36函数图形的描绘赵树嫄

1、一、一、 曲线的渐近线曲线的渐近线二、二、 函数图形的描绘函数图形的描绘 第三章 2xy 无渐近线 .点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,一、曲线的渐近线一、曲线的渐近线定义定义. .假设曲线假设曲线 C C上的点上的点M M 沿着曲线无限地远离原点沿着曲线无限地远离原点时,那么称直线 L 为曲线C 的渐近线渐近线. .例如,双曲线12222byax有渐近线0byax但抛物线或为“纵坐标差NLbxkyMxyoC)(xfy Pxyo1. 水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线假设,)(limbxfx那么曲线)(xfy 有水平渐近线.by )(x或假设,)(lim0 xfxx那么曲线)(xfy 有垂

2、直渐近线.0 xx )(0 xx或例例1. 求曲线211xy的渐近线 .解解: :2)211(limxx2 y为水平渐近线;,)211(lim1xx1 x为垂直渐近线.212. 斜渐近线斜渐近线有则曲线)(xfy 斜渐近线.bxky)(x或假设,0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx)(x或)(x或( P75 题题13)例例2. 求曲线3223xxxy的渐近线 .解解: :,) 1)(3(3xxxy,lim3yx) 1(x或所以有铅直渐近线3x及1x又因

3、xxfkx)(lim32lim22xxxx1)(limxxfbx3232lim22xxxxx22xy为曲线的斜渐近线 .312 xy二、函数图形的描绘二、函数图形的描绘步骤步骤 : :1. 确定函数)(xfy 的定义域,期性;2. 求, )(, )(xfxf 并求出)(xf 及)(xf 3. 列表判别增减及凹凸区间, 求出极值和拐点;4. 求渐近线;5. 确定某些特殊点,描绘函数图形.为 0 和不存在的点;并考察其对称性及周例例2.) 1() 1()(23的图形作函数xxxf解解, 1:xD非奇非偶函数, 且无对称性.,) 1()5() 1()(32xxxxf.) 1() 1(24)(4 xx

4、xf, 0)( xf令5, 1xx得驻点, 0)( xf令. 1x得点.1,)(lim1为铅直渐近线所以xxfx无水平渐近线1) 1() 1(lim)(lim23xxxxxfxx又.5 xy得得斜斜渐渐近近线线列表得到函数增减区间和凹凸区间及拐点和极值点列表得到函数增减区间和凹凸区间及拐点和极值点:x)5,( ), 1( )1, 5( 5 )1 , 1( )(xf )(xf 不存在不存在 )(xf 1 1 0拐点拐点极大值极大值- -13. 5间间断断点点)0 , 1( )()()(lim)(limxxxxkxxfxx0不存在不存在 0:补补充充点点)1, 0( A作图作图xyo5 11 5

5、A另例另例. 描绘22331xxy的图形.(类似P163例1)解解: 1) 定义域为, ),(无对称性及周期性.2),22xxy,22 xy,0 y令2,0 x得,0 y令1x得3)xyy y012)0,() 1 ,0()2, 1 (),2(00234(极大)(拐点32(极小)4)xy1332201231例例4. 描绘方程044)3(2yxyx的图形.解解: : 1),) 1(4)3(2xxy定义域为), 1 ( , ) 1 ,(2) 求关键点)3(2xy4044yxy) 1(223xyxy2) 1(4) 1)(3(xxxy 42048 yxy) 1(241 xyy3) 1(2x得令0 y;3

6、, 1x113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(xyy y20,) 1(4)3(2xxy,) 1(4) 1)(3(2xxxy3) 1(2 xy3) 判别曲线形态00( (极大极大) )( (极小极小) )4) 求渐近线,lim1yx为铅直渐近线无定义无定义1x又因xyxlim,4141k即)41(limxybx41) 1(4)3(lim2xxxx) 1(495limxxx45) 1(4)3(2xxy5) 求特殊点xy049241为斜渐近线4541xy2) 1(4) 1)(3(xxxy3) 1(2 xy6绘图( (极大极大) )( (极小极小) )斜渐近线1x铅直渐近线4541x

7、y特殊点11302) 1( 4) 3(2xxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 2无定义无定义xy113) 1,() 1 , 1()3, 1 (), 3(0 xy049241例例5. 描绘函数21y22xe的图形. 解解: : 1) 定义域为, ),(图形对称于 y 轴.2) 求关键点 y21,22xex y2122xe)1 (2x得令0 y;0 x得令0 y1x2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (3) 判别曲线形态( (极大极大) )( (拐点拐点) )(极大极大) )( (拐点拐点) )0limyx0y为水平渐近线5) 作图4) 求渐近线2100e21xyy y10) 1,0(), 1 (2221xeyxyoBA21水平渐近线; 垂直渐近线; 内容小结内容小结1. 曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行2. 函数图形的描绘思考与练习思考与练习 1.曲线)(1122xxeey(A) 没有渐近线；(B) 仅有水平渐近线；(C) 仅有铅直渐近线；(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示: :;111lim22xxxee2211lim0 xxxeeD拐点为 ,凸区间是 ,)