信号与系统考试重点(精)

1、信号与系统考试重点1. 计算周期信号的周期 几点说明 : 假设 x (t 是周期的,那么 x (2t 也是周期 的,反之也成立对于 f k =cosk 只有当 |/2为有理数的时候,才是一 个周期信号设 x1(t 和 x2(t 的根本周期分别是 T1和 T2,那么 x1+x2是周 期信号的条件是12T T =km为有理数(k , m 为互素正整数周期是 T=m1T =k2T 思考:周期分别为 3和 5的两个离散序列的卷积和的周期为多少?为什么?与 功率信号 (公式见书 4p E 。假设为有限值那么为能量信号。否那么,计算功率 P ,假设为 有限值那么为功率信号。否那么, ;两者都不是。 注:一

2、个信号不可能既是能量信号又是功率信号, 但可能既不是能量信号也不是 功率信号。思考:确定下述论点正确与否,并简述理由。 (1所有非周期信号都是能量信号。 (2所有能量信号都是周期信号。(3两个功率信号之积总是一个功率信号。 (4两个功率信号之和总是一个功率信号。(1错;双边信号一般是功率信号,甚至不是能量,也不是功率信号,如 e2t (2错;因为:周期信号一定是 功率信号(3错 ; 假设 2个 信号周期 相等,其中一个 前半周期不等于 0,后半周期 =0; 另一个那么相反;相乘后,恒等于 =0哦!但是大局部情况下,是 对的! (4错;可能相加后恒等于 0哦;但是大局部情况下,是 对的! 2.

3、LTI 系统(考试难点 (1 当系统的微分方程是常系数的线性微分方程时, 系统为线性时不变系统。 (2一般情况下,可分别判断系统是否满足线性和时不变性。 判断系统是否线性注意问题:1.在判断可分解性时,应考察系统的完全响应 y (t 是否可以表示为两局部之 和, 其中一局部只与系统的初始状态有关, 而另一局部只与系统的输入鼓励有关。 2. 在判断系统的零输入响应 (x y t 是否具有线性时, 应以系统的初始状态为自 变量(如上述例题中 y (0,而不能以其它的变量(如 t 等作为自变量。 3. 在判断系统的零状态响应 (f y t 是否具有线性时, 应以系统的输入鼓励为自 变量(如上述例题中

4、 f (t ,而不能以其它的变量(如 t 等作为自变量。 判断系统是否为时不变系统注意问题:判断一个系统是否为时不变系统,只需判断当输入鼓励 f (t 变为 f (t -t 0 时, 相应的输出响应 y (t 是否也变为 y (t -t 0 。由于系统的时不变特性只考虑系统的零状态响应,因此在判断系统的时不变特性时,不涉及系统的初始状态。 例题:1 断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统 ?分析:根据线性系统的定义,证明此系统是否具有均匀性和叠加性。可以证明: 系统不满足均匀性;系统不具有叠加性;此系统为非线性系统。 2 判断系统是否为线性非时变系统是否为线性系统? 可见 , 先线性运算,再

5、经系统=先经系统,再线性运算 , 所以此系统是线性系统 是否为时不变系统? 可见 , 时移、再经系统 经系统、再时移, , 所以此系统是时变系统。 因果系统的判断:当前的输入与当前时刻以后的输入无关 稳定系统的判断:有界输入推出有界的输出例 ; (系统.代表的系统是否是因果 微分方程 2-+=t e t e t r 解:0=t (200-+=e e r 现在的响应 =现在的鼓励 +以前的鼓励 该系统为因果系统。 (系统.代表的系统是否是因果 微分方程 2+=t e t e t r 解 ; 0=t (200+=e e r 存在未来的鼓励 所以该系统为非因果系统 判断 r (t =e(t +1是否

6、为因果的,线性的,时不变的,稳定的,起始状态为 0 解 因果的:因为当前的输入和当前时刻以后的输出无关 3. 信号分解0, (5 (10d (d >=+t t e t r t t r (t f t t y =(t f C t f C t 2211+(t tf C t tf 2211+(-t f t (-t f t交直流分量 奇分量和偶分量 实局部两和虚局部量4连续时间信号根本计算(3540p p -信号的尺度变换 信号的翻转 信号的平移 信号相加 信号相乘 信号的微分 信号的积 分考点 由 f (t 和 f (t+2推出两个之间的变换关系5 奇异函数 奇异信号 单位阶跃信号 冲激信号 斜

7、坡信号 冲激偶信号 注意:'的意义 及公式 ( (' (' ( (' (00000t t t f t t t f t t t f -=-(' d (' (00t f t t t t f -=- 0 ( (' 1(' =t t(' (' t t -=-=0d ('t t 冲激信号的几个特性 展缩特性 0( (1(= t t 卷积特性 ( *( (df t g t f g t +-=-冲激信号与阶跃信号的关系-<>=tt t 0001d ( 其他各点也要熟练掌握 1. 在冲激信号的取样特性中,其积分

8、区间不一定都是(-, + ,但只要积分区间不包括 冲激信号 (t -t 0 的 t =t 0时刻,那么积分结果必为零。2. 对于 (at +b 形式的冲激信号, 要先利用冲激信号的展缩特性将其化为 1/|a |(t +b /a 形式后, 方可利用冲激信号的取样特性与筛选特性。6 第三章的经典法理解方法和过程 计算应该不会出ppt 上的一道例题某线性时不变系统在 f 1(t 鼓励下产生的响应为 y 1(t ,试求系统 在 f 2(t 鼓励下产生的响应 y 2(t 。 2(t 11( f t1( y t =2( te u t - 2( f ttt从 f 1(t 和 f 2(t 图形可以看得出, f

9、 2(t 与 f 1(t 存在以下关系 d ( 1( (111(12f t f t f t +-=+=根 据 线 性 时 不 变 性 质 , y 2(t 与y 1(t 之 间 也 存 在 同 样 的 关 系d ( (112y t y t +-= 1( e 1(5. 0 1(2+-=+-t u t7 卷积法 ( ( (t y t y t y f x +=全 响 应 = (t y x + (* (t h t f思考 :由 ( ( (11t y t y t y f x += ( ( (22t y t y t y f x += 求 (t h 和 (t y x 同一个系统的(t y x 是一样的 注意

10、:在时域卷积和频域卷积中,通常会遇到两个矩形脉冲的卷积问题。此时可以利用下述 结论:两个相同高度的矩形脉冲信号的卷积结果为三角形脉冲, 宽度为矩形脉冲宽度的两倍, 高为两个矩形脉冲高度和矩形脉冲宽度三者的乘积; 两个不同宽度的矩形脉冲信号的卷积结 果为梯形脉冲, 下底宽度为两个矩形脉冲宽度之和, 上底为两个之差, 高为两个矩形脉冲高 度和最小矩形脉冲宽度三者的乘积 8 卷积的计算(75p 卷积求法有 5种 ; 一是直接用卷积定义。二是利用卷积的微积分特性。三是图解法。四是利 用其一函数的卷积性质。五是利用拉氏变换或傅氏变换的时域卷积定理然后求逆变换。 注意:两个因果讯号的卷积仍然为因果信号卷积

11、的结合律和分配律未必成立, 因为两个 信号的卷积可能不存在 9 因果性的判断因果连续时间 LTI 系统的冲激响应必须满足 0, 0 (<=t t h 因果离散时间 LTI 系统的单位脉冲响应必须满足 0, 0<=k k h例:判断 112121n k f M M k y M M n -+=-=是否为因果系统 。 系 统 的 单 位 脉 冲 响 应 为 112121n k M M k h M M n -+=-= 即-+=其它0 1/(12121M k M M M k h 显然, 只有当 M 1 = 0时, 才满足 h k =0,k <0 的 充要条件。即当 M 1 = 0时,系

12、统是因果的10 稳定性的判断连续时间 LTI 系统稳定的充分必要条件是<=-S h d (离散时间 LTI 系统稳定的充分必要条件是 <=-=S k h k 例 判断上面例题是否为稳定系统对 h k 求和,可得1112121=+=-=-=k M M k M M k h 由离散时间 LTI 系统稳定的充分必要条件可以判断出该系统稳定。 Fourier 变换(选择,填空 11 fourier变换物理意义(理解周期信号 f (t 可以分解为不同频率虚指数信号之和 12 傅里叶级数tn n nC t f 0j =e(-=t t f T C T T tn n d e (1 22j 0-=实函

13、数的指数傅里叶 系数的摸是偶函数及相位是奇函数sin cos (2 (1000=+=n n n t n b t n a a t f 假设 f (t 为实函数,那么有 *-=n n CC 其中2a 称为直流分量或恒定分量 =+=100cos 2 (n n n t n A a t f ( 22n nn b a A += -=n n n a b arctg a 0/2称为信号的直流分量, An cos(n 0 t + n 称为信号的 n 次谐波分量。 例 4cos(3 (0+=t t f 求 Cn解 4cos(3 (0+=t t f (4(j 4(j 00e e 213+-+=t t tt 00j

14、4j j 4j e e 23e e 23-+=根据指数形 式傅里叶级数的定义可得 4j 14j 1e 23, e 23-=C C 1, 0±=n C n 每条谱线, 都只能出现在基波频率的整数倍的频率上。 周期信号三角函数形式傅里叶级数展 开后的频谱为单边频谱 , 而指数形式展开后的频谱为双边频谱 13 利用性质计算1 傅里叶级数的根本性质线性特性 n n C a C a t f a t f a 22112211 ( ( +时移特性 n t n C t t f00j 0e ( -卷积性质 n n C t f C t f 2211 ( , (那么 n n C C T t f t f 2

15、1021 (* ( 微分特性 n C n t f 0j(' 假设对称特性 假设 f (t 为实信号 | n n C C -=那么n n -= 奇次谐波分量半波镜像信号 f (t = - f (t±T/2 半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇 次谐波分量,而无直流分量与偶次谐波分量.注意某些信号波形经上下或左右平移后,才 呈现出某种对称特性(详细见书 p121 题型: 题型:由 f (t Cn 求 1 Cn ? 2 2.傅里叶变换的根本性质(书 p168 傅里叶变换的根本性质( 傅里叶变换的根本性质 思考:1f(t是周期偶函数,那么其傅里叶级数只有偶次谐波(x f(t是周期偶函

16、数,那么其傅里叶级数只有余弦分量(x f(t是周期奇函数,那么其傅里叶级数只有奇次谐波 (x f(t是周期奇函数,那么其傅里叶级数只有正弦分量( 2 周期信号的频谱一定是离散谱 冲击信号的频谱是均匀谱 周期奇函数的傅里叶级数中,可能只含有正弦项 3(考试题型 求 f(t f (t = 考试题型 【 考试题型 A (1coswt】 0 t -6- 14H(jw H ( j =| H ( j | e j ( H(jw称为系统的频率响应 H(jw的物理意义 H(jw反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性. H ( j = F h(t 正弦信号通过系统的响应 T sin(0t + = H ( j0

17、 sin(0t + (0 + T cos(0t + = H ( j0 cos(0t + (0 + 正,余弦信号作用于线性时不变系统时,其输出的零状态响应 y(t仍为同频率的正,余弦信 号 (考试题型 考试题型求 考试题型 15 抽样定理 f (t fs (t T (t 冲 激串 ->序列 jw ( jw 2 +1 幅频和相频 f k 信号理想抽样模型 假设连续信号 f(t 的 频 谱 函 数 为 F(j , 那么 抽 样 信 号 f s (t = f (t T (t 的 频 谱 函 数 Fs(jw 为 Fs ( j = + 1 + F j( ns = f (kT e jkT 且序列 fk

18、的频谱等于抽样信号的 T n = k = + 频谱,即有 F (e = Fs ( j = j k = f kT e jk ( = T 其中: T 为抽样间隔, ws=2p /T 为抽样角频率. 假设带限信号 f(t的最高角频率为m,那么信号 f(t可以用等间隔的抽样值唯一地表示. 而抽样间隔 T 需不大于 1/2fm, 或最低抽样频率 fs 不小于 2fm. 假设从抽样信号 fs(t中恢 复原信号 f(t,需满足两个条件:(1 f(t是带限信号,即其频谱函数在|w|>wm 各处为 零; 抽样间隔 T 需满足 (2 T / m = 1 /(2 f m 或抽样频率 fs 需满足 fs 2fm

19、 (或 s 2 m .fs = 2fm 为最小取样频率 -7- 例 实信号 f(t的最高频率为 fm (Hz,试计算对各信号 f(2t, f(t*f(2t, f(tf(2t抽样 不混叠的最小抽样频率. 根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得:对信号 f(2t抽样时,最小抽样频率为 4fm(Hz 对 f(t*f(2t抽样时,最小抽样频率为 2fm(Hz 对 f(tf(2t抽样时,最小抽样频率 为 6fm(Hz 17 利用 laplace 变换 Z 变换求解微分方程和差分方程(大题必考 变换求解微分方程和差分方程 大题必考 求解微分方程和差分方程( 注意点:解题的步骤 收敛域做课后习题和 ppt

20、 上的例题 求解步骤:1 经拉氏变换将域微分方程变换为 s 域代数方程 2 求解 s 域代数方程,求出 Yx(s, Yf (s 3 拉氏反变换,求出响应的时域表示式 Ppt 上例题:系统的微分方程为 y''(t + 5y'(t + 6y(t = 2f '(t + 8f(t鼓励 f(t = e-tu(t,初始状 系统的微分方程为 鼓励 , 态 y(0-=3, y'(0-=2,求响应 y(t. , , . ( y (t = y f (t + y x (t = 3e + 7e yk-4yk-1+4yk-2 = 4(-3kuk ( Y ( z = t 2 t 7e 3t , t 0 y-1=0 ,y-2=2,求 yx k,yf k,yk. , , , . 4 y1 4 z 1 y1 4 y2 4F ( z + 1 2 1 4z + 4z 1 4 z 1 + 4 z 2 yk-4yk-1+4yk-2 = 4(-3kuk y-1=0 ,y-2=2,求 yx k,yf k,yk. , , , . Yx ( z = 8 (1 2 z 1 2 yf k=3.2k(2k-1+2.56(2k+1.44(-3kuk 一 LTI 离散系统满足差