值。x3个等量关系，于是，可根据三个条件等式容易求出f(x)b2c2a2x c2a2 - b2a2 b2 - c22bc2ca2ab因为a、b、c

10、; x、y、z都是正数，所以,a2 b2 c2 0； b2 cu(记u3 x y z 3 u - a2 0; c2 a2-b2 0cosC,从而，结即以a、b、c为对应边可以构成一个锐角ABC令x cosA, y cosB, z合Cauchy不等式有2 A cos A心山1 cosA2fcos B2cos C2(cos A cosB cosC)1 cosB1 cosC3 cos AcosB cosC令 u cosA cosBcosC,那么cos2 Afx，y，Z1 cosAcos2 Bcos2 Cu21 cosB1 cosC因为 u cosA cosBcosC4sin -sin2u cos A

11、 cos B cosC -，2Csin2 23 ?2到此，似乎胜利的曙光就在眼前,立刻想到在区间4,9内使用函数fx2x丄的性质，但x也无法得到最小值，而此的最大值正好与题目的最小值1-由于函数22 Af(x,y,z) cos2 f cos B1 cosA 1 cosB1的对称性，可以猜测其最小值在A=B=C=60时到达一1 cosC22cos C吻合，实际上，这是一条无用的信息说明使用Cauchy不等式过当！，它是答题人再次陷入不能自拔的困境。俗话说得好，失败是成功之母，上面的思路也昭示我们，对原式不能直接使用Cauchy不等式,需要再对原式做更好的更有用的恒等变形，可能是正确的途径。二赛题

12、的解答为证明本赛题，我们先证明如下一个引理。引理：在厶ABC中，求证：2 A 2 B 2 CABCtan tan tan 2 8si n sin sin2 2 2 2 2 2等号成立的条件是 ABC为等边三角形。证明：用向量方法证明如下设i,j,k是平面上的单位向量，且j与k成角为n -A, k与i成角为n -B, i与j成角为n -C,ABC那么，i tan j tank tan 20 ,所以2 2 2tan2 A tan2B tan2 C2 2c丄 A丄 B小2ta n tan cosC2 2C八 _ C丄 A c2ta n tan cos A 2ta n tan cosB 2 22ta

13、nA tan B(12 22si n2C) 2ta n-ta nC(12 2 22sinC A2tan尹忖12sin2B2)c A B2 tan tan2 2B C tan tan2 2C A tan tan 2.AsinA . B . C /24si n sin sin(222 B Ccos cos2 2.Bsin2CAcos cos22.Csin2 ) A B丿 cos cos22 4sinsinsinC2 2 2sin A sinB sinC2 8sinAsinBsinC.2 2 2注意到，在 ABC中有熟知的等式:Atan tan2 2B Ctan tan 2C Adtan tan 1

14、. 2b、 c为对应边可以构成一个锐角ABC令 x cos A, y cos B,cosC,从而f (x, y, z)cos2 Acos2 Bcos2 C1 sin2 A1 sin2 B1 sin2 C1 cos AcosB1 cosC1 4si n2A 2 A cos 2 2 c 2 A2 cos 2B 2 Bcos -2 2c 2 B2 cos 24 si n22 A2 cos 22 C14 si n cos2 22 Co 2 B2 cos 22C2cos2C22 cos2 A 2A / .2A 2 A sin cos 4 sin cos 2 2 2 2A.2sin2B 2 B cos 2

15、2 cos/ 2 B4 sin cos2 2c 2 B2 cos -2从而得证。有了上面的引理，此题的解答就容易多了，下面看此题的解法。 解：同思路二得到，以 a、2 C 2 C sin cos 一 2 22 C 2 C4sin cos 2 2o 2C2cos A2A232323212等号成立的条件显然是 A=B=C=601 2(ta n2!(ta n221 ABC (2 8sin sin sin )2 2 2 2+ 2 Btan 2 + 2 Btan2BEC) 2(sinC、所以，f(x, y,z)显然，在 A2 A . 2 B . 2 C. sin sin ) 2 2 22 cABCtan

16、 )2(12 sin sin sin )2 2 2A . B . C、2(12 sin sin sin )2 2 20时到达，最后一个不等式是根据引理而得到的。 的最小值为1.1 z2A600时，等号成立，所以f (x, y, z)的最小值为一2三.背景探索早在1994年，华东交大刘健先生就提出了如下猜测命题:22rcos Acos B在厶ABC中，是否有：2222 -sin B sin C sin C sin A2cos C2 2sin A sin B后来，湖南师大附中黄军华(现为深圳中学教师) 请看证明：分两种情况先生在文1曾证明了这一猜测。(1)当厶ABC为钝角三角形时，此时不妨设A 9

17、00, 于是a2b2所以 sin2 A sin2 B sin2C 2 cos2 Bcos2 C22小cos B cos C21 cos A再据 si nA sin B , si nA sin C，所以,2 Acos Asin2 B sin2Ccos2 A2 2 cos Bcos C2 2 2 2 sin C sin A sin A sin Bcos2 C2 2 2 2 sin B sin C sin A sin Bcos所以, Asin2 A sin2Ccos2 Csin2 A sin2 Bcos B cos2 C 1A 一 2 A 一一 2 A 2 A2典cos A2 2cos A 1 si

18、 nAcos 2sin -24 si ncos 2 22 sinBsin2 C2cos2 A2 cos2 2 cos2 A2 22112 Atan2 -2 sin2 -2222从而cos Acos Bcos C.: sin2 2B sinCsi n2C si n2Asin A sin2 B2 -2cos AcosBcos C2 A c 22 C2 cos 2 cos 2 cos 22231 2 (ta nA+2 Btan tan2C)2(sin2 A.2 sinB . 2 sinC2222222231A . B.C“c A.B.C、1(28sinsinsin)2(1 2si nsinsin )222 222222即三角形为非钝角三角形时结论也成立，综上结论得证。比照之后的表达与今年的这道竞赛加试第 2题的解法，不难知道，今年的这道赛题无非是在 的第2种情况的根底上增加了一个解方程组的程序并由此判断ABC为锐角三角形罢了，即今年的这道加试题可以看作是由解方程组初中知识的要求，判断三角形种类、与求最值高中知识的要求三个问题的简单合成串联 。顺便指出，的证明曾经是上世纪1990年前后在文2等刊物上讨论过几年的一个结论。四条件等式的几何解释比照条件等式cy bz a ; az cx b;bx ay c 注意 a、b、c、x、y、z 为正数与厶ABC中的斜射影