证明数列不等式之放缩技巧及缩放在数列中的应用大全

1、证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用大全证明数列型不等式，其思维跨度大、 和挑战性。这类问题的求解策略往往是: 特征，抓住其规律进行恰当地放缩.一、利用数列的单调性构造性强，需要有较高的放缩技巧，充满思考性通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其例 1.证明：当 n 之6,nwZ 时，n(n +2) <1 .2n证法一：令cn = n(y2) (n >6)，则 cn4cn =(n 1)(n 3) n(n 2)所以当n之6时，a中a .因此当n之6时,2n 16 82ncn - c6 = T64旦：1.4于是当n至6时，号"证法二：可用数学归纳法证.(1)

2、当n = 6(2)假设当n =k(k之6)时不等式成立，即6 (6 2)，26k(k 2)1 I.2竺=刍1成立.64 4则当n=k+1时,(k 1)(k 3) k(k 2) (k 1)(k 3)2k 1由(1)、(2)所述,当n6时,2kn(n 1);：二 1.222k(k 2),1.(k 2)L2k二、借助数列递推关系例2.已知an =2n-1.证明:-1a2-Ill a3an 1证明:12n 1 -12n -1an11 S a2a3例3.已知函数f(x)=试比较(2)设数列分析:an 1< + - +a22 a2n -1a25 2x,设正项数列16 -8x5an与的大小，并说明理由

3、;4an1满足 a1=l , %由=f (an ).I 1 满足 bn =1 - an41 一记Sn=乙bi.证明：当n>2时,SnV (2 id4比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。解：(1)因为 an A0,an+0,所以 16 8an >0,0 <an <2.因为一16_8an 4,5、48(an - 4)332(2-an)2a n4,因为2 -an A0,所以an卡2 -an5an 一一同方,45 a14<0,a2<0, a3 <0,，an45< 0,即 an <4一 5(2)当 n 之2 时，bn =5

4、 -ann 4 n2 2-a2 2-ambn 1 = 2b所以 bn <2 bn22 0 2 ：,W ；2nb,11所以 Sn -b1 b2 HI bn423 .n1(1-2n)41 -2(2n -1).一 ，一一1例4.已知不等式-2.1 .-T" "T"311+ a-log 2 n,其中n为不大于n 22的整数，log2 n表布不超过102 g的整数。设项为正a1 = b(b 0), an _nan(n - 2).证明:证明:由ananan 1n annan/曰得：n and1.1 (n -2), n以上各式两边分别相加得:anb n n -1an ：:

5、：2b2 b1og 2n三、裂项放缩例5.求证:6n(n 1)(2n 1)二1an ：二2b2 blog 2 n'n =3,4,5：ana1 nn -1a2a1解析：因为12 :n 2nV 111乂 1 1 1 一L24 9 n211b 210g2n =2 b1og 2 n2b(n -3).、所以2n -1 2n 1治 门"1-12n -1 2n 111-1 2 3 3 4=1n(n 1)当n之3时，n 6n ，当n =1时， 6n 1十1十1).十1 , 门 (n -1)(2n 1)(n - 1)(2n - 1) -4 9 F当 n=2 时，6n .1J 4-1，所以综上有

6、6n.1.1 .15.<1 "T"- -T-十 "T"-2- V I -T- T T"T-2 工一(n 1)(2n 1) '4 9 n(n - 1)(2n 1) -4 9 n 3I .1例 6.已知 an =2n +1 f(x)=2xi 求证：Tn=b1f(1) + b2f (2)十+bnf(n)<.2n 1 1 - 2n 1162n 1 2n 1 1 2 2n 1 2n 1 1证明：由于 bnf n =1 2n 1 =-2n 1 212,1111111Tn=bf(1)也 f(2)+川+b1f(n)-,2 +23 + + -

7、11II 21(,1 -2 1 221 22 1 232n 1 2 Tn 12 12 2例7.已知f (X) = X数列an的首项a1求证:an书 >an ;(2)求证:1 nA6时1廊12 , an 1 二 f(an).1 1+ +1 a21 an:二 2证明:(1)2an 由一anan，a11.一，一 a2,a3, 2>0, an书 > an .(2)an 11a2 an故+an(1 an)1anan1a11 a21ana111-"r a2a2a3an 1a1an -1二2-二an 1_ ,1,2, a2 -(2)-(当23 一(4)3+ >1,又 n 之

8、2 an 由 a an , 4an 1二 a3 1 .四、分类放缩<2 ,11 1 :二-1 a11 a21例8.当n至3, n w Z,时，求证：1 + +2证明：当n=1, n =2时不等式显然成立.11"T- "T"34J J2n -12例9.11.3 41n2 -11/11、 / 1+一十(-2+一2)十(22223231、+,十)2n已知an =22nI -(-1)n.证明：对任意整数 m3111>4,有+a4 a5分析：不等式左边很复杂，要设法对左边的项进行适当放缩，使之能够求和。a4a5am3111= 3-+-+巾+f，如果我们把上式2

9、22 .1 23 12心一(一1)中的分母中的土1去掉，就可利用等比数列的前 n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知:1111+ > +22 -123 122231111T37 ' -4 3 K . 421 2-122一一人 1,因此，可将二保留，再将后面的项两两组合后放缩,2 -1即可求和。这里需要对 m进行分类讨论，(1)当m为偶数(m >4)时,a41+a5am a4,11、，11、13, 11()()<-(a5a6amam22 221311、137二 一一(1 - m 4) :二一,一 二 一2 242m 28

10、8(2)当m是奇数(m a4)时，m + 1为偶数,a4a5am a4 a5 a6am am 17:一.811所以对任意整数 m>4,有，十，十十a4a5am五、利用函数单调性(导数)放缩例 10.已知函数 f (x) =x-ln (1+x )数列an满足 0 <a <1, an41=f(an)；数列bj满足 b =Lbn+ 2(n +1)bn, n w N*.求证: 22(I ) 0 <an+ <an <1; ( II ) an 由 <a-;(出)若 a1 = 2 ,则当 n > 2 时，bn 22an n!.分析：第(1)问用数学归纳法证明；

11、第(2)问利用函数的单调性；第(3)问进行放缩。 _ . *证明：(I)先用数学归纳法证明 0<an<1,nWN .(1)当n=1时，由已知得结论成立；(2)假设当n=k时，结论成立，即0 < ak <1 .则当n=k+1时，一1 x 一 因为0Vx<1时，f (x) =1 => 0,所以f(x)在(0,1)上是增函数x 1 x 1又 f(x)在 10,1】上连续，所以 f(0)<f( ak)<f(1),即 0<ak书 <1 ln2 <1.故当n=k+1时，结论也成立.即0 <an <1对于一切正整数都成立又由 0

12、can <1,得an书- an =an ln(1+an )an =-ln(1+an) <0,从而 an4 can.综上可知 0 ： an 1 ： an ： 1.22X 一 X(n)构造函数 g(x)= -f(x)= 一+ln(1+x)x, 0Vx<1,222,x由 g (x) 一 01 x,知g(x)在(0,1)上增函数.又g(x)在0,1上连续，所以g(x)>g(0)=0.an2因为0 <an <1，所以g(an )a0,即万2 anf (an )>0,从而 an书 < 11b n 1(出)因为b1二 ,bn4之一(n+1)bn,所以bn &g

13、t;0,也之22bn2所以bn ='也|殳1bln!bnbn/ b 2n由(n)2an 加an由 < ，知:2an 1ananan a2 a3. j一，所以 一二一 一 I2a1a1 a2an,史当 h外an2 22因为a10 :二 an 1 :二 an：二 1.所以an<2 a；2n由两式可知：bnan n!.例 11.求证：ln2+ln3+ln4+ +Jn33nn-：3造函数5n 6*(n 二 N ).6有 In xIn xx-1- x1-1-(2In2 In 3 In 4+ + +234因为一 J，一 二1二一 .一 .一 .一.一. .12 33n 23456789

14、2n 2n -13n5 3 3-9 -9- - - 3 工亡 =5n6 6 918 272 3n1 3n6所以 史.蚂.InJ . .In.31 ：.3n _1 一旦=3。_旦二 2343n66高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现， 且多是在压轴题 中出现。放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力， 较好地体现高考的甄别功能。本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法，以冀起到举一反三，抛砖引玉的作用。一、放缩后转化为等比数列。2例1. bn满足：匕21弥平=4

15、2泡+3(1) 用数学归纳法证明：bn至n(2)111+3 bl 3 b2 3 b31+,求证:3 bnTn解：(1)略(2):'bn. 3由。-可 2g 3)*二 bn书 +3 之2(bn +3) , nW N迭乘得：bn 3 _2nJ(b1 3) -2n 1bn 31*卞，n N1111,T < 2 2ndn 2 22§2 42n 1点评：把握“ bn +3”这一特征对“ bn书=bn2 (n 2)bn +3”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的，为什么？值得体味！ 二、放缩后裂项迭加1例2.

16、数列an , an =(-1)一,其前n项和为Snn2求证：S2n :二一2-1 1 1斛：S2n =1-2 GN2n-1 2n2n(2n -1)bn的前n项和为Tn,1111bn - 二 一 ( 一2n(2n -2)4 n-1 n丁 1111111111,1S2n =Tn()().(212304 344 564n-171210 4n点评：本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手 法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。b例3.已知函数f(x) =ax+b+c(a >0)的图象在(1

17、,f (1)处的切线方程为xy = x -1(1)用a表示出b,c(2)若f(x)至lnx在1,+w)上恒成立，求a的取值范围(3)证明:111n1. ln( n 1)2 3 n2(n 1)解:(1) (2)略1(3)由(II )知：当 a 之时，有f (x) > ln x(x > 1)2.1 ,11令 a = a,有f (x) = (x -一)2 ln x(x >1).11.且当 x . 1时，(x ) ln x. 2 x令 x=k,<ln<1k- = 1(1+1)-(1-), kk 2 k k 12 k k 1幡111、即 ln(k 1)-lnk (), k = 1,2,3, ,n.2 k k 1将上述n个不等式依次相加得11112(n 1) ,n2(n 1)ln(n 1)()223n整理得1111 -111ln(n 1)-23n点评：本题是2010湖北高考理科第 21题。近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势, 应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。三、放缩后迭乘1例4. ai=1,an=N（1+4an+7TT24a；）（nwN ）.(1)求 a2,a3(