量子力学一维谐振子（课堂PPT）

1、.13.3.3 3 一维谐振子一维谐振子 .2 在经典力学中，当质量为在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力的粒子，受弹性力 作作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：Fk x2220d xk xxxkdt其解为其解为 。这种运动称为简谐振动，作这种运这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子称为（线性）谐振子。动的粒子称为（线性）谐振子。cosxAt经典允许的振动范围经典允许的振动范围 1 . 经 典 谐 振 子经 典 谐 振 子222122xpHx 谐振子哈密顿量：谐振子哈密顿量：引言引言 谐振子能量：谐振子能量：2212EA.3 量子力学中的线性谐振子

2、是指在势场量子力学中的线性谐振子是指在势场 中运动的质量为中运动的质量为 的粒子的粒子 2221)(xxV2.2.量子谐振子量子谐振子 例如双原子分子，两原子间的势例如双原子分子，两原子间的势 是二者相对距离是二者相对距离 的函的函数，如图所示。数，如图所示。Vx 自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂

3、运动的初步近似，所以简谐振动的简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。x221212122pHkxm mmm.422211( )( )()()1!2!x ax aVVV xV ax ax axx201()2Vk xa在在 处，有一极小值处，有一极小值 。在在 附近，附近， 势可以展开势可以展开成泰勒级数：成泰勒级数：x a0Vx aaxV(x)0V022x aVkx记记若取若取 ，即平衡位置处于势即平衡位置处于势 点；并记点；并记 ，x=x-ax=x-a则则00V 00V 2k 2212V xx

4、0( )V aV0 x aVx.5 一维谐振子的本征值问题是处理量子力学问题的最基本的范例。 凡是在势能为凡是在势能为2kx21)x(U的场中运动的微观体系都称之为的场中运动的微观体系都称之为线性谐振子。线性谐振子。.6一、势函数 选线性谐振子的平衡位置为坐标原点 以坐标原点为零势能点 则一维线性谐振子的势能为：mkm 是粒子的质量k 是谐振子的劲度系数是谐振子的角频率2222121)(xmkxxV.7二、薛定谔方程及解2222( )0EV xxdd 22222210- 12Exx或dd，时，因为)(|xVx求解，引进无量纲参数为化简上述方程，方便限深势阱，理想的谐振子是一个无为束缚态。0)(

5、x/ ,/2E, x.8上述方程可化为 222d( )() ( )0- 2d 这是个变系数常微分方程。这是个变系数常微分方程。可略去）。（此时行为，求渐近解先讨论) 1 (0)()(dd222对方程其解显然可以写为221)(e因为)()()( 2)(2),()( .9（2）求实际解2/2dH( )dHe 有根据束缚态边界条件，2222/222ddHd( )2( )dddHHHe 22/2/2ddH( )ddeHe 2/2( )( )eH 利用有221)(e.10所满足的方程得代入方程)()4(u要求中断为一多项式。为得到有界解，幂级数 22ddH2(1)( )0- 3ddHH方程。这就是所谓的

6、 Hermite不能满足有界条件。时，当,)(|2e解为无穷级数。计算表明，一般情况下数展开。邻域用幂级为方程的常点，可在00.112211()()22d( )( 1)dnnnnnEEnnhHee n = 0, 1, 2, 0)(2)(2)()(2d)(d111nnnnnnHHHnHHnn(-1)阶厄米多项式，宇称为第二式称作满足下列递推关系此时时可以得出一多项式解可以证明，当12 n( )nH.12:)(次多项式的是nHn)()(2221xHAexnxn24)(2)(1)(2210HHH归一化波函数为2/1!2nAn其中是一个实函数。.13正交性关系的时，要用到厄米多项式在求归一化系数A22

7、22)(dd) 1(!2)(n2/2/1xnxnnnexenxmnnmnnHHe!2d)()(2所以归一化波函数为.14，231E（偶宇称）2221222/12) 12(2)(xexx（偶宇称）22212/10)(xex221/21212( )xxxe（奇宇称）第二激发态, 2n第一激发态, 1n，210E基态，0n最常用的几个态：，252E.15三三、结结果果讨讨论论 1 1. .能能级级)21n(En ,.2 , 1 , 0n ( (1 1) )能能量量是是量量子子化化的的，且且相相邻邻能能级级的的间间距距n1nnEEE即即能能级级是是等等间间距距的的。( (2 2) )存存在在零零点点能

8、能21E0（基基态态能能量量） 。 在在0T 时时也也有有振振动动，这这是是旧旧量量子子论论中中没没有有的的，已已被被实实验验所所证证实实，这这纯纯属属量量子子效效应应，是是由由于于微微观观粒粒子子具具有有波波粒粒二二象象性性所所导导致致的的。.16线性谐振子波函数线性谐振子位置概率密度00nx11nx2n2x200nx222nx211nx2 2. .波波函函数数)x(n和和几几率率密密度度2n ：.17( (1 1) )n （,.2 , 1 , 0n ）有有n个个节节点点。 ( (2 2) )宇称为宇称为n) 1(： 因因)x(Hn为为x的的 n n 次次多多项项式式，当当n n 为为奇奇数

9、数时时，只只存存在在奇奇幂幂次次；当当 n n 为为偶偶数数时时，只只存存在在偶偶幂幂次次。所以：所以：)x() 1()x(nnn，即宇称为，即宇称为n) 1(。( (3 3) )2n有有1n 个个极极大大值值，有有 n 个个零零点点（与与经经典典分分布布不不同同） ，分分布布关关于于0y 对对称称。 .1821111nx线性谐振子 n=11 时的概率密度分布虚线代表经典结果： 经典谐振子在原点速度最大，停留时间短粒子出现的概率小； 在两端速度为零，出现的概率最大。 .19符合玻尔对应原理 11(x) 2量子量子经典经典量子概率分布过渡到经典概率分布:时当n.2022200( )( )xW xxe量子：在其它范围也能找到粒子。经典：属于经典禁区。中运动，而的区域基态谐振子只允许在11|) 1|(|xx率最小。处粒子的速率最大，概在0 x以基态为例，在x = 0 处概率最大3、经典禁区.21.|1属于经典禁