2016南通一模数学含答案

1、密封线_号学_名姓_级班_校学(这是边文，请据需要手工删加)2016届高三年级第一次模拟考试(九)·数学第页(共6页)(这是边文，请据需要手工删加)2016届高三年级第一次模拟考试(九)数学本试卷包含填空题(共14题)、解答题(共6题)，满分为160分，考试时间为120分钟参考公式：锥体的体积VSh，其中S为锥体的底面积，h为高一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分 1. 已知集合Ax|1<x<2，B1，0，1，则AB_ 2. 若复数za2i(i为虚数单位，aR)满足|z|3，则a的值为_ 3. 从1，2，3，4这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的

2、乘积为偶数的概率是_ 4. 根据下图所示的伪代码，可知输出的结果S为_ 5. 为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10 000户家庭的月消费金额(单位：元)，所有数据均在区间0，4 500上，其频率分布直方图如下图所示，则被调查的10 000户家庭中，有_户月消费额在1 000元以下(第4题 )(第5题 ) 6. 设等比数列an的前n项和为Sn.若S23，S415，则S6的值为_ 7. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线1(a>0，b>0)过点P(1，1)，其一条渐近线方程为yx，则该双曲线的方程为_ 8. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点E是棱B1B的

3、中点，则三棱锥B1ADE的体积为_ 9. 若函数f(x)(a，bR)为奇函数，则f(ab)的值为_10. 已知sin，则sinsin2的值为_11. 在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(4，0)若直线xym0上存在点P使得PAPB，则实数m的取值范围是_12. 已知边长为6的正三角形ABC，AD与BE交于点P，则·的值为_13. 在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线yx2(x>0)和yx3(x>0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则的值为_14. 已知函数f(x)2ax23b(a，bR)若对于任意x1，1，都有|f(x)|1成立，则ab的

4、最大值是_二、 解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(abc)(abc)ab.(1) 求角C的大小；(2) 若c2acosB，b2，求ABC的面积16. (本小题满分14分)如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点求证：(1) BEAC；(2) BE平面ACD1.(第16题)17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(a>b>0)过点A(2，1)，离心率为.(1) 求椭圆的方程；(2) 若直线l：

5、ykxm(k0)与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且ABAC，求直线l的方程(第17题)18. (本小题满分16分)如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1 km的半圆面公路l经过点O，且与直径OA垂直现计划修建一条与半圆相切的公路PQ(点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上)，T为切点(1) 按下列要求建立函数关系：设OPQ(rad)，将OPQ的面积S表示为的函数；设OQt(km)，将OPQ的面积S表示为t的函数(2) 请你选用(1)中的一个函数关系，求OPQ的面积S的最小值(第18题)19. (本小题满分16分)已知函数f(x)alnx(

6、aR)(1) 求f(x)的单调区间；(2) 试求f(x)的零点个数，并证明你的结论20. (本小题满分16分)若数列an中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称an为“等比源数列”(1) 已知数列an中，a12，an12an1.求an的通项公式；试判断an是否为“等比源数列”，并证明你的结论(2) 已知数列an为等差数列，且a10，anZ(nN*)求证：an为“等比源数列”密封线(这是边文，请据需要手工删加)密封线_号学_名姓_级班_校学(这是边文，请据需要手工删加)2016届高三年级第一次模拟考试(九)·数学附加题第页(共2页)(这是边文，请据需要手工删加)2016届高三年级第

7、一次模拟考试(九)数学附加题本试卷为非选择题(第2123题)本卷满分为40分，考试时间为30分钟21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修4­1：几何证明选讲(本小题满分10分)如图，圆O的直径AB10，C为圆上一点，BC6，过C作圆O的切线l，ADl于点D，且交圆O于点E，求DE的长(第21­A题)B. 选修42：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵M，求逆矩阵M1的特征值C. 选修4­4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在极坐标系中，已知点A，圆C的

8、方程为4sin(圆心为点C)，求直线AC的极坐标方程D. 选修4­5：不等式选讲(本小题满分10分)已知a0，b0，求证：a6b6ab(a4b4)【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SA平面ABCD，AB1，ADAS2，P是棱SD上一点，且SPPD.(1) 求直线AB与CP所成角的余弦值；(2) 求二面角APCD的余弦值(第22题)23. (本小题满分10分)已知函数f0(x)x(sinxcosx)，设fn(x)为fn1(x)的导数，nN*.(1) 求f1

9、(x)，f2(x)的表达式；(2) 写出fn(x)的表达式，并用数学归纳法证明2016届高三年级第一次模拟考试(九)(南通市)数学参考答案1. 0，12. ±3. 4. 145. 7506. 637. 2x2y218. 9. 110. 11. 2，212. 13. 14. 15. 解：(1) 在ABC中，由(abc)(abc)ab，得，即cos C.(3分)因为0<C<，所以C.(6分)(2) (法一)因为c2acos B，由正弦定理，得sin C2sin Acos B，(8分)因为ABC，所以sin Csin(AB)，所以sin(AB)2sin Acos B，即sin

10、Acos Bcos Asin B0，即sin(AB)0，(10分)又<AB<，所以AB0，即AB，所以ab2.(12分)所以ABC的面积为SABCabsin C×2×2×sin.(14分)(法二)由c2acos B及余弦定理，得c2a×，(8分)化简得ab，(12分)所以，ABC的面积为SABCabsin C×2×2×sin.(14分)16. 证明：(1) 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，连接BD交AC于点F，连接B1D1交A1C1于点E.因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC.因为ABCDA1B1C1D1

11、为直棱柱所以BB1平面ABCD，又AC平面ABCD，所以，BB1AC.(3分)又BDBB1B，BD平面B1BDD1，BB1平面B1BDD1，所以AC平面B1BDD1.(5分)而BE平面B1BDD1，所以BEAC.(7分)(通过证明等腰三角形A1BC1，得BEA1C1，再由ACA1C1得BEAC，可得7分)(2) 连接D1F，因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为直棱柱，所以四边形B1BDD1为矩形又E，F分别是B1D1，BD的中点，所以BFD1E，且BFD1E.(9分)所以四边形BED1F是平行四边形所以BED1F.(11分)又D1F平面ACD1，BE平面ACD1，所以BE平面ACD1.(14分

12、)17. 解：(1) 由条件知椭圆1(a>b>0)离心率为e，所以b2a2c2a2.又点A(2，1)在椭圆1(a>b>0)上，所以1，(2分)解得所以，所求椭圆的方程为1.(4分)(2) 将ykxm(k0)代入椭圆方程，得x24(kxm)280，整理，得(14k2)x28mkx4m280.由线段BC被y轴平分，得xBxC0，因为k0，所以m0.(8分)因为当m0时，B，C关于原点对称，设B(x，kx)，C(x，kx)，由方程，得x2，又因为ABAC，A(2，1)，所以·(x2)(x2)(kx1)(kx1)5(1k2)x250，所以k±.(12分)由于

13、k时，直线yx过点A(2，1)，故k不符合题设所以，此时直线l的方程为yx.(14分)18. 解：(1) 由题设知，在RtO1PT中，OPT，O1T1，所以O1P.又OO11，所以OP1.在RtOPQ中，OQOPtan tan .(3分)所以，RtOPQ的面积为SOP·OQ.(5分)(取值范围不写或不正确扣1分)由题设知，OQQTt，O1T1，且RtPOQRtPTO1，所以，即，化简，得OP(t>1)(8分)所以，RtOPQ的面积为SOQ·OPt·(t>1)(10分)(取值范围不写或不正确扣1分)(2) 选用(1)中的函数关系S.S.(13分)由S0，

14、得.列表S0S极小值所以，当时，OPQ的面积S的最小值为(km2)(16分)(2) 选用(1)中的函数关系S(t>1)S(t>1)(13分)由S0(t>1)，得t.列表t(1，)(，)S0S极小值所以，当t时，OPQ的面积S的最小值为(km2)(16分)19. 解：(1) 由函数f(x)alnx(aR)，得f(x)(lnx2)(2分)令f(x)0，得xe2，列表如下：x(0，e2)e2(e2，)f(x)0f(x)极小值因此，函数f(x)的单调增区间为(e2，)，单调减区间为(0，e2)(5分)(2) 由(1)可知，fmin(x)f(e2)a2e1.(6分)(i) 当a>

15、2e1时，由f(x)f(e2)a2e1>0，得函数f(x)的零点个数为0.(8分)(ii) 当a2e1时，因f(x)在(e2，)上是单调增，在(0，e2)上单调减，故x(0，e2)(e2，)时，f(x)>f(e2)0.此时，函数f(x)的零点个数为1.(10分)(iii) 当a<2e1时，fmin(x)f(e2)a2e1<0.a0时，因为当x(0，e2时，f(x)alnx<a0，所以，函数f(x)在区间(0，e2上无零点；另一方面，因为f(x)在e2，)单调递增，且f(e2)a2e1<0，又e2a(e2，)，且f(e2a)a(12ea)>0，此时，函数

16、f(x)在(e2，)上有且只有一个零点所以，当a0时，函数f(x)零点个数为1.(13分)0<a<2e1时，因为f(x)在e2，)上单调递增，且f(1)a>0，f(e2)a2e1<0，所以，函数f(x)在区间(e2，)有且只有1个零点；另一方面，因为f(x)在(0，e2上是单调递减，且f(e2)a2e1<0.又e(0，e2)，且fa>a0，(当x>0时，ex>x2成立)此时，函数f(x)在(0，e2)上有且只有1个零点所以，当0<a<2e1时，函数f(x)零点个数为2.综上所述，当a>2e1时，f(x)的零点个数为0；当a2e1

17、，或a0时，f(x)的零点个数为1；当0<a<2e1时，f(x)的零点个数为2.(16分)20. 解：(1) 由an12an1，得an112(an1)，且a111，所以数列an1是首项为1，公比为2的等比数列(2分)所以an12n1.所以，数列an的通项公式为an2n11.(4分)数列an不是“等比源数列”，用反证法证明如下：假设数列an是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak(m<n<k)按一定次序排列构成等比数列因为an2n11，所以am<an<ak.(7分)所以aam·ak，得(2n11)2(2m11)(2k11)，即22nm12nm12

18、k12km1.又m<n<k，m，n，kN*，所以2nm11，nm11，k11，km1.所以22nm12nm12k12km为偶数，与22nm12nm12k12km1矛盾所以，数列an中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列综上可得，数列an不是“等比源数列”(10分)(2) 不妨设等差数列an的公差d0.当d0时，等差数列an为非零常数数列，数列an为“等比源数列”当d>0时，因为anZ，则d1，且dZ，所以数列an中必有一项am>0.为了使得an为“等比源数列”，只需要an中存在第n项，第k项(m<n<k)，使得aamak成立，即am(nm)d2amam

19、(km)d，即(nm)2am(nm)dam(km)成立(13分)当namm，k2amamdm时，上式成立所以an中存在am，an，ak成等比数列，所以，数列an为“等比源数列”(16分)附加题21. A. 解：因为圆O的直径为AB，C为圆上一点，所以ACB90°，AC8.因为直线l为圆O的切线，所以DCACBA.所以RtABCRtACD，所以.(5分)又因为AB10，BC6，所以AD，DC.由DC2DE·DA，得DE.(10分)B. 解：设M1，则MM1，所以，所以解得所以M1.(5分)M1的特征多项式f()(1)0，所以1或.所以矩阵M的逆矩阵M1的特征值为1或.(10分

20、)C. 解法一：以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.圆C的平面直角坐标方程为x2y24y，即x2(y2)28，圆心C(0，2)A的直角坐标为(，)(4分)直线AC的斜率kAC1.所以，直线AC的直角坐标方程为yx2，(8分)极坐标方程为(cos sin )2，即sin2.(10分)解法二：在直线AC上任取一点M(，)，不妨设点M在线段AC上由于圆心为C，SOACSOCMSOAM，(4分)所以×2×2sin×2×sin()××2sin，即(cos sin )2化简，得直线AC的极坐标方程为sin()2.(10分)D. 证明： a6b6ab(a4b4)a5(ab)(ab)b5(2分)(ab)(a5b5)(4分)(ab)2(a4a3ba2b2ab3b4)(8分)又a0，b0，所以a6b6ab(a4b4)0，即a6b6ab(a4b4)(10分)22. 解：(1) 如图，分别以AB，AD，AS为x，y，z轴建立空间直角坐标系则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)设P(x0，y0，z0)，由，得(x0，y0，z02)(0，2，2)， x00，y0，z0，点P坐标为(0，)，(1，