阶导数的点数值微分公式

1、1二阶导数的五点数值微分公式下面给出问题的条件：设f(x)为定义在区间la,b 1上的函数，给 定f (x)在等距节点a _X0 x X2< X3 <X4处的函数值 f (Xk),(k =0,1,2,3,4),且 Xki-Xk 二 h 。在区间l.a,b 1上作f (x)的4次Lagrange插值函数，将x = x° th r 1.0,41Xk =X0 kh代入，并将方程两端对t求二次导数，再分别把t=0，1,2,3,4代入，即可得到Xk(k =0,1,2,3,4)节点二阶导数的5点数值 微分公式f"(x。)打 35f(X0)-104f(X1)114f(X2)-

2、56f(X3)11f(X4)(1)12hf"(xj11f(x°)-20f(X1)6f(X2)4f(X3)-f(X4)l(2)12hf"(X2)I-f (x°)+16f(X1)-30f(X2) 16f(X3)-f(X4)】(3)12hf"(X3)亠-f(x°)+4 f(x,) 6f(X2)+20 fg) 11f (X4)(4)12hf"(X4)I 11 f (X0) -56f(X1)114f(X2)-104f(X3)35f (X4)l(5)12h2二阶导数五点微分公式的外推算法2.1中点节点五点微分公式的外推算法分别将 f(x

3、。)，f(xj, f(x2), f(x3), f(x4)在X2点作 Tay-lor展开并代入(3) 式的右端整理得到"468f (x2)-S2(h) =a/ +a2h +a3h +.(6)式中：S.k 1表示Xi节点处第k次外推公式皿心）WJW g"）90100812h2f9(X2)'3 21600，对于固定的X2,冷（i=1,2,）是与h无关的常数，所以上面的误差估计式符合Richardson外推算法，将h缩小一倍得到（7）式:"h h 4 h 6 h 8心）計咱）吩由16 （7）-6式整理得到f(X2)-S2.2(h)=a1少印(少印(少式中：21 &

4、#39; 116S2.1(2)-S2.1(3)莎2宀八打3,'的-由此可见，X2点的五点微分公式外推一次后，精度由Oh4提高到Oh6依次类推，可得到外推算法的递推序列S2.1(h) jWETg 停曲心)12h222"+10(2)-5.附)S2.k 1(h)二2+21,(k = 1,2,.)吐8)k+2式中k为外推次数，S2.k+（h）的截断误差为O（h2（k+1），既每外推一次收敛阶增长两阶。2.2其他节点五点微分公式的外推算法对于其他节点x（i=0,1,2,3），将f（xj（i =0,1,2,3,4）在人点处作Taylor展开并分别代入（1）（2）（3）（4）（5）式整理得

5、到“5 3 £(5)119 4八6)43 5 (7)797 6 £(8)/f (Xo) -Sodh) = h f (x°)+ h f(x°)+ h f (x°)+h f (x°)+(9)690361008"1 3 (5)19 4 (6)1 5 (7)23 6 (8)f (xJ-SMh)hf()(X1)+h f()(xj+寸 h f()(xj+h f()(X1)+.(10)123603620161 3(xASh/hf(5)(X3)4 r(6)、15 _(7).360hf (x3)+36hf (x3)-19 ,4 r ( 6)斗

6、 6f(8)2016区片)"5 3 £(5)119-4 £( 6)43 5 £( 7)797 6 £(8)f (x4) S41(h) = h f(x4)h f (x4)+一h f (x4)h f(x4)+(12)6903610083Xi(i = 0,1,2,3, 4)0h hXi(i =0,1,3,4)由上式可知，节点x/i =0,123,4)的5点数值微分公式精度均为 Oh3。分别将(9)至(12)式h缩小一倍乘以8减去(9)至(12) 式即得到Xi(i =0,1,3,4)节点外推公式的递推算法1S01 =2 &5f(x0)104 f(xj+114f (x2)56f(x3)+11f (x4)】12h1S11 = H1f (x。)-20f(X1)+6f(X2)+4f(X3)-f(X4) 12h >I1S3.1f(X0)+4f(xJ+6f(X2)-20f (X3)+11f(X4)】“12h'S4111f (x0)56f(xJ +114f (x2) 104 f(x3)+35f (x4)】.12h,KHZ?) -氐(h)S2.k 卅(h) =k+2",(k =1,2,.