高中数学数列知识点总结(精华版)

1、精选优质文档-倾情为你奉上一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列在数列中同一个数可以重复出现项a与项数n是两个根本不同的概念数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列的第项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即. 3.递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项），且任何一项与它的前

2、一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列的递推公式. 如数列中，其中是数列的递推公式.4.数列的前项和与通项的公式； .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.递增数列:对于任何,均有.递减数列:对于任何,均有.摆动数列:例如: 常数数列:例如:6,6,6,6,.有界数列:存在正数使.无界数列:对于任何正数,总有项使得.1、已知，则在数列的最大项为_（答：）；2、数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为_（答：）；3、已知数列中，且是递增数列，求实

3、数的取值范围（答：）；4、一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（）（答：A） 二、 等差数列1、 等差数列的定义：如果数列从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即.(或).2、 （1）等差数列的判断方法：定义法：为等差数列。 中项法： 为等差数列。通项公式法：（a,b为常数）为等差数列。前n项和公式法：（A,B为常数）为等差数列。如设是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列。（2）等差数列的通项：或。公式变形为:. 其中a=d, b= d.如1、等差数列中，则通项（答：）；2

4、、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答：）（3）等差数列的前和：，。公式变形为：，其中A=，B=.注意：已知n,d, , 中的三者可以求另两者，即所谓的“知三求二”。如 数列 中，前n项和，则，（答：，）；（2）已知数列 的前n项和，求数列的前项和（答：）.（4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，（公差为）；偶数个数成等差，可设为，

5、,（公差为2）3.等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0. 等差数列a中，是n的一次函数，且点（n，）均在直线y =x + (a)上（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）对称性：若是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当时,则有，特别地，当时，则有.如1、等差数列中，则_（答：27）；2、在等差数列中，且，是其前项和，则A、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0C、都小于0，都大于0D、都小于0，都大于0（答：B）(4) 项数成等差,则相应的项也成等

6、差数列.即成等差.若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、（公差为），也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列.如 等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225）（5）在等差数列中，当项数为偶数时， ；. 项数为奇数时， ； ；。 如1、在等差数列中，S1122，则_（答：2）；2、项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.（6）单调性：设d为等差数列的公差，则 d>0是递增数列；d<0是递减数列；d=0是常数数列(7)若等差数列、的前和分别为、，且，则.如设与是两个等差数列，

7、它们的前项和分别为和，若，那么_（答：）（8）设a，a，a为等差数列中的三项，且a与a，a与a的项距差之比=（1），则a=（9）在等差数列 a中，S= a，S= b (nm)，则S=(ab)8、已知成等差数列，求的最值问题： 若,d<0且满足,则最大；若,d>0且满足,则最小. “首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能

8、求一般数列中的最大或最小项吗？如1、等差数列中，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；2、若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大正整数n是 （答：4006）(10)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.三、等比数列1、等比数列的有关概念：如果数列从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即 （或2、等比数列的判断方法：定义法，其中或。如1、一个等比数列共有项

9、，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为_（答：）；2、数列中，=4+1 ()且=1，若 ，求证：数列是等比数列。3、等比数列的通项：或。如 设等比数列中，前项和126，求和公比. （答：，或2）4、等比数列的前和：当时，；当时，。如 等比数列中，2，S99=77，求（答：44）提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。5、等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有

10、两个。如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为_（答：AB）提醒：（1）等比数列的通项公式及前项和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）6、等比数列的性质：（1）对称

11、性：若是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当时，则有，特别地，当时，则有. 如 1、在 等比数列中， 公比q是整数，则=_（答：512）；2、各项均为正数的等比数列中，若，则 （答：10）。(2) 若 a是公比为q的等比数列，则| a|、a、ka、也是等比数列，其公比分别为| q |、q、q、。若成等比数列，则、成等比数列； 若是等比数列，且公比，则数列 ，也是等比数列。当，且为偶数时，数列 ，是常数数列0，它不是等比数列. 若是等比数列，且各项均为正数，则成等差数列。若项数为3n的等比数列(q1)前n项和与前n项积分别为S与T，次n项和与次n项积分别为S与T，最后n

12、项和与n项积分别为S与T，则S，S，S成等比数列，T，T，T亦成等比数列如1、已知且，设数列满足，且，则. （答：）；2、在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为_（答：40）(3) 单调性：若，或则为递增数列；若,或 则为递减数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.(4) 当时，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。如若是等比数列，且，则 （答：1）(5) .如设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为_（答：2）(6) 在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，.(7)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列，故常

13、数数列仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列的前项和为（）， 关于数列有下列三个命题：若，则既是等差数列又是等比数列；若，则是等差数列；若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：）等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；四、难点突破1并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的2等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存

14、在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项3数列的表示方法应注意的两个问题： a与a是不同的，前者表示数列a，a，a，而后者仅表示这个数列的第n项；数列a，a，a，与集合 a，a，a，不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性4注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设，aq， aq， a，aq，aq，；对连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为S，则通常设，aq， aq， aq，aq，5一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意a0，因为当a= 0时，虽有