第二章__声子

1、第二章第二章 声子声子晶格动力学晶格动力学本节用本节用经典力学经典力学的方法讨论完整晶格中的方法讨论完整晶格中原子（离子）绕平衡位置的振动原子（离子）绕平衡位置的振动晶格振动晶格振动首先我们考虑一个元胞中首先我们考虑一个元胞中只有一个原子（离子）只有一个原子（离子）的简单晶格的简单晶格晶体的元胞数为晶体的元胞数为N，原子质量为，原子质量为M，原子，原子l 的位置：的位置：)()(tuRtXlll)(tul则代表此原子的则代表此原子的位移。位移。晶格振动的晶格振动的总动能总动能zyxuuMTlll,21,总势能为总势能为.) ,(21)(,0lllllluullul), () ,(0)(0200

2、lluullullll的势能。为常数，是平衡位置时由于晶体的由于晶体的平移对称性平移对称性)() () ,(llllll) (ll 代表代表l元胞元胞中原子沿中原子沿 方向方向移动单位距离时对移动单位距离时对l元胞元胞中原子作用力沿中原子作用力沿 方向方向的分量，的分量，称为力常数称为力常数0) (lll因为当整体作因为当整体作刚性运动刚性运动（即每个原子均作（即每个原子均作 ）时，晶格中任一原）时，晶格中任一原子受到其它原子子受到其它原子作用力之总和为零作用力之总和为零；即；即vul0) () ()( vllullulFlll 在简谐近似下在简谐近似下，略去略去 展开的三次方展开的三次方0令

3、, ,) (2121llllllllluMpuullppMTH由由正则方程正则方程lluHp可得系统的运动方程可得系统的运动方程, ) (lllulluM利用平移对称性及利用平移对称性及布洛赫定理布洛赫定理0ueulRikl对于确定的对于确定的k，运动方程的解表现出下列特征：，运动方程的解表现出下列特征：各元胞中原子振动的方向相同，振幅相等。各元胞中原子振动的方向相同，振幅相等。有特定的相位关系，按有特定的相位关系，按 变化变化lRike因此，每一确定的因此，每一确定的k k 的的解代表波长为解代表波长为 的集体振动，称为的集体振动，称为格波格波|2k令令 对应于用波矢对应于用波矢k标记的标记

4、的特解特解kUu0可将可将3N自由度自由度的耦合方程组简化为的耦合方程组简化为N个独立的个独立的3自由度自由度耦合方程。耦合方程。而每个波矢满足方程而每个波矢满足方程zyxUkDUkk,)(lRiklelMkD)(1)(-3 3动力学矩阵动力学矩阵，为，为实的厄米矩阵。实的厄米矩阵。 其对角化方程为其对角化方程为kkeekD2)( 为振动频率，为振动频率，由由久期方程久期方程0|)(|det2kD可求出可求出3个本征频率个本征频率和和本征向量本征向量），（321; )(kek满足正交性和完备性条件满足正交性和完备性条件tikkeeU结合以上方程可知：结合以上方程可知：1tRkiklleeNu代

5、表波矢为代表波矢为k k、偏振为、偏振为 、频率、频率 为为的格波解。的格波解。)(k在在BZBZ中，一定时刻中，一定时刻t t的格波解的格波解 称为称为简振膜。简振膜。lRikkeeN21根据正格矢与倒格矢之间的关系可得根据正格矢与倒格矢之间的关系可得)()(kDKkDn动力学矩阵是倒逆空间的周期函数；因此在动力学矩阵是倒逆空间的周期函数；因此在BZ内讨论内讨论即可。即可。由于有由于有N个不同的个不同的k，而每个，而每个k又对应又对应3个本征值，因此个本征值，因此有有3N个简正模个简正模（或格（或格波解），它们满足正交、归一和完备性条件，波解），它们满足正交、归一和完备性条件，构成构成3N维

6、空间函数组维空间函数组。对于具有对于具有r 个原子的个原子的复式晶格复式晶格，本征频率，本征频率)3,.,2 , 1()(rklRikkkksleQseNMsu)(1)(,晶格振动的一般解晶格振动的一般解：kQtkie)(系数系数 （包括（包括 因子）在固体物理学中称为因子）在固体物理学中称为简正坐标；简正坐标；ke代表格波的偏振方向，称为代表格波的偏振方向，称为极化矢量极化矢量，它是单位矢。，它是单位矢。lRikkkkleQeNMu,12.2.格波的特性格波的特性1. 1. 的共性的共性)(ki）格波的格波的本征频率本征频率是倒点阵的周期函数是倒点阵的周期函数)()(nKkkiiii） 具有

7、点阵所属点群的全部对称性具有点阵所属点群的全部对称性)(k)()(kkiii）存在一个普遍的关系式存在一个普遍的关系式)()(kk它是时间反演对称性的结果。它是时间反演对称性的结果。2. 声学模与光学模声学模与光学模声学模：声学模： 色散曲线具有色散曲线具有k=0时，时， =0特征特征的格波称为声学模。的格波称为声学模。光学模：光学模： 反之，当反之，当k=0k=0时时, , 的格波解称为光学模。的格波解称为光学模。0可以证明：可以证明：简单晶格简单晶格中的全部格波解都属于中的全部格波解都属于声学模声学模因为：因为：lRiklelMkD)(1)(0)(1)0(llMkD 在在复式晶格中复式晶格

8、中，同时存在，同时存在声学模声学模和和光学模光学模对于元胞中有对于元胞中有r个原子个原子的复式晶格有本征方程的复式晶格有本征方程)() (,2sesesskDksk其中其中s,s=1,r,代表元胞中不同的原子。代表元胞中不同的原子。格波频率格波频率由下式决定：由下式决定：0|,|det2sssskDlRiklssesslMMsskD,1,02) ()(, susussllll同样，复式晶格的同样，复式晶格的刚性位移刚性位移不产生应力不产生应力 , 0,slssll将将 代入本征方程可得代入本征方程可得D0时的k)3,.,2 , 1() (,1)()(, ,2rMsessllMMsesslss

9、如果某确定的如果某确定的 的解在长波限满足条件的解在长波限满足条件rssMseMsess,.,1,) ()(-同向运动同向运动则本征方程变为则本征方程变为声学模, 0)(0,)(1)()(2, 2 ssllMseMMseslsss由此可知，由此可知，复式晶格的声学模复式晶格的声学模为元胞内各原子的为元胞内各原子的同向运动同向运动，即元胞的，即元胞的质心运动质心运动每个每个k值有值有3个独立的个独立的 解解属于声学模。属于声学模。 在一般情况下在一般情况下， ， 即其它即其它（3r-3）个个 解属于格波的解属于格波的光学模光学模0)(如果（如果（s=1s=1，2 2），当），当 时时 点的实极化

10、矢量满足点的实极化矢量满足正交关系正交关系：0)2()2() 1 () 1 ()2() 1 ()2() 1 (eeeeeeee设设 为为声学模声学模，由于对声学模有，由于对声学模有21)2() 1 (MeMe代入上式可得代入上式可得0)2() 1 () 1 (211eMeMMe由于由于3 3个声学模解的极化向量个声学模解的极化向量 彼此正交。彼此正交。)3 , 2 , 1()(se因此，因此，光学模光学模满足条件满足条件0)2() 1 ()2() 1 (2121lluMuMeMeM因此，因此，光学模光学模代表元胞的代表元胞的质心不动质心不动，元胞内原子的，元胞内原子的相对运动相对运动。3. 格

11、波频率的计算格波频率的计算二维的正方晶格二维的正方晶格lRiklelMkD)(1)( 0llflll 11,5()2iij（i） 线（包含线（包含 、M点）点）横向声学模横向声学模：极化矢量：极化矢量e与传播方向垂直；与传播方向垂直；纵向声学模纵向声学模：极化矢量：极化矢量e与传播方向平行；与传播方向平行；（ii） 线（包含线（包含 、X点）点）存在存在横向声学模横向声学模和和纵向声学模纵向声学模（iii）Z线（包含线（包含X、M点）点）既既非横波非横波，也，也非纵波非纵波。 一维复式晶格一维复式晶格 既存在既存在声学模声学模，也存在，也存在光学模光学模3. 3. 简正坐标简正坐标在简谐近似下

12、晶格振动已由在简谐近似下晶格振动已由简正模的线性叠加简正模的线性叠加表示表示lRikkkkleeQNMu,1kQlulluu *其其 是复是复简正坐标简正坐标，由于，由于 中中为实量，则为实量，则 那么；那么；kkkkQeQe*若约定极化矢量满足关系式若约定极化矢量满足关系式kkee则则复简正坐标复简正坐标kkQQ*对于对于动能动能kkkkkkkkkkkkkkkklllQQeeQQeeQQuuMT,*,*, ,21)(21)(2121晶格振动的晶格振动的势能势能AeNQQullulRkkikkkklllll)(,*,121) (21其中其中) ()() () (12)(keeekDeeellM

13、eAkkkkklRRikkll那么那么kkkQQk,*2)(21晶格振动的哈密顿可简化为晶格振动的哈密顿可简化为,*2*)(21kkkkkQQkQQHH在简正坐标中表示为在简正坐标中表示为3N个独立项之和；个独立项之和；利用利用拉氏函数拉氏函数 TL可求出可求出Qk 的共轭动量的共轭动量*kkkQQLP,*2*)(21kkkkkQQkPPH根据根据正则方程正则方程kkQHP可求出简正坐标满足方程可求出简正坐标满足方程02kkkQQ与与简谐振子的运动方程简谐振子的运动方程在形式上相同。在形式上相同。利用傅里叶变换利用傅里叶变换,)(1)(lRiklklRiklkklleueNMeueNMQ,)(

14、1)(1lRiklklRiklkkllepeNMepeNMPkQkP显然显然简正坐标简正坐标 和其和其共轭动量共轭动量 均为集体坐标。均为集体坐标。4.声子声子晶格振动必须用晶格振动必须用量子力学量子力学处理处理其量子化条件为共轭量其量子化条件为共轭量 满足满足对易关系对易关系llup ,),(0,zyxppuuipuupupllllllllllll（一次量子化）（一次量子化）那么容易求得简正坐标的那么容易求得简正坐标的对易律对易律：) (,1)(,)(1,kkRkkilkkRkRkillkllkkkieNeeieupeeNQPllll）0,kkkkPPQQ由于（由于（P，Q）为复共轭量，因此

15、，）为复共轭量，因此，H哈密顿中哈密顿中)(21*2*kkkkQQkPP并不对应量子力学中频率并不对应量子力学中频率 为为的的简谐振子哈密顿量简谐振子哈密顿量 )(k)(21222qp因为（因为（p，q）为）为实量实量。晶格振动的哈密顿可进一步写成：晶格振动的哈密顿可进一步写成：,2)(21kkkkkQQkPPH为了消除为了消除H中中k和和-k的的交叉项交叉项，通过正则变换（对易关系不变）定义新算符，通过正则变换（对易关系不变）定义新算符)(2)()(2)(kiPQkakiPQkakkkkkk（二次量子化）（二次量子化）经计算可得哈密顿经计算可得哈密顿,)(21kkkkkHkaaH对易关系对易

16、关系为为0,kkkkkkkkaaaaaa（玻色对易关系玻色对易关系）其其时间依赖关系时间依赖关系可利用海森堡运动方程可利用海森堡运动方程( ),( )(0)kkkik tkkiaH aik aaae 位移矢量可表示为位移矢量可表示为,)(2/1,2/1.)0()(2)(2ktkRkkkkRikkRikkklcheaekNMeaeaekNMulllh.c.代表代表厄米共轭项厄米共轭项，这是位移的行波展开，其中每一项求和代表，这是位移的行波展开，其中每一项求和代表频率频率 )(kkekH偏振偏振 沿沿k方向方向传播的格波，它所对应的哈密顿量是传播的格波，它所对应的哈密顿量是定态薛定谔方程定态薛定谔

17、方程)(21kaaHHkkkkkkk其中进一步可得进一步可得kkkkkkkkaak)(21)(暂时略去（暂时略去（k， ）aa下面讨论上面算符方程的下面讨论上面算符方程的基态基态和和激发态激发态（i）基态）基态0o设基态为设基态为 ，有能量，有能量 ，采用，采用狄拉克（狄拉克（Dirac）算符）算符0|0|0aa将算符将算符a 作用上式两边作用上式两边0|0|) 1(0|0aaaaaaa得到另一个态得到另一个态 满足满足0|a)0|)()0|(0aaaa0当当 时它比时它比|0|0具有具有更低的能量更低的能量，显然与原假设矛盾，所以，显然与原假设矛盾，所以基态必须满基态必须满足条件足条件00|

18、a上式即上式即二次量子化二次量子化表象中的表象中的基态定义基态定义00|aa由于由于 ，于是基态能为，于是基态能为21000它相当于它相当于振子的零点能。振子的零点能。（ii）激发态）激发态(|0 )()a a aaaa 0|a称为激发一个称为激发一个 能量为能量为 的的 波格量子波格量子 的状态，称为的状态，称为第一激发态第一激发态。 0|)(0|)(nnanaaa0|)(na代表激发代表激发n个格波量子的状态，叫做个格波量子的状态，叫做第第n激发态激发态，用，用 n|表示表示 0|)(|nnacn其中其中cn由归一化条件决定。由归一化条件决定。(|0 )a(1)|0aa a同样，同样，,.

19、)3 , 2 , 1(|nnnnaann格波能量总是以格波能量总是以 一份份地激发，一份份地激发，这个量子称为声子这个量子称为声子激发了激发了n个声子的个声子的 格波格波能量为能量为)21(21nnn与与谐振子的能量一致谐振子的能量一致。（iii）递推关系）递推关系1|1|1|nnnannnaaa是声子的产生算符，是声子的产生算符，是声子的消灭算符；是声子的消灭算符；aan有特性有特性nnnaann|其本征值为其本征值为n n，代表声子数，因此，代表声子数，因此， 称为称为声子数算符声子数算符。n另外另外0|)(!1|nann恢复脚标恢复脚标（k， ），），那么那么,)()21(kkkkaaH

20、代表代表3N种不同的种不同的（k， ）的的无互作用声子系统无互作用声子系统，而能量为，而能量为,)21)(kknkE声子是玻色子声子是玻色子，N个原子（离子）的耦合振荡问题在简谐近似下约化为独立玻个原子（离子）的耦合振荡问题在简谐近似下约化为独立玻色子系统。色子系统。温度温度T时，格波（时，格波（k ）所激发的）所激发的平均声子数平均声子数1/exp1_TknBkk T=0K时，声子数为时，声子数为0，称为，称为声子真空声子真空。 声子并不是真实的粒子，声子并不是真实的粒子，不能脱离固体，可以产生和消灭，有相互作用时声子不能脱离固体，可以产生和消灭，有相互作用时声子数数不守恒不守恒。5 5长波

21、方法（一）长波方法（一）声学模声学模 在多数问题中，在多数问题中，长波长的声子长波长的声子起重要作用，为此，有必要讨论晶格动力学理论的起重要作用，为此，有必要讨论晶格动力学理论的长波极限长波极限（k0）情况。情况。 由于声频支代表同一元胞中诸原子（基元）的由于声频支代表同一元胞中诸原子（基元）的质心运动质心运动，因此，复式晶格中的声，因此，复式晶格中的声学模也可当学模也可当简单晶格简单晶格处理。处理。 对长波长的晶格振动，晶体结构的原子性对问题影响不大，可用对长波长的晶格振动，晶体结构的原子性对问题影响不大，可用连续介质连续介质近似近似引入一个在空间引入一个在空间缓变的位移场缓变的位移场 ：代

22、表：代表r点附近小体元的位移；点附近小体元的位移；当 （简 记时，u就是l元胞中质心的运动)(rulRr ) lr lrlllllrllrruRRruuruu|)()()(| )(时间的函数时间的函数由于由于u是在元胞间是在元胞间缓慢变化缓慢变化过渡到连续介质的过渡到连续介质的基本关系式基本关系式定义定义密度：密度： M求和与积分的求和与积分的变换：变换： (.).dl过度到连续介质近似过度到连续介质近似对于晶格振动的对于晶格振动的动能：动能：代表动能密度。其中2222| )(|21)()(| )(|21| )(|21|21rurFrFdrudlruuMTllll对于对于势能项势能项)(21|

23、)(|)(21)( ) ()(41;,rdruruCdrrurruCuulluulrlrlllllll其中：其中：)()(21;lllllRRRRllC-弹性系数弹性系数 ruruCr;21)(- 形变能密度形变能密度考虑求解弹性问题，首先应考虑考虑求解弹性问题，首先应考虑对称性对称性最简单而又最常用的模型是把晶体看作最简单而又最常用的模型是把晶体看作弹性各向同性体弹性各向同性体，这时弹性能与，这时弹性能与取向无关取向无关。)(ruuuu及,由于位移场由于位移场 只可能有三种一阶导数只可能有三种一阶导数 ；因此能保持上述旋转不变性的二次函数只可能是它们的因此能保持上述旋转不变性的二次函数只可能

24、是它们的标量二次型标量二次型: 222| ,)(uuu及u而而 代表晶体代表晶体旋转旋转，而不是应变，这一项不会出现在弹性能中。，而不是应变，这一项不会出现在弹性能中。弹性各向同性体的形变能密度弹性各向同性体的形变能密度应具有下列简单形式应具有下列简单形式,222121|21)(21)(ruruBruruAuBuArA，B与弹性系数的关系与弹性系数的关系BAC,长波近似长波近似的动力学矩阵的动力学矩阵,;21)(21.)(211)(1)(1)(kkCkklllMRkRiklMelMkDlllllRikl求得长波情况下的求得长波情况下的本征方程本征方程kkekkCe,;2具有具有声频支声频支的特

25、征的特征对于弹性对于弹性各向同性体各向同性体kkkeBkekkAe22其其矢量形式矢量形式为为kkkeBkkekAe22)(kek/kek可以看出，它有一个纵波（可以看出，它有一个纵波（ ），两个横波（），两个横波（ ）解）解/,/ )(,BckcBAckcTTTLLL横波的声速小于纵波的声速。横波的声速小于纵波的声速。)(exptrki由于求本征方程时，已假定由于求本征方程时，已假定晶格波晶格波 的形式解的形式解作下列对应：作下列对应：ueriktik;由此可得由此可得弹性波方程弹性波方程（从本征方程）（从本征方程）rruCu2,;当当各向同性各向同性时时),(222zyxruBrruAu经

26、变化可求得经变化可求得矢量表示式矢量表示式)()(2222uccucuTLT这就是人们熟知的这就是人们熟知的弹性波方程。弹性波方程。引入引入简正坐标简正坐标,)(1)(krikkkkrikkkePeVrpeQeVru经计算可得：经计算可得： ,2)(21kkkkkQQkPPH引入引入声子的产生消灭算符声子的产生消灭算符,)()21(kkkkaaH-有一个纵波和两个横波。有一个纵波和两个横波。 位移场位移场的二次量子化形式的二次量子化形式)()(2)(,rikkkrikkkeaeaVkeru位移场的变化与位移场的变化与体积变化体积变化有关有关krikkLrikkLLkrikkrikkkeaeak

27、VkieaeakeVkiur)()(2)()(2)(,因此，只有因此，只有纵波导致体积变化纵波导致体积变化，LA声子对电子的互作用比声子对电子的互作用比TA声子更重要。声子更重要。6 6长波方法（二）长波方法（二）光学模光学模 在离子晶体中在离子晶体中长波光学模长波光学模代表元胞代表元胞内正、负离子的反向运动内正、负离子的反向运动，它伴随着极，它伴随着极化并与电磁波有强烈的相互作用，从而对离子晶体的化并与电磁波有强烈的相互作用，从而对离子晶体的电学与光学特性电学与光学特性有重要有重要影响。影响。以下为以下为黄昆的长波方法黄昆的长波方法:设每个元胞只含有设每个元胞只含有两个电荷量相等、符号相反的

28、离子两个电荷量相等、符号相反的离子，基于，基于连续介质模型连续介质模型：由于在长波限各正负离子的相对位移由于在长波限各正负离子的相对位移 几乎一样，因此用一个几乎一样，因此用一个矢矢量量W 描述描述光频振动：光频振动：)(uuMMMMMuuW,M)(2/1其中折合质量的密度折合质量的密度光频支振动的光频支振动的动能密度动能密度WWT21位能密度位能密度由两部分组成由两部分组成极化弹性其中其中EPWW极化弹性1121这里这里P代表晶体的代表晶体的极化强度极化强度，E为宏观电场为宏观电场；显然正、负离子的相对位移导；显然正、负离子的相对位移导致极化并产生致极化并产生内场内场，这个场又反过来作用于离

29、子影响它们运动，并且还使，这个场又反过来作用于离子影响它们运动，并且还使离子上电子相对于核位移产生离子上电子相对于核位移产生电子极化电子极化 方程一：方程一：EWP2212第一项为第一项为离子位移极化离子位移极化，第二项与离子上，第二项与离子上电子的极化电子的极化有关。有关。由此可得：由此可得：)2121()21(2212112212EEEWWWEEEW极化其中其中 是待定系数。是待定系数。)(jiijij拉氏密度拉氏密度 TLW W的共轭量：的共轭量：WWL因此哈密顿：因此哈密顿： )2121(21221211EEEWWWWWH利用利用正则方程：正则方程： WHP可导出可导出光学模的运动方程

30、光学模的运动方程其中第一项代表其中第一项代表弹性恢复力弹性恢复力，是，是短程短程作用；第二项是极化所产生作用；第二项是极化所产生宏观内场宏观内场对对离子运动的作用力，它概括了离子运动的作用力，它概括了长程作用长程作用。 方程二：方程二：EWW1211-长波方法的优点是用宏观内场代替对离子间的长程库仑力求和长波方法的优点是用宏观内场代替对离子间的长程库仑力求和-利用黄昆方程可求出离子晶体中利用黄昆方程可求出离子晶体中光学模横纵波的频率光学模横纵波的频率，并且，并且诸系数诸系数可由常用的可由常用的宏宏观测量值决定观测量值决定（高低频介电常数）。（高低频介电常数）。1.介电常数介电常数WPE、0k考

31、虑考虑 的平面波解，当的平面波解，当 时时tititieWWePPeEE000代入黄昆方程一二代入黄昆方程一二EWPEWW221212112消去消去W后可得后可得EP21121222根据：根据： EPED4可求出可求出 与与 的关系式的关系式2112122241)(介电函数在介电函数在 时有极点。时有极点。11202静态介电常数：静态介电常数： 1121222041高频介电常数：高频介电常数： 2241于是求得诸系数：于是求得诸系数： 4142202/10122011介电函数介电函数可表示为可表示为 202200)(2. 横波及纵波振动方程横波及纵波振动方程在各向同性介质中，光学模可划分为在各

32、向同性介质中，光学模可划分为纵波部分纵波部分与与横波部分横波部分，相应的矢量：，相应的矢量：0, 0,0, 0,0, 0,LTLTLTLTLTLTPPPPPEEEEEWWWWW当不存在外磁场时，当不存在外磁场时， 01tBcET，又由于，又由于 0TE，因此，因此 0TE横振动方程变为：横振动方程变为： 黄昆方程黄昆方程二写为：二写为： )(12)(11)(LTLTLTEWW2011220TTTTWW横波的频率与介电函数的横波的频率与介电函数的极点频率极点频率 相等。相等。0对于纵波，考虑到离子晶格中对于纵波，考虑到离子晶格中平均电荷密度为零平均电荷密度为零，故，故0)4(LLPED，又由于，

33、又由于 ；所以；所以0)4(LLPE04LLPE代入代入黄昆方程一黄昆方程一，可得，可得LLWE2212414将上式代入将上式代入黄昆方程二黄昆方程二，可得，可得纵波振动方程纵波振动方程2221211224140LLLLWW纵波和横波的关系纵波和横波的关系202TL这是著名的这是著名的LST(Lyddane-Sachs-Teller)关系。关系。介电函数介电函数可进一步写为可进一步写为2222)(TL0TLLT由于由于 ，因此因此 ； 为介电函数的零点频率为介电函数的零点频率， 为极点频率为极点频率。LT0)(当当时，时，；这时电磁波只能在这时电磁波只能在晶体边界上反射，晶体边界上反射，而不能

34、在介质而不能在介质中传播。7 7极化激元极化激元 由于光子是由于光子是横向电磁场的量子横向电磁场的量子，光照射离子晶体时将激发，光照射离子晶体时将激发横向电磁场横向电磁场，从而，从而对离子晶体中对离子晶体中光频支横波振动光频支横波振动产生影响。产生影响。kc11310sT 当光子频率（当光子频率（ ）与横波光学模声子（）与横波光学模声子（TO）的频率（）的频率（ ）相近时，两者耦合很强，形成相近时，两者耦合很强，形成光子光子-光学模声子的耦合模式光学模声子的耦合模式，其量子称为，其量子称为极化激极化激元（元（Polaritons）T1310cmk1810cm 由于由于 时对应的时对应的光子波数

35、光子波数 与与布里渊区的尺寸布里渊区的尺寸（ ）相比为小量，因此，极化激元是长波长光频支振动与电磁场的耦合模量子。相比为小量，因此，极化激元是长波长光频支振动与电磁场的耦合模量子。为为求耦合模，必须考虑黄昆方程与麦克斯韦方程的联立求耦合模，必须考虑黄昆方程与麦克斯韦方程的联立0)4(111222212TTTTTTTTTTEWWEWPPEcHHcE0H0j040)4(LLLLPEPED其中假定其中假定（i i）介质是）介质是非磁性的非磁性的：（iiii）不存在）不存在空间电流空间电流：（iiiiii）无）无自由电荷自由电荷：所以仅涉及横向场量：所以仅涉及横向场量：* 考虑考虑平面波型解平面波型解

36、：设波矢：设波矢k沿沿z方向，方向，E、P、W在在x方向振动，而方向振动，而H沿沿y方向方向)(exp)0()0()0()0(tzkiHHWWPPEEyyxxxxxx代入上式代入上式0)(004022121222xTxxxxxyxyxWEWPEPckHEcHcEk解系数行列式解系数行列式0)(0010040022121222Tckcck可将频率方程写为可将频率方程写为0)(22222224TLckck得到得到极化激元极化激元的色散关系的色散关系2/1222224442222)2(221TLLLckckck极化激元的解有两支极化激元的解有两支当当 时：时：0k022222ckLckL当当 时：时

37、：22222Tck有两重根，说明存在两种横波，它们的偏振方向不同。有两重根，说明存在两种横波，它们的偏振方向不同。反映出声子与光子的耦合特征。反映出声子与光子的耦合特征。禁区禁区光速光速 + -介质中光速介质中光速两支极化激元的两支极化激元的色散曲线色散曲线:Tk)(0)(kL在在 频率范围内不存在耦合模的传播解，代表频率范围内不存在耦合模的传播解，代表禁区。在禁区禁区。在禁区入入射光不能在离子晶体中传播，与此同时实验上将观察到强烈的射光不能在离子晶体中传播，与此同时实验上将观察到强烈的反射现象。反射现象。LT介电函数与频率的关系：介电函数与频率的关系：)(2222222TLck反射率反射率2

38、1)(1)()(R当当1)(R0)(时，以上说明以上说明极化激元对解释晶体中的极化激元对解释晶体中的光学现象光学现象起重要作用起重要作用。极化激元极化激元的概念在固体理论中已推广到的概念在固体理论中已推广到光子与激子、磁振子光子与激子、磁振子等的相互作用形等的相互作用形成的耦合模量子。成的耦合模量子。以上极化激元的以上极化激元的色散关系色散关系已被已被拉曼拉曼（Raman）光谱实验所证实。）光谱实验所证实。8. 态密度态密度)(k),(k 由于波矢由于波矢k k显准连续分布，每一频带内的格波频率显准连续分布，每一频带内的格波频率 也将是也将是连续分布连续分布。那。那么在计算热力学量时，可以把么

39、在计算热力学量时，可以把 的求和变换为对频率的积分的求和变换为对频率的积分。态密度态密度：平均每个元胞（或格点）的态密平均每个元胞（或格点）的态密 度度定义为定义为单位频率间隔内单位频率间隔内的的格波模式数被总元胞数格波模式数被总元胞数N除。除。)(g,)(1)(kkNg态密度满足：态密度满足：sNdkNdgkk3 1 11)(1)(,00即对于三维即对于三维复式晶格复式晶格，当元胞内含有，当元胞内含有s个原子时，态密度的积分应等于平均每个个原子时，态密度的积分应等于平均每个元胞内的元胞内的振动自由度振动自由度3s。* 由于求和变换为积分有由于求和变换为积分有:(.)2(.)33kdVk那么，

40、用积分表示态密度有那么，用积分表示态密度有: kdkg3*3)()2()(用态密度计算热力学量用态密度计算热力学量在简谐近似下，晶格系统在简谐近似下，晶格系统总的振动能量总的振动能量为为)21)(,kknnkEk这里这里 为为声子数组态声子数组态kn晶格振动的晶格振动的配分函数配分函数为为)()(21,1expkkknneeEZkkTkB/1按照热力学公式，按照热力学公式，自由能自由能为为,2)(sinh2lnlnkBBBTkkTkZTkF利用狄拉克利用狄拉克 函数函数的特性的特性 )()()(kfkkf以及以及1)(0dk自由能可写为：自由能可写为：dgTkkTdkNTkkTFBkB)(2)

41、(sinh2lnNk)(12)(sinh2lnNk0B,0B态密度是态密度是计算晶格热力学特性的重要物理量计算晶格热力学特性的重要物理量内能：内能： 0)(2coth21dgTkNTFTFUBV热容：热容： 022)(2csc2dgTkhTkNkTUCBBBVV熵：熵： 0)(2sinh2ln2coth2dgTkTkTkNkTFSBBBBV显然，知道了态密度也就显然，知道了态密度也就可计算出可计算出以上热力学量。以上热力学量。态密度的计算态密度的计算例如，对于质量为例如，对于质量为M，弹性常数为，弹性常数为f以及周期为以及周期为a的一维原子链，其格波频率为：的一维原子链，其格波频率为：是格波的

42、最高频率MfkakMM2)21(sin)(222那么那么MMMaddkakdkddkadkkgM012)()()(2a)(220/a/采用长波近似时，各向同性时格波声学模的色散关系简化为采用长波近似时，各向同性时格波声学模的色散关系简化为kck)(每个每个k k有一个纵波和两个横波。由于态密度的积分在有一个纵波和两个横波。由于态密度的积分在 内内*3333/12333213634)2()2(*TLDDDDcccckVNkkVN其中DkD是是德拜德拜（Debye）模型中的最大波数，）模型中的最大波数， 是是德拜频率德拜频率。态密度态密度DDDkDdkkkkdkg094)()2()()2()(32

43、0233*3这就是固体物理学中的德拜这就是固体物理学中的德拜（Debye）态密度）态密度态密度的面积分表示态密度的面积分表示首先将首先将k空间元作变换空间元作变换|3kkddkdkddkdskddsdk其中其中 是等频面上的面积元，是等频面上的面积元， 是等频面间的垂直距离是等频面间的垂直距离当当 时，被积函数发散，因此这些点的态密度出现奇异性，这时，被积函数发散，因此这些点的态密度出现奇异性，这样的点称为样的点称为范范 霍夫奇点（霍夫奇点（Van Hove）0| )(|kk若将格波的频率换成若将格波的频率换成能带电子的能量能带电子的能量)(kEn则平均每个格点的则平均每个格点的电子态密度为：

44、电子态密度为：SnkEnnkEdSgkdkEEkdkEEg| )(|)2(2)()()2(2)()2()(33*33*3这里这里 代表电子代表电子自旋指标自旋指标。 对于自由电子模型对于自由电子模型mkkE2)(22那么那么EEgkdEkEdkkkd)()()(423此即此即自由电子气的态密度。自由电子气的态密度。9范范 霍夫奇点（霍夫奇点（Van Hove）态密度的面积分表示：态密度的面积分表示：SkkdSg| )(|)2()(30| )(|kk)(g当波包的群速当波包的群速 时，时， 中将出现中将出现范范 霍夫奇点。霍夫奇点。)(kkk* * 由于在三维晶格中由于在三维晶格中 在在 色散曲

45、线的极小点、极大点和鞍点色散曲线的极小点、极大点和鞍点处为零。那么处为零。那么31200)()()(iiikkkki0k其中其中 是在主轴坐标系中的是在主轴坐标系中的展开系数展开系数，而，而 为为范范 霍夫奇点霍夫奇点的波矢。的波矢。0)(0kkkk那么共有那么共有4类类范范 霍夫奇点霍夫奇点：0,321)(k0M1） ：代表代表 的极小点，用的极小点，用 标记；标记；0,321)(k3M2） ：代表代表 的极大点，用的极大点，用 标记；标记；0, 0,321)(k1M3） ：代表代表 的的I类鞍点，用类鞍点，用 标记；标记；0, 0,321)(k2M4） ：代表代表 的的II类鞍点，用类鞍点

46、，用 标记；标记；范范 霍夫奇点霍夫奇点附近态密度的特性附近态密度的特性首先作标度变换：首先作标度变换： iiikkr)(0可得：可得： ) 1()()(3120iiiirkk对于对于单频带单频带情况，再利用态密度的另一个等效公式：情况，再利用态密度的另一个等效公式：kdkg3*3)()2()(下面分别讨论下面分别讨论4类范类范 霍夫奇点霍夫奇点0M13211）极小点（极小点（ ）：）： 的情况；的情况；312220)()(iirrrkk计算可得：计算可得：)(sgn1)(2)2()(2)2()(4)2()(1)2()()2()()2()(02/103213220321322032133213

47、*33*3kkrdrrkdrrrkdrdrdrkdkdkdkkkdkgzyxzyx其中其中 )0(1)0(1sgnxxx这样可得这样可得极小点极小点（ ）附近的态密度）附近的态密度0M)(0)()()(002/10kkkg态密度以态密度以无限大斜率无限大斜率离开极小点。离开极小点。3M13212）极大点（极大点（ ）：）： 的情况；的情况；同理可得：同理可得：)(sgn1)(2)2()(02/103213kkg态密度：态密度： )()()(02/10kkg态密度以态密度以负无限大斜率负无限大斜率接近极大点。接近极大点。1M1, 13213）I类鞍点类鞍点（ ），）， 的情况的情况2322210

48、)()()(rrrkk当当 时，令时，令)()(0kk2232221)(arrr是是单叶双曲面单叶双曲面当当 时，令时，令)()(0kk2232221)(arrr是是双叶双曲面双叶双曲面)()(0kk当当 时时0)(232221rrr做下列做下列坐标变换：坐标变换：i i）当）当 时，令时，令)()(0kk020sinhsincoshcoscosh321这里，ararar变换前后的变换前后的体元关系体元关系;ddkdkkdrdrdrsinh)()()(212/10321iiii）当）当 时，令时，令)()(0kk020coshsinsinhcossinh321这里，arararddkdkkdr

49、drdrcosh)()()(212/10321变换后变换后态密度为态密度为：32132133*3)(1)2()()2()(232drdrdrkkdkgRrii232Rrii*2R其中其中 来源于积分限于来源于积分限于 内。内。 为一为一固定数固定数由此可得：由此可得：在在I鞍点附近的态密度鞍点附近的态密度：时当时当)()()(21)()()(21)(0002002kkkRgkkRg)(0k)(0k在在 附近态密度是连续的，但附近态密度是连续的，但斜率是不连续的斜率是不连续的，第二项的导数在，第二项的导数在 点点趋于正无穷大。趋于正无穷大。2M1, 13214）II类鞍点类鞍点（ ），）， 的情

50、况的情况1M)(0k与与I类鞍点（类鞍点（ ）类似，只是）类似，只是态密度的导数在态密度的导数在 点以负无穷大离开。点以负无穷大离开。10. 晶格振动的局域模晶格振动的局域模 含有含有杂质和缺陷杂质和缺陷的晶体，由于平移对称性被破坏，其声子谱将不同于完整的晶体，由于平移对称性被破坏，其声子谱将不同于完整晶格，会产生以杂质、缺陷为中心的晶格，会产生以杂质、缺陷为中心的局域振动模式局域振动模式。以一维原子链入手。以一维原子链入手。设质量为设质量为M M的原子的原子组成一维简单晶格，元胞数为组成一维简单晶格，元胞数为N N，在原点，在原点( ( )处有一个处有一个质量为质量为M的杂质原子。的杂质原子

51、。近邻互作用的弹性常数均为近邻互作用的弹性常数均为f0l)0()0(lMlMMl并设并设MMM那么那么00为轻杂质。为轻杂质。为重杂质。为重杂质。晶格振动的哈密顿：晶格振动的哈密顿：VTH其中其中动能动能和和势能势能部分分别为：部分分别为：202)(2121llluMMuMTllluufV21)(21（只考虑（只考虑最近邻互最近邻互作用）作用） 1. 单个缺陷对单个缺陷对振动频率振动频率的影响的影响由于平移对称性被破坏，由于平移对称性被破坏，不能直接利用布洛赫定理不能直接利用布洛赫定理来确定系统的振动模式。来确定系统的振动模式。利用利用傅里叶变换傅里叶变换，晶格振动位移可表示为：，晶格振动位移可表示为：BZkiklakleNu1利用关系式：利用关系式：kkllakkieN, ) (1VT、kk,可将可将 改用改用 表示表示kkkkkkkkkMVNMMMT2221221)4(2sin2M22M2Mfkak其中为完整晶格为完整晶格的本征振动频率的本征振动频率设设 ，上式可改成，