中学生对复数的认知过程── 一项个案研究(三)_数学论文

1、中学生对复数的认知过程 一项个案研究(三)_数学论文    二 学生对复数三角形式的认知前面的研究发现，高三学生虽然学完了复数的所有内容，但是在回答复数含义，复数模的概念以及在问题解决过程中主动联系复数三角形式的不多，在高三高成绩组学生中，回答复数的含义时，有3人提到三角形式，回答复数模的概念时，有4人通过三角形式作解释，在访谈问题1中（2）的解决过程中，有7人应用三角形式的方法获得解决；而在低成绩组学生中，没有一人在回答上述两个概念时提到三角形式，也没有一人在问题解决时用到三角形式。在自由式访谈中，我将问题1中的（2）改变成如下问题：“已知复数z满足|

2、z|=1，求|z2-z+2|最小值”，对高三学生继续追踪访谈（只要求他们解出问题，而不要求他们应用多种方法），这个问题如果直接设z的代数形式代入计算，将会运算量很大，而且得到的函数不易求最小值，如果设z的三角形式，利用三角形式乘方运算的简洁性，得到的三角函数则比较容易求出最小值。高成绩组学生中有9人直接运用三角形式获得问题解决，有4人经过代数形式的尝试失败之后用了三角形式，还有2人一直运用代数形式，但是最终没有解出来；低成绩组学生中只有5人尝试代数形式失败之后才想起三角形式，而且有2人写错三角形式或进行三角形式的运算时出现运算性质的错误，其余的都是一直应用代数形式，没有解出来。这些表明学生对复

3、数的三角形式的认知存在着较大差异，特别是低成绩组学生对三角形式的形成过程和意义的认识不高，而且由前面的调查可知（第5页），38.9%的学生认为复数的三角形式是最难学的（在所列的复数的六项知识内容中所占比例最高），87%的高中数学教师认为复数的三角形式是学生学得最不好的内容之一。那么为什么学生对复数的三角形式认知感到困难呢？影响学生学习复数三角形式的主要因素又是哪些呢？1三角比、三角公式对复数三角形式认知的影响在自由式访谈中，我曾经要求高三高成绩组15名学生和低成绩组的15名学生写出复数的三角形式。高成绩组15名学生全部写正确。而低成绩组的15名学生中只有6人写正确，有2人没写，问起他们为什么不

4、写？其中一个人说：“我没背，一点都想不起来了”，另外一个人说：“好象是带q的，哎呀，实在想不起来”。15人中还有3人写成z=cosq+isinq，另外4人写成r（sinq+icosq）。于是我假设可能是三角比的认知制约着学生对三角形式的理解，为了进一步验证我的假设，我又设置了下面的问题：“判断以下几个复数z=-3（cos+isin），z=3（cos-isin），z=3（sin-i cos）是否为复数的三角形式？说明理由，如果不是三角形式，那么请你将其化成三角形式”。我观察了高三高成绩组15名学生和低成绩组的15名学生的解题过程。观察中发现，高成绩组15名学生都判断不是复数的三角形式，说明理由时

5、，他们都认为，复数的三角形式括号外面是复数的模，应该恒非负，由三角比定义，横坐标是rcosq，纵坐标是rsinq，所以括号内前面是cosq，后面是sinq，而且中间是“+”。15人中有11人只经过几秒钟的思考，没有运算过程就直接写出正确答案，依次为：3（cos+isin），3（cos+isin），3（cos+i sin）。有4人在草稿纸上利用诱导公式逐步化成标准的三角形式，答案也正确。低成绩组的15名学生有6人判断不是复数的三角形式，理由是它们与r（cos?+isin?）不相符，这6人中有2人利用诱导公式逐步化成三角形式，（步骤明显比高成绩组对应的学生的步骤要长），另外4个人是先将它们化成代数

6、形式，再试图化成三角形式，但是只有1人正确。15人中有7人认为z=-3（cos+isin）是三角形式，z=3（cos-isin），z=3（sin-i cos）不是，理由是复数三角形式括号内为一个角的余弦加上i和正弦的乘积，z=-3（cos-isin）符合，z=3（cos-isin）、z=3（sin-i cos）不符，他们将z=3（cos-isin），z=3（sin-i cos）计算后均为-i，就陷入困境无法作出解答，15人中还有2人认为都是三角形式，理由是他们都带有三角比，所以就属于三角形式。进一步访谈中发现，这两个同学连三角比的定义都搞不清楚。上面的结果表明，高成绩组的学生已经将复数的几何意

7、义同三角比的定义有机地结合起来，或者通过复数的代数形式的运算作为联系的纽带，使得三角形式成为其认知的一部分，他们不但知道三角形式的表面形式，也清楚三角形式的内在含义，其实质就是用模r和辐角?来表示复数a+bi，r、q与a、b连接的桥梁就是三角比cosq=，sinq=，由于他们三角比对象化程度高，能够通过诱导公式直接去寻求非标准形式的角和标准形式的角之间的关系，甚至不需要中间分步计算，就能在认知结构中进行两者的整体变换。而低成绩组的学生，他们太注重形式，没有理解其内在实质，虽然有的学生能够知道三角形式的括号内前面是cosq，后面是sinq，但是由于其认知结构中三角比和复数间的连接关系不牢固，缺乏

8、整体考虑，把握了细节，顾不了全局，见木不见林，考虑了里面先余弦后正弦，忘记了外面的模r应该恒非负，就出现了有几个学生将-3（cos+isin）认为是复数的三角形式。当然有一些学生也知道这几个复数不是标准的三角形式，但由于他们三角比对象化程度比较低，基本上都不能运用诱导公式去化，而只能先回到代数形式，由于无法将知识之间相互连接起来，回到代数形式，又往往不知如何处理。如果再碰到需要运用更多三角公式的问题（如：当2p<q<3p时，求复数z=1-cosq+isinq的模与辐角主值。），他们没法用具体的代数形式进行过渡，则会感觉更加困难。以上调查和分析说明，三角比的对象化程度与复数三角形式的

9、对象化程度具有很高的相关性。2复数三角形式的学习是学生对复数的认知重组和深化复数的三角形式本身是代数符号表示，但是它的推导具有几何意义的要求，要求学生将复数与其在坐标平面内对应的点相联系，而将代数形式化成三角形式，学生往往采用几何图形作为表象，在学习三角形式的第一节课后，我曾经对97个学生展开了这样的调查：化复数为三角形式，通过草稿纸回收分析，67%的学生在草稿纸上，画出直角坐标系，或标出点。这样，在学习三角形式时，促使学生重新思考几何意义，从而能够有效地沟通代数和几何的关系，更加牢固地加强代数形式和几何形式之间非人为的链接，有效地促进学生的有意义学习，在访谈问题1中（2）的解决方法上，高三年

10、级低成绩组和高一年级低成绩组各有3、0位学生用了几何意义的方法，便证明了这一点。复数三角形式的学习使得代数形式、几何意义与三角表示在学生头脑中相互作用，促进学生对复数和三角有关概念及其性质进行重新思考和反省抽象，将复数的实部、虚部与模、辐角进行有机的联系，形成一个组织内容更丰富、新旧知识和观念联系更有序的认知系统。原有的认知结构与新材料的这种相互作用扩充了原来的认知结构，一方面，使得三角形式内化并成为代数形式和几何形式的并列关系，另一方面，三角形式又丰富了新旧知识、观念之间的实质性的联系，形成了一张关系网（见图2-9），从而，使得认知结构的整体功能加强和提高，达到了完善和发展主体的认知结构的目

11、的，使得学生的认知结构走向成熟化、系统化，思维方式也走向联想式、发散式。图2-9 复数认知结构组织图3教师的信念及高考对学生学习复数三角形式的影响在访谈问题1中（2）的解决方法上，高三高成绩组中有8人没有想起去用三角形式的方法，而在上述访谈问题上，他们又都能正确地写出复数的三角形式，也都能将上述访谈问题中的非标准形式化为标准的三角形式；低成绩组中没有人能够在问题1（2）的解决过程中应用三角形式的方法，但是在回答上述访谈问题上，反映出他们对复数的三角形式还是有不同程度的理解。那么为什么这些学生不尝试用三角形式去解决访谈问题1（2）呢？我对这些学生作了进一步的访谈。发现有不少学生都谈到受老师的观点

12、和高考要求的影响，如学生Z说：“我们老师讲，现在高考对复数三角形式只要求知道最基本的概念就可以了，所以，题目条件中如果没有三角形式，一般我不会去用三角形式。”学生X说：“老师说，每年高考，复数三角形式最多只考一道选择题或一道填空题，平时三角形式的题目也做得不多，要是条件中没有三角形式，我一般不会自觉地应用三角形式。”学生L说“喔唷，复数三角形式，我做的题目太少，因为不大重要吗！做题时我不太用”。看样子老师的信念和高考的要求影响了一些学生对复数三角形式的学习。这些因素使得学生缺乏一定量的操作练习，也使得他们在操作练习过程中进一步理解复数三角形式概念的机会减少。有趣的是，2003年，全国（包括上海

13、）高考时间提早一个月，上海高考数学考纲中，对复数的考试要求作了一些调整，删去了对复数三角形式的考查，我调查了13所中学（4所市重点，3所区重点，5所普通中学，1所民办中学），只有2所市重点中学教过复数的三角形式，其中一所是在高一学完三角以后教的（他们老师说要早知高考不考，肯定不会教），另一所学校也只局限于其中的理科班，他们教师说是为了参加竞赛的需要。考什么内容就教什么内容，在现在的考试制度下，这本无可非议，但是学生学完以后却想不起应用，这不能不说与学生缺乏系统的训练有一定的相关性，Sfard认为，数学概念是以过程作为概念发展的第一阶段，所以过程的操作练习是概念形成的基础，是概念的全面理解的必要

14、条件，而且概念的理解随着应用的增强而深入3；对复数三角形式的掌握，我们不仅需要理解，也需要技能，而技能只有通过实际的、系统的训练才能获得7。另外，从信息加工理论9来看，化代数形式为三角形式的算法过程的熟练掌握，将能从外在形式和内在含义两方面将复数三角形式压缩为模r和辐角q，使得问题解决过程在不用直接给予特别的思考条件下“自动化”地进行，减轻工作记忆的负担，从而提高问题解决的效率。高三高成绩组的11位学生在解决前面访谈问题时不用计算便给出答案就说明了这一点。如果学生在老师信念和考试要求的影响下，没有对三角形式的运算进行一定的技能训练，三角形式在其工作记忆中占了很大的空间，而没有被压缩成较小的部分

15、，在应用时要提取便显得不那么灵活和自觉。高三低成绩组的学生在解决访谈问题1（2）和上述问题时没有应用三角形式或者运用三角形式的低效率便证实了这一点。4教材体系的编排对学生学习复数三角形式的的影响调查中发现，目前，上海市各学校对教科书的使用方式不尽相同，有的学校完全按照华东师范大学出版的高中数学教材的知识体系讲授（大多数学校，特别是一些区重点中学和普通中学），有些学校参考人民教育出版社的教材，适当调整部分内容的顺序（特别是一些市重点中学），就是同一所学校的不同年级根据老师对教材的不同理解和教学时间的长短，有时也会对书本中教学内容作一些重新编排。交大附中2001届和2003届学生在学习复数三角形式

16、的时间安排上就不相同，2001届学生是按照华东师范大学出版的教材知识的体系安排在高三第一学期学习的，2003届学生是在高一下学期学完三角之后学习的。了解到他们两个年级的教学计划，我编拟了一份复数三角形式单元测验试卷（见附录二），挑选了两个年级各一个普通班级（2001届（3）班、2003届（6）班）先后进行了测试。他们的测验结果见下表：表2-10 复数三角形式测验成绩对比表从表2-10中发现，90，100、80，90、40，50，、30，40、20，30分数段的人数差异不明显，而在70，80、60，70、50，60分数段的人数差异相对比较明显，这说明复数三角形式安排在高一教材中还是安排在高三教材

17、中对优秀生的影响不大，而对中等学生和中等偏下的学生有一些影响。虽然三角比和三角函数学习过，但是学生概念的发展有一个过程，特别作为函数来讲，甚至呈现一定的阶段性（这一点，曾国光和余丽伟曾经作过研究），理解概念的过程长短随着学生原来认知结构和能力的不同而不同。教完三角，马上教复数的三角形式，一些中等以及中等偏下的学生三角比对象化程度还不是很高，对三角公式的理解还不深刻，从而对公式的应用（特别是逆用）不熟练。影响了复数三角形式的学习效果。而将三角形式安排在高三教，学生经历了立体几何和圆的参数方程的学习，其中有涉及到三角比和三角函数的应用，特别是圆x2+y2=r2的参数方程，其中参数q的几何意义是点在

18、圆O上从点P0（圆与x轴正半轴的交点）开始按逆时针方向运动到达点P所旋转的角，它与复数x+yi的辐角具有相似的背景，半径r也就是复数x+yi的模，而且参数方程的形式就是三角比的定义：cosq=，sinq =，这样经历圆的参数方程的学习，一方面加深了对三角比概念理解和应用，使得认知结构趋稳固，另一方面学习复数的三角形式，容易促使学生将新材料与已有的认知发生联系。加快新知识同化的进程。另外，向量的系统学习从一定程度上对学生理解复数的几何表示和三角形式起到“脚手架”的作用，使得学生借助向量更加容易联系三角的背景，当然，从另一个角度分析，华东师范大学出版的教材将复数的代数形式和三角形式分设在高一和高三

19、阶段学习，它们间隔时间比较长，也容易使得学生无意识地将其割裂开来，或者其间建立的联系因为时间的延长而减弱，本研究中高三学生能够主动应用复数三角形式去解决访谈问题1中（2）的人数不多就证明了这一点。三 不同思维倾向的学生在复数认知中结构特点1概念理解的思维倾向在对学生的自由式访谈中发现有些被试也知道复数具有几何意义，但是他们在问题解决时只用了代数形式的方法，当我追问他们为什么想不起去应用几何方法，有许多学生认为他们的代数学习好于几何，所以习惯上总是从代数的方法出发。另外，在问题解决过程中有些学生首先应用几何意义，当我追问他们为什么不先从代数方法考虑，一些人将原因归为自己比较喜欢几何。克鲁捷茨基（

20、Kruteskii）的研究早就表明，有些学生喜欢代数问题，倾向于抽象思维；而有些学生偏爱几何问题，倾向于形象思维，当然这两种思维在学习的过程中并不是纯粹的高级和低级之分，而是方式的倾向性不同，这两种思维各具特点，带有形象思维倾向的学生具有较多表象储备，表象既具有形象性，又具有概括性，它能够促进学生的心理活动更加丰富，有助于他们更加认识事物的本质和规律，倾向于形象思维者，善于运用形象，他们很注重对一个问题找到形象的支撑点，对于一种抽象的数学关系的表达式，常常感到有必要从直观上来作解释，并且在这方面会越来越表现出很大的独创性，正如著名数学家柯尔莫戈罗夫所说：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研

21、究的问题从几何上视觉化。”；抽象思维是数学思维的核心，它常常以概念，判断，推理为其基本形式，以比较与分类，抽象与概括，分析与综合，归纳与演绎等逻辑方法为其基本方法，带有抽象思维倾向的学生常常用抽象的模式进行运算，他们在解题中对于形象化的对象或模式不需要借助于视觉上的直观图形，甚至当依靠图形能够得出简单的解法时，他们也往往应用复杂的逻辑分析的解法，当然对于一些抽象的问题，他们往往能够获得顺利的解决，而且喜欢将那些用具体，形象的方式表达的问题转化，推广到抽象的水平。当然也有一些学生对这两种思维没有表现出明显的倾向，他们属于平衡型，对于某些领域的问题，他们会运用代数的计算，推理等分析方法，而对于另一

22、些范围内的问题，他们又往往寻求几何，直观上的解释6。复数既有代数形式又有几何形式，有些复数问题需要用代数分析的方法，而又有些复数题目需要运用几何意义去分析，而且还有些问题既可以应用代数形式的方法，又可以应用几何意义的方法，有的时候用代数方法方便，有的时候用几何方法简单。学生中存在着不同的思维倾向，这些具有不同思维倾向的学生理解复数中的概念，运用复数的概念在问题解决过程中情况如何？他们运用代数的方法还是运用几何的方法与他们的思维倾向到底有多少相关性？我分析了前面的访谈者中的高三成绩组的30人，将他们所学知识中代数部分的测验成绩和几何部分的测验成绩进行比较，其中代数部分我收集了六章的成绩，几何部分

23、我收集了四章的成绩，（虽然，每一章节的测验难度系数不相同，但是从他们任科老师那里了解到，他们每一次考试的命题原则是平均分的期望值为75分）。另外我还结合他们数学任课老师的分析，力图能够比较全面、客观地分析学生代数知识和几何知识的学习情况。调查发现上述30人中有13人表现不明显，有4人明显属于具有抽象思维倾向，以下简称“代数型”，有5人明显属于具有形象思维倾向，以下简称“几何型”，还有8人比较均衡，以下简称“平衡型”，我通过谈话和一些访谈问题对其中各3人进行了个案调查。2.不同思维倾向的学生理解和应用复数概念的特点（1）“代数型”表2-11 学生A、B、C单元测试成绩从以上三个学生的成绩表显示，

24、他们代数部分的学习情况显然好于几何部分的学习情况，可以说属于典型的“代数型”。我问他们什么是复数？他们都说形如a+bi（a，b?R）的数是复数，没有人提到复数是表示复平面内的点。我又要求他们回答复数模的概念时，学生A的回答是：1.在实数范围可理解成该数的绝对值，2.在虚数范围可理解成该数的实数部分的平方与虚数部分数字的平方之和的根，如：有虚数a+bi（a，b?R），有|a+bi|=。学生B回答：在复平面内，将复数对应点到原点的距离是复数的模，即z=a+bi（a，b?R），z的模=。学生C回答：1.设某个复数为z=a+bi（a，b?R），则|z|=，2.设某个复数为z=r（cosq+isinq）

25、，即r为复数的模，3.复平面中点到原点的距离。虽然3人中有2人从几何意义上讲起复数模的含义，但是3人都注重用代数形式来表示模。在访谈问题1中（2）的解决方法上，这三个学生都首先用代数形式的方法正确的解决了目标问题，有一人提到可以用几何方法，但只是画出两个圆就没有能够继续解下去。从复数的概念理解到应用，以上三个同学比较偏爱复数代数形式和模的代数公式，在数和形相结合的问题他们更加喜欢从数、式的方面去分析，偶而对几何的应用，也往往不是自觉的体现，我曾要求他们做这样一道题：“对于任何复数z1和z2，证明|z1+z2|2+|z1-z2|2=2（|z1|2+|z2|2）。”3位学生看到题目毫不犹豫地设z1

26、=x1+y1i，z2=x2+y2i（x1、x2、y1、y2R），然后运用模的代数公式进行计算，其中两位通过计算验证正确，还有一位将代数形式代入式子后犹豫了片刻，反问道：“这好象太烦了，难道会是用几何意义？”但是他只画出坐标系，标出两个点z1、z2就没有做下去，接着又回到代数公式进行计算，算了一步又觉得太烦，最终还是没有做下去。所以带有这种思维倾向的学生由于惯性作用，会影响他们从几何意义方面的理解，或许一段时间内理解了，但因为习惯从代数形式或代数公式思考，如果又不注重反思，就容易使已经建立的几何链接淡化，甚至导致遗忘。在教学中教师要善于发现并关注带有这种思维倾向的学生，从概念的学习到应用，有意识

27、地指导他们多从几何角度分析，从而使得他们能够借助直观的图形表象尽快地完成复数中概念的对象化。（2）“几何型”表2-12 学生D、E、F单元测试成绩以上三个学生的成绩表显示，他们的几何知识的学习情况好于代数知识的学习情况，特别是立体几何的学习，他们都比较稳定，不象代数知识起伏那么大，应该偏向于形象思维，属于“几何型”。当问起什么是复数，学生D和E都讲“形如a+bi（a，b?R）的数是复数”，学生F回答：“复数好象是带i的数，不过它好象是表示平面内一点”。看得出，两人讲的代数形式，一人讲的几何形式。在回答复数模的概念时，学生D回答：1.z=a+bi，则|z|=；2.用复平面上点(a，b)到（0，0

28、）的距离来表示模；3.对任一复数z=a+bi，定义模长如下，对于（b，a），（-b，-a）两点，这两点距离的平方为模长平方的四倍。学生E回答道：复数模就是以复数的实部为横坐标，复数的虚部为纵坐标的点在复平面内到原点（0，0）的距离。学生F回答：10在复平面上复数表示的点到原点的距离，20复数所表示向量的大小。三个人在回答模的概念时，都通过几何的形式来加以描述，其中学生D还用模的几何意义来描述两点（b，a），（-b，-a）的距离。在访谈问题1中（2）的解决方法上，这三人中有两人首先画出圆用几何方法获得解决，然后才尝试用代数形式和三角形式等方法，只有一人先用代数形式的方法。倾向于“形象思维”的学生理解复数中概念，偏向于应用复数的几何意义。同样我要求上面3个学生去解决前面呈现给“代数型“的学生的问题，有两人看到题目没有马上计算，而是思考了一会儿，画出复数z1、z2对应的向量，其中一个很快欣喜地叫道：“哦！这是初中平面几何中平行四边形的对角线平方和公式吗！”，带有这种思维倾向的学生由于思维的爱好往往借助一些直观图形作为表象，容易发现复数与其它知识特别是与几何内容的联系，教师在教学中