20132014北邮概率论研究生概率论答案

1、北京邮电大学20132014学年第1学期概率论与随机过程试题期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答 题纸上写上你的 班号 和选课单上的 学号，班内序号！填空题：（每空3分，共30分）1 .给定集合AUG ,则定义在C上的包含A的最小h代数是j：A,A2 .若A1A2是C上的两个非空集合类，,是A（i=1,2）t的测度，若满足：（1） （2） VAW A1,有v1（A）=Y2（A）,则称也是必在4上的扩张。A1 A3 .某集代数包含了所有的左开右闭区间（实数集上的）.该集代数上有一个测度P,对于任意可测集（a,b,其中a<

2、b,均有P（a,b ）= b-a .将该测度扩张到某仃-代数上记为L对单点集仆，N（仆）= _.1_14 .设概率测度空间(Q,F,P), Aw F,B 亡 F,AB=，P( A)=-,P( B)=-,23两个简单函数 f（0 ）= 7A（6）+24g ） gg ）= "（6 ）+2勺侬），则，Efg卜Ef=3 7,2 35 .设X为定义某概率空间上的随机变量，若 X的分布函数为F（x）,则数学期望EX的L-S积分形式为 一 xdF(x)6 .设三维随机变量（X,Y,Z）服从正态分布N（a, B）,其中a =（1,2,3）,211、B= 1 2 1，则 EEX |YZ =U 1 2&

3、gt;17 .设随机过程X(t), -«<t<为平稳二阶矩过程，且均方连续.设该过 程的均值函数为N =1 ,相关函数R(s,t) =2etT ,均方积分X2(t)dt记 为随机变量之则E«)=.JI8 .设N(t)为泊松过程，则条件概率P(N(2) = 2| N=3) =.499.设W(t)为参数为仃2的维纳过程，W(0) = 0,则cov(W(1),W(2)尸.二.(8分)设A是入系,证明A是单调类；若A也是n系，证明A是-代数。bo证明：由A是九系，若An WA, n=1, 2,，且An ，则U An w A.n 1 -bo若 Bn J, Bn WA, n

4、=1, 2,，由 A 是九系，B> A 且 Bn ，则 U Bn W A.n 1-bo-bo所以U B>AWn Bn w A,所以A是单调类。4分n 1n 1A是九系，A对余集运算封闭且Q-A,若A也是冗系，A对交集运算封闭,所以A是集代数。因为A是单调类，所以A是-代数。4分1 -(X -)一 一二.(16分)设随机向量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=1e x ,x>0,y>0 x(1) 求边缘密度fX(x)；(2) 求x>0时条件密度fY|X(y|x)；2 .(3)求 E(Y |X ), E(Y EY) X , EX Y | X .一.'1 ，x

5、y) x_斛(1) fX(x)= e xdy=e , x > 0.4 分0 x1 -(2)当 x>0 时，fY|X ( y | x)= e x, y > 0.4 分x(3)由(2)知E(Y |X = x) = x ,所以 E(Y |X) = X . E(Y) =1EY2|X =2X2,所以 E(Y EY)2 |X = 2X2 2X +1.EX -Y |X= XEY|X=0.8 分四.(14分)设随机变量X的分布列为kPX =k = - e，k -0,1,2,. k!(1)求随机变量X的特征函数%(t);(2)求PX为偶数.解(1)二二k二二 ik k%(t)=E(eitX )

6、=L eitk e = H "e ) e*=洞口.8 分k! k!k k(2)易知eV T-,e* = £，所以« k! « k!2k22P。为偶数=£ -ee一ee4= Le一 .6分k斗 2k!22五.(14分)设随机过程Z(t) =X sin t+Y cost,其中X,Y是两个独立同分布 的随机变量.(1)若X,Y都以2/3和1/3的概率取值-1和2,证明Z(t)为平稳过程；(2)若X,Y都服从标准正态分布，证明Z(t)为高斯过程.(1)证明 EX =0 =EY,EX2 =EY2=2,EXY = EXEY =0,EZ(t) =EXsint

7、 +EYcost =0, 22Rz(t,s)=EX sintsins EXY(sintcoss costsins) EY costcoss = 2cos(t - s)所以，均值函数为常数，自相关函数只依赖于时间差，Z(t)为平稳随机过程。7分(2)对于任意正整数n ,取任意时间点ti，t2,，tn，任意实数Ci,C2,，Cn, nnGZ(ti)+aZ(t2)+CnZ(tn)=X£ Cksintk +YZ Ck costk ,因为 X,Y 相互独立且 k 1服从正态分布，X,Y的线性组合仍然服从正态分布，所以C1Z(ti) +C2Z(t2)+CnZ(tn)服从一维正态分布。故 Z(t)

8、为高斯过程。7分七.(18分)设马氏链Xn，n之0的状态空间为1,2,3,4,5,6,转移概率矩阵0012(1)确定该链的状态分类；(2)各状态的周期；(3)求平稳分布;求nmp3?,oC'P1(1n).n =0解.(1)链可分，32,6是不可分闭集，状态空间E=3u2,6 =1,4,5 ,3,2,6正返态,1,4,5为非常返.(2) 周期 d(1) = 2,d(5) =2,d(i) =1,i =1,2,.,6 .(3)设平稳分布为n = (心,血，冗6),则二-二P,« % +H6 =1,巴之0,i =1,2,，6.解之得 n =(0, p,q,0,0, p)，其中 p >