笛沙格定理在初等几何中的应用

1、精选优质文档-倾情为你奉上天 津 师 范 大 学本科毕业论文（设计）题目：笛沙格定理在初等几何中的应用学 院：数学科学学院学生姓名：朱保军学 号：专 业：数学与应用数学年 级：2009级完成日期：2013年5月13日指导教师：武猛专心-专注-专业笛沙格定理在初等几何中的应用摘要：笛沙格定理是射影平面上的重要定理许多定理以它为依据,利用它也可以证明初等几何中一些共线或共点问题本文将抓住笛沙格定理的精髓：两个对应三点形、透视轴、透视中心通过笛沙格定理的介绍,展示其图形之美之后，着重介绍其在几何作图、共线问题、共点问题、动态问题中的应用而且,还可轻易看出在初等几何中一些繁琐证明或难以得证的问题,通过

2、笛沙格定理便一目了然本文必将充分展示出笛沙格定理在初等几何中的重要作用,给初等几何中一些共线或共点问题带来简易之路关键词：透视轴；透视中心；笛沙格定理；共点问题；共线问题The Application of the Desargues Theorem to Elementary GeometryAbstract: The Desargues theorem is an important theorem on the projective plane. Many theorems are based on it, using it can also prove some collinear o

3、r concurrent problems in the elementary geometry. This thesis will grasp the Desargues theorems pith that there are two corresponding triangles, perspective axis, perspective centre. By the introduction of the Desargues theorem, showing the beauty of its picture. After that, we focus on the applicat

4、ion to geometric drawing, collinear, concurrent, dynamic problems. Moreover, we can easily see some problems of complex proof or hard-to-get proof in the elementary geometry, but they will be clear at a glance by the Desargues theorem. This thesis is bound to fully show the important role of the Des

5、argues theorem in the elementary geometry. Whats more, it will simplify the way to the some problems of the collinear or concurrent in the elementary geometry. Key words: perspective axis; perspective centre; Desargues theorem; concurrent; collinear目 录 1 引言吉拉德笛沙格（Girard Desargues）,法国里昂, 1591年出生,1661

6、年逝世于里昂,法国建筑师、工程师和著名数学家,射影几何学创始人之一笛沙格在射影几何方面硕果累累,率先提出无穷远元素、调和点组、对合等新的概念,以及射影几何学中著名定理笛沙格定理在当时人才辈出的时代,笛沙格以其独创精神,脱颖而出,得到了费马、笛卡尔、帕斯卡等数学界名流的赏识但是,那个年代盛行的是解析几何,笛沙格依然敢于开创射影几何的新领域,不畏众多人的反对和批评,坚持创作并大量出版但作品并没有引起多大的关注,直到1845年,沙勒偶然发现了笛沙格著作的手抄本试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿，才引起人们广泛关注,从那时起,这本书被列为近世几何的经典著作笛沙格定理是射影几何学中四大定理之一我们定

7、义射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变图形性质的几何学分支学科射影几何起着一个特殊的作用，它能把几何学中的射影几何、仿射几何、欧式几何联系起来，使几何学成为一个完整系统而且，射影几何有着广泛的应用，在绘画、摄影、航空、测量等方面尤为突出射影几何的发展也是长期研究形成的，它最早开始于绘画它的发展得助于欧洲文艺复兴时期透视学的快速发展那时，学者在绘画和建筑方面非常痴迷，大力研究在平面上如何表现实物的图形学者发现，一个画家将一个事物画在一张纸上，眼睛好比投影中心，把事物投影到纸上，然后再画出来在画的过程中，有些元素的相对大小和位置关系，有的变了，有的没变学者在这方面大力研

8、究，因而渐渐的产生了新的概念和理论，最终，形成了射影几何学在射影几何中，有一基本概念交比，在射影变换下，交比具有不变形，利用这一性质可以推导出射影几何中许多其它重要性质射影几何学真正成为一门学科是在十七世纪，笛沙格为射影几何学做出了杰出的贡献人们以他的名字命名的笛沙格定理：“如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一直线上，反之也成立”，就是射影几何的基本定理笛沙格定理的重要意义不仅在于它可以推出一系列射影几何命题，还在于它是平面射影几何的基础之一许多定理以它为根据,利用它还可以证明初等几何中一些共点或共线问题,在解决初等几何问题具有独特之处2 射影几何基本概念及定理2.1 基本

9、概念定义2.1 在平面内对于任何一组平行线引入唯一一点叫做无穷远点；一平面内一切无穷远点的集合组成一条直线叫做无穷远直线我们可以看出在一组平行线交于无穷远点一点；一平面内所有直线都与无穷远直线有交点定义2.2 平面内不共线的三点与其每两点的连线所组成的图形叫做三点形；平面内不共点的三直线与其每两直线的交点所组成的图形叫做三线性三点形与三线性实际上是一种图形（如图2-1）,点叫做顶点,直线叫做边图2-1定义2.3 如果两个三点形的对应边交点共线,则这条直线叫做透视轴如果两个三点形的对应顶点连线共点,则这个点叫做透视中心两个三点形和(如图2-2),我们可知它们对应边的交点分别为,且三点共线,它们对

10、应顶点的连线交于一点,此时,直线称为透视轴,点称为透视中心图2-2 定义2.4 共线三点的单比表示为,定义其中 是有向线段,称为基点,为分点那么，共线四点的交比等于两个单比与的比,即,其中叫做基点偶,叫做分点偶如果,我们称为的第四调和点其中，此定义只是为了解释以下推论中的第四调和点，只需了解第四调和点即可定义2.5 在射影平面里设有点，直线及其相互结合和顺序关系所组成的一个命题，将此命题中的各元素改为它的对偶元素，各作图改为它的对偶作图，其结果形成另一个命题，这两个命题叫对偶命题定理2.1（对偶原则） 在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立2.2 笛沙格定理我们已经介绍了三点形和

11、三线性，还有第四调和点和对偶原则下面我们介绍笛沙格定理定理2.2（笛沙格定理） 如果两个三点形对应顶点的连线交于一点,则对应边的交点在一直线上证明 设有三点形和,它们对应顶点的连线交于一点,其对应边的交点分别为下面我们分两种情况证明在一直线上图2-3情况（1） 三点形和分别在两个不同的平面和上(如图2-3)因为,所以和共面,二直线和必相交,交点在平面和的交线上同理,与相交,与相交,且相应的交点都在二平面和的交线上于是三点共线情况（2） 三点形和在同一平面内（如图2-4）通过作不在平面内的直线,在直线上任取两点和,且不与点重合因为,所以我们可知共面,且与相交,我们记,同理我们可知, ,三点形所在

12、的平面与平面不同（例如不在内）由于三点形与不同在一平面内,都通过点,且记,由情况（1）可知,共线,即在平面所决定的平面内,但也在平面内,则在两个不同的平面与平面的交线上同理可证, 都在平面与平面的交线上,所以,在平面与平面的交线上,所以,共线证毕图2-42.3 笛沙格逆定理 笛沙格定理的逆命题是如果两个三线性对应边的交点在一直线上,则对应顶点的连线交于一点由于三线性与三点形实际上是一种图形则可得如下定理定理2.3(笛沙格逆定理) 如果两个三点形对应边的交点在一直线上,则对应顶点的连线交于一点笛沙格定理与其逆定理是对偶命题,由对偶原则知,笛沙格定理成立,则其逆定理也成立,这为笛沙格逆定理的证明起

13、到了事半功倍之效由笛沙格及其逆定理说明,若两三点形有透视中心,则必有透视轴反之,若有透视轴则必有透视中心其中,这样的两个三点形叫做透视三点形我们必须指出，笛沙格定理的证明，要先证空间的情况,因当两个三点形在同一平面时,进行证明时要借助空间作图,否则是不能证明的所以只就平面射影几何而言,笛沙格定理必须选作公理笛沙格定理的证明还有很多种,可参考福建师大数学系陈圣德的证法4本文用的是综合法,证明有点繁难,但这是几何证明题的基本方法,应当熟练掌握同时,笛沙格定理与笛沙格逆定理都可以用代数法证明2.4 推论 熟练了笛沙格定理及其逆定理之后,我们介绍笛沙格定理的推论推论2.1 在直线上,对三个不同的已知点

14、存在唯一的第四调和点证明 在直线外任取一点,连接线段,在上取异于的点,可得,则和的交点就是(如图2-5)由作法看来,的确定好像依赖于点实则不然下面证明点为固定点在直线的另一侧任取点,仿照上面我们可作点然后我们选取三点形和, ,由于共线,由笛沙格逆定理知,的连线交于一点,同理三点形和的对应顶点的连线也交于点,此时共点,在三点形和中,由笛沙格定理我们可知,故确定了点,由点的任意性知,存在唯一的第四调和点证毕图2-52.5 笛沙格构图 笛沙格定理构图一共包含十个点和十条直线（如图2-6）图2-6图中有十个点,每个点有三条线通过；有十条线,每条线上有三个点图形非常巧妙,更为巧妙的是：在十个点中,任一点

15、都可作为透视中心；在十条线中,任一条线都可作为透视轴我们观察图2-6中,任取一点,则在三点形和中,其对应边的交点为三点共线即以为透视中心,则其对应的透视轴为直线其余的可参见表2-1表2-1透视中心透视三点形透视轴和和和和和和和和和和3 笛沙格定理在初等几何中的应用3.1 几何作图例1 在一张纸上,设给定点与不通过的二直线,不许求出,的交点而得到与,交点的连线仅用直尺作图作图 取不在上的一点（与不同）,通过作三直线与的交点顺次为与的交点顺次为连接交于,连接交于,连接并设,连接（如图3-1）图3-1证明 三点形和的对应顶点交于一点,根据笛沙格定理知,与直线（直线,）的交点共线,即直线过直线,的交点

16、证毕此题作图十分巧妙,自然的衔接上了笛沙格定理此外,本题的证明还可以选择三点形和,根据笛沙格逆定理即得3.2 共线问题例2 证明三角形的垂心,重心,外心三点在一条直线上证明 已知三角形,依据几何作图作出其垂心,重心,外心,其中分别为中点(如图3-2),下面证明三点共线在三点形和中,根据几何作图性质可知,即两个三点形和对应边的交点都为无穷远点,从而它们的交点都在无穷远直线上根据笛沙格逆定理,两个三点形和对应顶点的连线交于一点即三点共线证毕图3-2此题是欧拉定理的证明,其垂心,重心,外心所在的直线为欧拉线此外,此题证明的构图,别具风格,独具匠心,是综合分析各方面的因素,化冗为简的结果而且,此题是初

17、等几何中非常重要的三角形“三心”共线问题,利用初等几何的知识证明比较麻烦,此处用笛沙格逆定理证明简单而又巧妙例3 已知为平行四边形内的一点,与的交点为,的中点分别为与的交点为,证明三点共线图3-3证明 如图3-3,在三点形和中,即两个三点形的对应顶点共点(此点即为无穷远点)我们根据笛沙格定理知它们对应顶点的交点为共线此题在初等几何中应用的完美,这是1998年初中数学竞赛加试题中的第二题,现用笛沙格定理直接便可知,十分简单方便 一般情况下，共线问题也可转化为共点问题如例3，证三点共线，也就是证直线通过直线的交点依然如图3-3选取三点形和,它们对应边的交点(即与的交点在直线上)根据笛沙格逆定理，此

18、两个三点形的对应顶点交于一点即三点共线证毕3.3 共点问题例4 证明任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于一点证明 任作四边形,取四边的中点连接交于点,连接其中点分别为连接,再连接三点形和,如图3-4图3-4下面证明三点共线选取三点形和,其对应边,的交点都为无穷远点,从而都在无穷远直线上所以根据笛沙格逆定理,此两个三点形对应顶点交于一点,即三点共线证毕此题中巧妙的选取了三点形和,使得对应边平行,此题类似与证明三角形的三中线共点,有异曲同工之妙例5 设直线交三角形的三边分别于如图3-5,证明：共点证明 选取三点形和,因为这两个三点形对应边的交点 在直线上,根据笛沙格逆定理,所以此

19、两个三点形对应顶点,共点证毕图3-5此题的证明用初等几何不好解决,但用笛沙格定理便一目了然而且笛沙格定理用起来也非常简单方便,找好对应两个三点形即可一般情况下，共点问题也可转化为共线问题如例5，证共点，也就是证三点共线选取三点形和,它们对应顶点共点，根据笛沙格逆定理，它们对应边的交点共线即共点证毕3.4 动态问题 此处，动态问题就是指在一定直线上有一点是动点，也可以是通过一定点任作直线，然后根据题的其它已知条件，利用笛沙格定理讨论其性质下面我们来观察例6、例7例6 设为共面四相异直线,为上的二定点,为上的动点,又分别交,于求证: 交于定点 证明 在直线上任取两点然后分别交于,分别交于依题作图,

20、即证三直线共点从而，将此动态问题转化为三线共点问题如图3-6选取三点形和,其两个三点形的对应顶点显然交于一点,由笛沙格定理知,三点形和的对应边的交点共线即三直线共点证毕图3-6此题看似复杂,画完图后发现并不难,其中两动态点并不影响点,而且三直线确定唯一的一点例7 设有两直线与以及三个共线点过作直线分别与交于又与交于,证明：点的轨迹是过与交点的一直线证明 过点任作两直线连接交于点,再连接交于点,如图3-7考察三点形和,其对应顶点交于一点,由笛沙格定理知,其对应边交点三点共线,即点的轨迹是过与交点的一直线显然点轨迹是唯一的直线证毕图3-7此外,此题也可选取三点形和,根据笛沙格逆定理即证我们观察例6

21、、例7,在初等几何中,解决此类问题较为复杂,但笛沙格定理的出现便化繁为简,通俗易懂3.5 三维拓展之上,介绍的都是在射影平面上的笛沙格定理,即二维射影几何此外,笛沙格定理在三维射影空间中也成立例8 是四面体,点在上,一直线通过分别交于另一直线通过分别交于如图3-8求证：与交于证明 下面我们分别采用笛沙格定理和笛沙格逆定理来进行证明方法（一） 在三点形和中,对应顶点的连线交于一点,由笛沙格定理可知,此两个三点形的对应边的交点共线证毕图3-8方法（二） 选取三点形和,其对应边 的交点共线由笛沙格逆定理知,三点形和对应点的交点, 共点即证此题还可用三点形和、三点形和用笛沙格定理分别证明由此可见，笛沙格定理在三维射影几何中仍然可用, 关键是找好对应三点形综上所诉,在利用笛沙格定理或逆定理证明三线共点或三点共线问题时,关键是准确地找到两个对应三点形,而且要调整