矩阵的初等变换与线性方程组

1、第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1教学目的和要求：（1）了解矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念.（2）理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.（3）理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件.2教学重点：矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩、线性方程组的解.3教学难点：矩阵的初等变换、矩阵的秩的定义及计算、线性方程组有解的条件及应用. 4教学内容：1 矩阵的初等变换本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。一、矩阵的初等变换在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换“初等变换”.定义1 对

2、矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换.（1） 行初等变换 ( 列初等变换)（2） ()（3） ()矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换. 经过初等变换得到, 记作 定义2 等价矩阵：若, 称与等价, 记作 矩阵之间的等价关系有下列性质: (1) 自反性： (2) 对称性： (3) 传递性：, 二、行阶梯形矩阵定义3 在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0，则称矩阵

3、为行最简形矩阵.例1 设 解 行最简形： 标准形：2 初等矩阵定义4 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵, 称为初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等矩阵. 1. 2. 3. 设, 性质1 , , 由此可得：对进行一次初等行变换, 相当于给左乘一个同类型的初等矩阵.性质2 () 由此可得：对进行一次初等列变换, 相当于给右乘一个同类型的初等矩阵. 性质3 , , , 定理1 可逆可以表示为有限个初等矩阵的乘积 证 必要性 已知, 则满秩, 故存在初等矩阵 及, 使得 , 而与都是初等矩阵 充分性 设，因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆，故可逆. 定理2 设, 则存在可逆矩阵和, 使得

4、证 必要性 已知, 则存在阶初等矩阵和阶初等矩阵, 使得, 令 , 则有 充分性 已知, 则由定理1知, 和都可以表示为有限个初等矩阵的乘积, 即 , 故, 也就是 由此可得矩阵求逆方法之二（初等行变换法） （都是初等矩阵） 可见 对矩阵施行“初等行变换”，当前列 （的位置）成为时，则后列（的位置）为.例2 设 . 用初等变换法求解 所以 例3 设 ，试用初等变换法求解所以 例4 判断方阵是否可逆.若可逆，求解 因为，所以，故不可逆，即不存在.注 此例说明，从用初等变换求逆矩阵的过程中，即可看出逆矩阵是否存在，而不必先去判断.例5 解矩阵方程，其中，.解法一 3 矩阵的秩矩阵的秩是一个很重要的

5、概念，在研究线性方程组的解等方面起着非常重要的作用.一、矩阵的秩的基本概念定义4 在矩阵中任取行列，由位于这些行、列相交处的元素按原来的次序构成的阶行列式，称为的一个阶子式，记作. 共有个.定义5 若矩阵中不等于0的子式的最高阶数是，则称为矩阵的秩，记作.或者：在中，若(1)有某个阶子式； (2)所有的阶子式（如果有阶子式）. 称的秩为, 记作, 或者 规定：例6 求下列矩阵的秩，解 ，而的所有三阶子式（4个），所以 满秩.二、矩阵的秩的性质及结论1. ；2. 对于，有；3. 若，则中至少有一个，而所有的. 4. 时, 5. 6. 中的一个 7. 中所有的 8. 9. 10.若, 则注 , 若

6、, 称为行满秩矩阵； 若, 称为列满秩矩阵 , 若, 称为满秩矩阵（可逆矩阵, 非奇异矩阵）； 若, 称为降秩矩阵（不可逆矩阵, 奇异矩阵）为满秩方阵 (可逆 为满秩方阵).定理4 证 只需证明. 设, 仅证行变换之(3)的情形： (1) 若, 则有 不含： 含, 不含： 含, 且含： 故中所有的阶子式 于是可得 (2) 若或者, 构造矩阵 , 由(1)可得 (其余情形类似可证).三、利用初等变换求矩阵的秩利用定理4可以简化求秩的计算，其常用的方法有：1. 只用初等行变换，可把变成阶梯形矩阵.例7 求 其中 解 （阶梯形），有此可看出 .2进一步，再进行列初等变换，可化为标准型.例7中，的特点

7、：左上角为一个阶单位矩阵，其它元素为0.在具体的解题过程中，如果经过几次初等变换后即可看出的秩时，就不必再继续将化为阶梯形.例8 求 其中 解 至此，易知 (不是阶梯矩阵)所以 例9 试分析以下给出的解答的错误，并给出正确的解答.已知 ， 求错误解答 即 错误原因: 没有注意到利用来求时,要使用初等行变换才可以.而在解法中第1、3步却使用了列变换.正确答案 4 线性方程组的解设有个未知数个方程的线性方程组 （1） （1）式可以写成以向量为未知元的向量方程定理5 设, （增广矩阵） (1) 有解； (2) 有解时, 若, 则有唯一解； 若, 则有无穷多组解 证明 设, 且的左上角阶子式, 则 （行最简形） 的同解方程组为 （2） （1）若, 则方程组（2)无解， （2）若, 则方程组(2)有解， 当时, 方程组(2)成为, , , .故有唯一解. 当时, 方程组(2)成为 其一般解为 （其中为任意常数） 定理6 (1) 有非零解； (2) 有非零解 例10 解法一 （消元法） 得 解法二 （初等行变换法） 得 例11 求解, 其中, 解 有无穷多解 同解方程组为 一般解为 （为任意常数） 即 例12 求解, 其中, 解 (1) 当时 同解方程组为 一般解为 （为任意常数）即 (2) 当时 同解方程组为 一般解为 （为任意常数） 即