第二十一章一元二次方程复习课

1、一一元元二二次次方方程程一元二次方程的定义一元二次方程的定义一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程的应用一元二次方程的应用方程两边都是整式方程两边都是整式ax+bx+c=0ax+bx+c=0（a a 0 0）只含有一个未知数只含有一个未知数求知数的最高次数是求知数的最高次数是2 2配配 方方 法法求求 根根 公式法公式法直接开平方法直接开平方法因因 式式 分解法分解法224204bbacbxcaa当时 ,0 00ABAB化 成或20 xm mxm 化成二次项系数为二次项系数为1，而一次项系数为偶数，而一次项系数为偶数20 0axbxca化 成 一 般 形 式一元二次方程的概念：一元二

2、次方程的概念：1.1.下列方程中是一元二次方程的是（下列方程中是一元二次方程的是（ ）A A、2 2x x1 10 0 B B、y y2 2x x1 1 C C、x x2 21 10 0 D D、1xx12C C2.2.关于关于x x的方程的方程 是一元是一元二次方程，求二次方程，求m m的值。的值。073) 2(22xxmm一元二次方程三要素一元二次方程三要素: :1.1.一个未知数一个未知数. . 2.2.含未知项的最高次数是含未知项的最高次数是2 2次次. .3.3.方程两边都是整式方程两边都是整式. .二次项的系数不等于二次项的系数不等于0.0.注意注意: :m=-2一、一元二次方程的

3、概念一、一元二次方程的概念引例：判断下列方程是不是一元二次方程引例：判断下列方程是不是一元二次方程（1）4x- x + =0 （2）3x - y -1=0 （3）ax +x+c=0 （4）x + =0注意：一元二次方程的注意：一元二次方程的 三个要素三个要素1、已知关于、已知关于x的方程（的方程（m-1）x+（m-1）x-2m+1=0，当，当m 时是一元二次方程，当时是一元二次方程，当m=时是一元一时是一元一次方程。次方程。2、若（、若（m+2）x 2 +（m-2） x -2=0是关于是关于x的一元二次方程则的一元二次方程则m 。是是不是不是不是不是1 2-1213不一定不一定x13 3若关于

4、若关于x的一元二次方程方程（的一元二次方程方程（k1）x2+4x+1=0有两个有两个不相等的实数根，则不相等的实数根，则k的取值范围是（）的取值范围是（）Ak5 Bk5，且，且k1 Ck5，且，且k1 Dk5用适当的方法解下列方程用适当的方法解下列方程 24310 xx 2130 xx 22 (21)90 x 2341xx 2130 xx因式分解法：因式分解法：1.1.用因式分解法的用因式分解法的条件条件是是: :方程方程左边左边能够能够分解为两个因分解为两个因式的积式的积, ,而而右边等于右边等于0 0的方程的方程; ;2.2.形如形如: :ax2+bx=o(即常数即常数C=0). .因式分

5、解法的一因式分解法的一般般步骤步骤: :一移一移-方程的右边方程的右边=0;=0;二分二分-方程的左边因式分解方程的左边因式分解; ;三化三化-方程化为两个一元一次方程方程化为两个一元一次方程; ;四解四解-写出方程两个解写出方程两个解; ; 22 (21)90 x直接开平方法：直接开平方法：1.1.用开平方法的用开平方法的条件条件是是: :缺少一缺少一次项的一元二次方程，用开平方次项的一元二次方程，用开平方法比较方便法比较方便; ;2 2. .形如形如: :ax2+c=o (即没有即没有一次项一次项). . a(x+m)2=k 2341xx配方法：配方法：用配方法的用配方法的条件条件是是:

6、:适应于适应于任何一个一元二次方程，但是任何一个一元二次方程，但是在没有特别要求的情况下，除在没有特别要求的情况下，除了形如了形如x2+2kx+c=0 用配方法用配方法外，一般不用外，一般不用;(;(即二次项系即二次项系数为数为1 1，一次项系数是偶，一次项系数是偶数。）数。）配方法的配方法的一般一般步骤步骤: :一除一除-把把二次项系数二次项系数化为化为1(方程的两边同方程的两边同 时除以二次项系数时除以二次项系数a) 二移二移-把常数项移到方程的把常数项移到方程的右边右边;三配三配-把方程的左边配成一个把方程的左边配成一个完全平方式完全平方式;四开四开-利用利用开平方法开平方法求出原方程的

7、两个解求出原方程的两个解.一除、二移、三配、四开、五解一除、二移、三配、四开、五解. .公式法：公式法：用公式法的用公式法的条件条件是是: :适应于适应于任何一个一元二次方程，先将任何一个一元二次方程，先将方程化为一般形式，再求出方程化为一般形式，再求出b2-4ac的值，的值， b2-4ac0则方则方程有实数根，程有实数根， b2-4ac0 时，方程有两个不相等的时，方程有两个不相等的实数根；实数根；当当b2-4ac=0 时，方程有两个相等的时，方程有两个相等的实数根；实数根；当当b2-4ac0 时，方程没有实数根时，方程没有实数根. 公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，公式法虽然是

8、万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用虑能否应用“直接开平方法直接开平方法”、“因式分解法因式分解法”等等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）配方法）练习练习 ：一元二次方程的解法：一元二次方程的解法1、请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程、请你选择最恰当的方法解下列一元二次方程（1）、）、3x2-5x=0 （2）、）、3x -1=0 （3）x（2x +3）=5（2x +3）（）（4）3(x-2)2=9 （5）、）、x - 3 x +2=0

9、 （6）22132yy293033622aaxxa的一个根，则是方程、若mnnnmxxn），则一个根（是方程、0072形式，则的）请用配方法转化成（、nmxxx22, 02489、请写出一个一元二次方程，、请写出一个一元二次方程，它的根为它的根为-1和和211-12)2(2x(x+1)(x-2)=0 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式acb42002acbxax042acb000两不相等实根两不相等实根两相等实根两相等实根无实根无实根一元二次方程一元二次方程 根的判式是: 002acbxax判别式的情况根的情况定理与逆定理042acb042acb两个不相等实根两个不相等实根 两个相等

10、实根两个相等实根 无实根无实根(无解无解)三三、例例1：不解方程，判别下列方程的根的情况：不解方程，判别下列方程的根的情况（1）04322 xx（3）07152xx（2）yy2491620414243422 acb解：解：（1） = 判别式的应用:所以，原方程有两个不相等的实根。所以，原方程有两个不相等的实根。说明说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出，然后对，然后对进行计算，使进行计算，使的符号明朗化，进而说明的符号明朗化，进而说明的的符号情况，得出结论。符号情况，得出结论。1、不解方程，判别方程的根的情况 一元二次方程的应用：一元

11、二次方程的应用：面积类应用题：面积类应用题：1.1.（0909年甘肃庆阳）年甘肃庆阳）如图，在宽为如图，在宽为2020米、长米、长为为3030米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地若耕地面积需要余下部分作为耕地若耕地面积需要551551米米2 2，则修建的路宽应为（）则修建的路宽应为（）A A1 1米米 B B1.51.5米米 C C2 2米米 D D2.52.5米米A A面积类应用题：面积类应用题：2.2.（0808十堰十堰）如图，利用一面墙（墙的）如图，利用一面墙（墙的长度不超过长度不超过45m45m），用），用80m80m长的篱笆围一长的

12、篱笆围一个矩形场地个矩形场地怎样围才能使矩形场地的面积为怎样围才能使矩形场地的面积为750m750m2 2? ?能否使所围矩形场地的面积为能否使所围矩形场地的面积为810m810m2 2，为什么为什么? ?BADC墙墙3 3在直角墙角在直角墙角AOB（OAOB，且，且OA、OB长度不限）长度不限）中，要砌中，要砌20m长的墙，与直角墙角长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形围成地面为矩形的储仓，且地面矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为的面积为96m2（1）求这地面矩形的长；）求这地面矩形的长；（2）有规格为）有规格为0.800.80和和1.001.00（单位：（单位：m）的地）的地板砖单价

13、分别为板砖单价分别为55元元/块和块和80元元/块，若只选其中一种地块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？一种规格的地板砖费用较少？增长率类应用题：增长率类应用题：3.3.（0909兰州）兰州）20082008年爆发的世界金融危机，年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机。受金融危机的影响，某商品原价金融危机。受金融危机的影响，某商品原价为为200200元，连续两次降价元，连续两次降价a a后售价为后售价为148148元，元，

14、下面所列方程正确的是下面所列方程正确的是( )( )A.200(1+aA.200(1+a) )2 2=148; B.200(1-a=148; B.200(1-a) )2 2=148; =148; C.200(1-2aC.200(1-2a)=148; D.200(1+a)=148; D.200(1+a2 2)=148; )=148; B B2 2为了经济发展的需要，某市为了经济发展的需要，某市2014年投入科研经年投入科研经费费500万元，万元，2016年投入科研经费年投入科研经费720万元万元（1 1）求）求2014至至2016年该市投入科研经费的年平均年该市投入科研经费的年平均增长率；增长率

15、；（2 2）根据目前经济发展的实际情况，该市计划）根据目前经济发展的实际情况，该市计划2017年投入的科研经费比年投入的科研经费比2016年有所增加，但年增年有所增加，但年增长率不超过长率不超过15%，假定该市计划，假定该市计划2017年投入的科研年投入的科研经费为经费为a万元，请求出万元，请求出a的取值范围的取值范围A AB BC CP PQ Q（1 1）用含）用含x x的代数式表的代数式表示示BQBQ、PBPB的长度；的长度；（2 2）当）当X X为何值时，为何值时，PBQPBQ为等腰三角形；为等腰三角形；（3 3）是否存在）是否存在x x的值，使得四的值，使得四边形边形APQCAPQC的面积等于的面积等于20cm20cm2 2？若？若存在，请求出此时存在，请求出此时x x的值；若不的值；若不存在，请说明理由。存在，请说明理由。其它类型应用题：其它类型应用题：4.4.如图，如图，RtRtABCABC中，中，B=90B=90，AC=10cmAC=10cm，BC=6cmBC=6cm，现有两个动点