2019版一轮优化探究文数练习：第九章第六节椭圆含解析

1、/课时作业答案：1或93. m>n>0”是“方程mx1 2 + ny2 = 1表示焦点在2 2 1解析：把椭圆方程化成j +1 = 1.若m>n>0,则-m ny轴上的椭圆”的条件.1n>m>o.所以椭圆的焦点在y轴上反卜知龍提升一理范螺习：捏升At n一、填空题2 2X y1设p是椭圆25+16= 1上的点若Fi、F2是椭圆的两个焦点，贝U |PFi|+ |PF2|等于.解析：由题意知 a= 5,二 |PFi|+ |PF2|= 2a= 10.答案：1042已知椭圆C的短轴长为6,离心率为引贝U椭圆C的焦点F到长轴的一个端 点的距离为.j2b = 6,c 4

2、解析：由题意可知5，且a>0, b>0, c>0,2 .2. 2a = b + c ,解得 a = 5, b= 3, c= 4.椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a+ c= 9或a c= 5-4= 1. 解析：设P到两个焦点的距离分别为2k, k,根据椭圆定义可知：3k= 2a,又结 合椭圆的性质可知椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为 2c,即k<2c,12a< 6c,即卩 e> 3.1答案：【3 i)2 26. 已知Fi, F2分别是椭圆令+卷=1的左、右焦点，P是椭圆上的任意一点，则|PFi PF2IPF的取值范围是解析：显然当PFi= PF2时

3、，|PFlpFpF2|= 0由椭圆定义得PF2 = 4,2 PFi，从而 卑电吩込牆2|,而2俗2< pfk 2血2所以盞 <箸w輕故储-2卜2+ 2返综上所述，PF1PF1PF2| 0,2灵+ 2.答案：0,2 2 + 217. 已知椭圆的中心在原点，焦点在 y轴上，若其离心率为焦距为8,则该椭圆的方程是.解析：由题意知，2 c= 8, c= 4,c 41-e- a_ a_ 2，二 a= 8,从而 b2= a2 c2= 48,22方程是 64+48=1.2 2答案：64 + 48=解析：当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b= c,此时可求得离心率e= c=

4、/ 2c "2= ¥；同理，当以一直角顶点和一锐角a b + c y2c * 2顶点为焦点时，设直角边长为 m，故有2c= m2a= (1 + . 2)m，所以，离心率e-c= m匡-a= 2a= 1+ 2m= 21.答案： 孑或2 1二、解答题10. 已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F( 2,0)，且长轴长与短轴长的比是2 :3.(1)求椭圆C的方程；设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点.当|MlP|最小时，点 P恰好落在椭圆的右顶点，求实数 m的取值范围.2 2 8 .已知P是椭圆12 + 4 = 1上的动点，F1, F2是椭圆的两个焦点，贝U PF

5、1 PF2的 取值范围为.解析：解法一 (利用三角代换)设椭圆上任意一点为P(xo , yo),所以xo = 2>/3cos 0,f- c .(其中0为参数)，椭圆的左、右焦点分别为 F1( 2/2, 0),y° = 2sin 0F2(2, 0),所以 PF1= ( 2f2 X0, y0), PF2= (2近X0, y°).所以PF1 PF22 2 2 2 2=X2 + yo 8= 12cos 0+ 4sin 0 8 = 8cos 0 4 4,4.解法二(转换成二次函数)设椭圆上任意一点为P(xo, yo)，椭圆的左、右焦点分别为 Fi( 2 2，0)，F2(2 2，

6、0),所以 PFi = ( 2 2 xo， yo)，PF2= (2飞；2 xo， yo).所以PFi PF2= x° + yo 8，该式表示椭圆上任意一点到原点的距离的平方与 8的 差.因为椭圆上任意一点到原点的距离最小值为短半轴b= 2,距离最大值为长半轴 a = 2 .3所以爲 + yoe 4,12，所以PFi PF2= xo + yo 8 4,4.答案：4,49. 以等腰直角 ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为解得 a2= 16,，b2= 12.2 2所以椭圆c的方程为16+12= 1.2 2X V设P(x, V)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为16+12=

7、 1，故一4Wx<4.因为mP= (x-m, V),2222X1°212所以 |MP|2= (x- m)2 + y = (x- m)2 + 12 (1 花)=4#-2mx+ m2 + 12=4(x-4m)2+ 12-3m2.因为当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点， 即当x = 4时，|MlPf取得最小值而x -4,4， 故有4m4，解得m1.又点M在椭圆的长轴上，所以一4Wm<4.故实数m的取值范围是1,4.11. 已知椭圆C的中心为坐标原点，一个长轴端点为(0,1)，短轴端点和焦点所组 成的四边形为正方形.若直线I与y轴交于点P(0， m)，与椭圆C交于不同的两

8、点 A、B,且AP= 3PB.(1) 求椭圆C的方程；(2) 求实数m的取值范围.J(OJ)5/ /Xm2- 1= 0,解析：(1)依题意a= 1, b = c,2 1-b =2，所求椭圆C的方程为2x2 + y2= 1.(2)设直线 I: y= kx+ m,消去 y 得(k2 + 2)x2 + 2kmx+ = 4k2m2- 4(k2 + 2)(m2-1)22=-4(2m2- k2-2)>0, 2m2 k2 2<0, AP= 3PB,设 A(X1, y1),_ X1 + 3x2 -B(X2, y2),则=0,m2-1 2km二消去xi得I 3X22X2=卡， m21，k2 + 2消

9、去 X2得 3k2m2= (k2 + 2)(1 m2),22 2 2m k = 2 4m 1.2c 2 c 2 2m 2m 22<0?4m 1(m2 1)(4m2 1)<0,1 1二 m( 1,)U(21)Q7H焦点在x轴上的椭圆C的离心率12. 已知中心在原点O,到直线AB的距离为655(如图所示)为中，点A, B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O求椭圆C的标准方程;(2)已知点E(3,0),设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足 EP丄EQ,求EP QP的取值范围.解析：(1)由离心率e=于，得. 1 e2= *二 a= 2b.原点O到直线AB的距离为誉,ab 裁a2+ b2=

10、 5 .代入，得b2 = 9.：a2= 36.2 2则椭圆C的标准方程为烹+ y = 1.369(2)v EP丄EQ,A EP EQ = 0.2 EP QP= EP (EP EQ)= EP2.2 2 2 设 P(x, y)，则36+ £二 1，即 y2二 9:.*2222x 32EP QP= EP = （x 3） + y = x 6x+ 9+ （9 " = 4（x 4） + 6. - 6< x< 6,：6W 4（x 4）2 + 6< 81.则ePqP的取值范围为6,81.1 1之，若椭圆的焦点在y轴上，则n>m>0即有m>n>0.故为充要条件.答案：充要4. 已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为2且它的长轴长等于圆 C： x2 + y2 2x15= 0的半径，则椭圆的标准方程是 .2 2解析：由 x + y 2x 15= 0,知 r = 4= 2a? a=2.又 e= c=1, c= 1,贝U b2= a2 c2= 3.a 22 2答案：4+y3