第三章第3讲　用导数研究函数的最值

1、抓住抓住2个个考点考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考第第3讲用导数研究函数的最值讲用导数研究函数的最值抓住抓住2个个考点考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考点梳理考点梳理(1)在闭区间在闭区间a，b上连续的函数上连续的函数f(x)在在a，b上必有最大值上必有最大值与最小值与最小值(2)若函数若函数f(x)在在a，b上单调递增，则上单调递增，则f(a)为函数的最小为函数的最小值，值，f(b)为函数的最大值；若函数为函数的最大值；若函数f(x)在在a，b上单调递上单调递减，则减，则f(a)为函数的最大值，为函数的最大值，f(b)为函数的最小值为函数的最小值1函数的最值函

2、数的最值抓住抓住2个个考点考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考2设函数设函数f(x)在在a，b上连续，在上连续，在(a，b)内可导，求内可导，求f(x)在在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：上的最大值和最小值的步骤如下：(1)求求f(x)在在(a，b)内的极值；内的极值；(2)求得的求得的f(x)的各极值与的各极值与_比较，其中最大的比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值一个是最大值，最小的一个是最小值f(a)，f(b)抓住抓住2个个考点考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考求函数在某个区间的最值求函数在某个区间的最值根据最值定理，求在闭区间根据最值定理，求在

3、闭区间a，b上连续，开区间上连续，开区间(a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断导数内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断导数为零的点是极大值还是极小值点，直接将极值点与端点的为零的点是极大值还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大函数值进行比较，就可判定最大(小小)的函数值，就是最大的函数值，就是最大(小小)值对于开区间值对于开区间(a，b)内可导的函数内可导的函数(定义域为开区间定义域为开区间或半开半闭区间或半开半闭区间)求最值时，除求出函数的极大值，极小求最值时，除求出函数的极大值，极小值外，还应考虑函数在区间端点处的极限值或画出函数的值外，

4、还应考虑函数在区间端点处的极限值或画出函数的大致图象，再判定函数的最大大致图象，再判定函数的最大(小小)值，否则会犯错误值，否则会犯错误【助学助学微博微博】抓住抓住2个个考点考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考考点自测考点自测抓住抓住2个个考点考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考3若函数若函数y2x33x212xa在区间在区间0,2上的最大值为上的最大值为5，则，则a的值为的值为_ 答案答案5抓住抓住2个个考点考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个个考点考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考5(2012苏州等五市三区期中考试苏州等五市三区

5、期中考试)已知函数已知函数f(x)exeln x，则，则f(x)的最小值为的最小值为_ 答案答案e抓住抓住2个个考点考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)若曲线若曲线yf(x)与曲线与曲线yg(x)在它们的交点在它们的交点(1，c)处具有处具有公共切线，求公共切线，求a，b的值；的值；(2)当当a24b时，求函数时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区的单调区间，并求其在区间间(，1上的最大值上的最大值考向一考向一利用导数求出函数的最值利用导数求出函数的最值【例例1】 (2012北京卷北京卷)已知函数已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3 bx.抓住抓住2个个考

6、点考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考解解(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.曲线曲线yf(x)与曲线与曲线yg(x)在它们的交点在它们的交点(1，c)处具有公处具有公共切线，共切线，f(1)g(1)，且，且f(1)g(1)即即a11b，且且2a3b.解得解得a3，b3.抓住抓住2个个考点考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个个考点考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个个考点考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考方法总结方法总结 在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别求

7、解函数的最值时，要先求函数值与极值的区别求解函数的最值时，要先求函数yf(x)在在a，b内所有使内所有使f(x)0的点，再计算函数的点，再计算函数yf(x)在区间在区间内所有使内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较的点和区间端点处的函数值，最后比较即得，也可利用函数的单调性求得即得，也可利用函数的单调性求得抓住抓住2个个考点考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)求求f(x)的单调区间；的单调区间；(2)求求f(x)在区间在区间0,1上的最小值上的最小值解解(1)f(x)(xk1)ex.令令f(x)0，得，得xk1.f(x)与与f(x)的变化情况如下：的变化情况如下

8、：【训练训练1】 已知函数已知函数f(x)(xk)ex.x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，所以，f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间；单调递增区间是是(k1，)抓住抓住2个个考点考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(2)当当k10，即，即k1时，函数时，函数f(x)在在0,1上单调递增上单调递增所以所以f(x)在区间在区间0,1上的最小值为上的最小值为f(0)k；当当0k11，即，即1k2时，时，由由(1)知知f(x)在在0，k1)上单调递减，在上单调递减，在(k1,1上单调递上单调递增，所以增，所以f(x)在区间在区间0,1上的最

9、小值为上的最小值为f(k1)ek1；当当k111，即，即k2时，函数时，函数f(x)在在0,1上单调递减，上单调递减，所以所以f(x)在区间在区间0,1上的最小值为上的最小值为f(1)(1k)e.综上所述综上所述f(x)在在0,1上的最小值为上的最小值为抓住抓住2个个考点考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考(1)若若ke，试确定函数，试确定函数f(x)的单调区间；的单调区间；(2)若若k0，且对于任意，且对于任意xR，f(|x|)0恒成立，试确定实数恒成立，试确定实数k的取值范围的取值范围解解(1)由由ke，得，得f(x)exex，所以，所以f(x)exe.由由f(x)0，得，得x

10、1，即，即f(x)的单调增区间为的单调增区间为(1，)；由；由f(x)0，得，得x0对任意对任意x0恒成立恒成立即即f(x)min0(x0)由由f(x)exk0，得，得xln k.考向二考向二函数最值的应用函数最值的应用【例例2】 (2012江苏徐州二模江苏徐州二模)已知函数已知函数f(x)exkx，xR.抓住抓住2个个考点考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考当当k(0,1时，时，f(x)exk1k0(x0)，此时此时f(x)在在0，)上单调递增，故上单调递增，故f(x)f(0)10，符合，符合题意题意当当k(1，)时，时，ln k0.当当0 xln k时，时，f(x)ln k时，

11、时，f(x)0，f(x)在在(ln k，)上单调递增故当上单调递增故当xln k时，时，f(x)取极小值，即为最小值取极小值，即为最小值f(ln k)由题意，得由题意，得f(ln k)kkln k0又又k1，所以，所以1k0.【示例示例】 (2012浙江卷浙江卷)已知已知a0，bR，函数，函数f(x)4ax32bxab.证明：当证明：当0 x1时时抓住抓住2个个考点考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个个考点考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考抓住抓住2个个考点考点突破突破3个考向个考向揭秘揭秘3年高考年高考点评点评 本题无论是求函数本题无论是求函数f(x)在在0,1上的最大值或证明上的最大值或证明f(x)|2ab|a0，都是导数在求函数极值与最