三角函数最值或值域地求法

1、实用文案三角函数最值或值域的求法三角函数的最值问题是本章的一个重要内容，要求掌握求三角函数最值的常见方法。类型一：利用sin x <1 cosx <1这一有界性求最值。例1 ：求函数y = sin x1的值域。2 -sin xsinx -12 y 1,解：由y = 变形为(y+1) Si nx = 2 + 1知y # 1 ,则有sin x =，由2 -sinxy 12y 12 y 1 2222|sin x H 51=|的值域是y -2,0 M1= (2 y+1) 2 W (y +1) 2= - <y M0 ,则此函数y 1y 13标准文档类型二：y=asinx+bcosx型。

2、此类型通常可以可化为y = asinx+bcosx=4a2+b2(x+呼)求其最值(或值域)。例 2：求函数 y = sin(x -) +sin(x + ) (xR)的最值。63立不、，,， 瓦、， 冗、 匚7， 冗、 冗 匚.， 冗、 一一斛法 1 ： y =sin(x-)+cos(x-)= 42sin(x-)+ = V2sin(x + )，函数的最大值 666412为。2,最小值为J2。分析 2：运用公式 sin ( a ± (3 ) = sin a cos B ± cos a sin (33 1. 3 1解法2： y =-sinx+-cosx.函数的最大值为 引2,最

3、小值为J2。22分析3：观察发现角(x+土)与角(x -)的差恰好为 三，故将(x-土)看成基本量，将函数化归 3626JT为同一角(x二)的函数式。6解法3:(运用和差化积公式)JlTL /TlfI-y =2sin(x +)cos(-) =42sin(x+一)，函数的最大值为 "2,最小值为一42。12412类型三：y =asin2 x+bsin x + c(a #0)型。此类型可化为y = at2+bt+c(a # 0)在区间-1,1 上的最值问题。例3:求函数y = cos2 x +，,r3 sin x +1 ( x亡R)的最值分析：转化为一个角的同一种函数sinx ,将问题化

4、归为“二次函数”的最值问题，用配方法。2 -.-3 29斛：y =1 -sin x 3sin x 1 = -(sin x -) 一24.函数的最大值为 9,最小值为45-2.34例 4:求函数 y = cos2 x 十 <3a sin x +1 (aR, xR)的最大值。解：y = cos2 x + J3asin x+1 转化为 y =-sin2 x + J3a sin x+ 2 配方得：3 23 2y - -(sin x -a) a 2 243,2、.3当a >1,即 a >时，在 sinx= 1,即 x = 十2kn(k w z)时，ymax =十3a + 1232rr当

5、a <一1 时，即 a<时，在 sinx= t,即 x =- +2kn(kw z)时，ymax = r'3a+1 232当 一1 wYla E1 ,即一"E a E 撞时，在 sin x = Y3a ,即 2332,3,.3,3 2x =2kn+arcsina 或 x =2kn + 兀arcsina(k=z)时，ymax = a +2224类型四：y =asin2 x +bsin x cosx +c(a =0)型。此类型可利用倍角公式、半角公式进行降次、整理，再利用辅助角公式求出最值。2 一 一 2 一 一.二 7.,例5：求函数f(x)=543cos x+v3s

6、in x-4sin xcosx(一 x E)的最值，并求取得最值 424时x的值。分析：先化简函数，化成一个角的一种函数再由正弦，余弦函数的有界性，同时应注意角度的限定范围。1 -cos2x -.八 2sin 2x解：由降哥公式和倍角公式，得一、c 1 cos2x :一 f (x) =5.3 32=2，3cos3x -2sin2x 3.371f= 4cos(2x ) 3.36二 7 二2 二二 3 二 .2 一 二、1< x < ,<2x + <,一Mcos(2x + <)4243642627 -：二f (x)的取小值为3v3 22 ,此时x = , f (x)无

7、最大值。24asin x b类型五：f (x)=型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：转化为ccosx dasin x +bcosx = c再利用辅助角公式求其最值；利用万能公式求解； 采用数形结合法 (转化为斜率问题)求最值。例6:求函数y =sin x的值域。cosx -2解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q点的直线位圆相切时得斜率便是函数y= s1nx 得最值,由几何知cosx -233求得过Q的两切线得斜率分别为 上、。结合图形可知,33P(cosx, sinx)与定点 Q(2, 0)OQx所确与单识，易此函数的值域是-二3

8、解法2：将函数ysin xcosx -2变形为 y cosx -sin x = 2y , sin( x + 4)=,2 yJ y2|sin(x - 二)| 二|2y|-JUJ=<1=> (2y)2 <1+y2,解得:,33,T解法3:利用万能公式求解：由万能公式2t1 -t2sin x =2 , cosx =21 t1 t，代入ysin x得到2ty =r-2-1 -3t则有3yt2 + 2t + y = 0知：当t =0,则y = 0,满足条件；当t#0,cosx - 2人2.334b皿"，上口 =412y至0, 二 E y E,故所求函数的值域是33。解法4:利

9、用重要不等式求解：由万能公式- 2tsin x =；1 t21-t2cosx =21 t2，代入sinx得到2ty = -2"当t=0时，则y=0,满足条件；当t#0时,-1 -3t21(;3t)0,则 y = 1 = 一%3t (3t)tt2.3(-:(训 2. (；)(3t)= Y3,此时有OcywY3。综上：此函数的值域是 1，乌。333 3类型六： 含有sinx±cosx与sinx cosx的最值问题。解此类型最值问题通常令t = sinx±cos(,t. mb类型七： 形如y =sin x cos *或丫 = 2$ x + n (0 < x <

10、;n，a,b >0)型函数最值问题。 sin x构造条件并利用均值不等式求解。例8:求下列函数的量值并说明当x为何值时，取得最值。2y = cos x sin x , x0,1)； 2 =1 ±2sinx cosx , -<2 <t <<2 ,再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。例7：求函数y=sinx cosx+sin x + cosx的最大值并指出当 x为何值时，取得最大值。解法 1: y =sin x cosx +sin x + cosx =1 . sin 2x + J2 sin(x+)，当 sin 2x = 1,且242x = 2kn 十一

11、22 sin(x +)=1, IP2 (k w z),斛得 x = 2kn + (k = z),4n_44x+ =2kn+ l4219斛法 2：设 t=sinx +cosx,则 t = %2 sin(x+)，tur2,j2，sin xcosx = (t -1) 421 21 , 一 ， y (t T) t (t 1) - 122当 t Wr21时，函数 y 是减函数y -1,1_<122;当 t w 1, $2时，函数 y 是增函数y w 1,1 + J21 11y e-1,- -V2U-1,- +72即 y w -1, + 向2 22当 t = 42 时，y =1 + 我 ,即 sin

12、 x + cosx = 72 ,21-斛得，-x = 2kn +(k 匚 z)时，ymax=+、2。2. 2(1) y =tan x +4cot x ；分析：观察发现可以用重要不等式求其最值。42解(1) ; tan2 x 至0 , cot2 x >0 ,，y =tan2 x+4cot2 x 至 2 tan x 2cot x = 4 当且仅当tanx=2cotx,即 tgx = ±J2时，等号成立， x = kn ±arctg J2 , (kz),即当 x =kn ±arctg J2(k z z)时，y有最小值，最小值为 4,没有最大值。22(2) . x

13、= (0,)sin x >0 , cos x 之022.4、，2、，2. 421.2.2-2、-y =s1nx cos x , . y =sin x cos x = - (sin x sin x .2cos x)1 sin2 x sin2 x 2 cos2 x 31 2 34-()=()二一x (0,-)232 327当且仅当sin2 x = 2cos2 x时等号成立，: cos2x=0时，显然sin2 x 2cos2 x ,sin2 x = 2 cos2 x 可得 tg 2x = 2 ,即 tgx =应,解 x = kn + arctg 72( k = z),，当 x =kn+arct

14、g J2(k w z)时，y2r 、一2 Jr当x = arctg n2 , y有最大值 ,9类型九：条件最值问题。24W , 1 x 匚(0,一)，二 '匚(0,72y无最小值。2.39例 9：已知 3sin2 a +2sin2 B =2sinc(,求 y = sin2 a + sin2 P 的取值范围。分析：用函数的思想分析问题，这是已知关于 sin a , sin B的二元条件等式求二元二次函数的值 域问题，应消元，把二元变一元，注意自变量的范围。解：.， 3sin2a +2sin2 P =2sino( , sin 2 P =9sin2a+sina 23.2 上. sin a +

15、 sin a 圭 02 « 2解得 0 W sin o( < - 3 sin 2 a + sin a <13L 2八. 2. 0 < sin« <-。32. 2 .1 . 2.121- y = sin 工- sin - 二 一一sin 工' sin - =(sin ”-7)22224一 . 2241' sin a =0 时，ymin = 0 ； sin 口 = 一时，ymax = 一 ，0 E sin 口 +sin P M一。399例10：求函数y = 77 +的最大值和最小值，并指出当x分别为何值时取到最大值和最小值。解：义域为0W xW 1 ,可设x = cos2 x且0 W日W21 - x = 1 - cos2 e=sin2e, 0W8W 一2y - . cos2 sin2 - JJJ"=sin - cos- -、2sinQ