图形变换与证明 华东师大版

1、图形变换与证明一. 本周教学内容： 图形变换与证明 我们学习平面几何知识从与现实生活相结合的意义上讲，会识别图形的移动，会实现一个平面图形的移动，是一个实现平面几何价值的问题。 要求：会按照要求对图形作相应的移动；会识别图形经过移动后的图形关系；会利用图形的变换解决一些几何问题或与现实生活相结合的问题。【典型例题】 例1. 与关于点O成中心对称，直线m经过点O，与关于直线m对称。是否存在这样的直线，使得与关于该直线对称？如果存在，请指出该直线具有何特征？ 解：这样的直线是存在的，即存在直线n，使得与关于直线对称。直线经过点O，且直线垂直于直线。 说明：图形经过两次翻折（对称轴互相垂直），得到的

2、图形与原图形关于两条对称轴的交点成中心对称；而图形经过两次翻折（对称轴相交），得到的图形可以看作是原图形绕着两条对称轴的交点旋转得到的，旋转角为两条对称轴的夹角的两倍。 例2. 请你不借助作图工具画一个三角形的高线。 简析：一般讲我们画三角形的高线采取的方法是：过已知边所对的顶点，用三角板画一条与已知边相垂直的线段。但是此例要求不借助作图工具，即不借助直尺、三角板、圆规等直接画高线。这时要考虑画高线关键在于确定垂足，如果画出垂足就可以实现画高线。根据我们所学的轴对称关系的性质可知，它可以提供垂直关系。 简解：如图，已知 作的BC边上的高。 方法：把点C沿CB边对折，使折痕经过点A，且点C落在B

3、C的点处，则折痕AD就是所要求画的高。 例3. 四边形ABCD中，。求四边形ABCD的面积。 分析：由已知，可知，如果将绕点C旋转到的位置，那么四边形ABCD的面积与等腰直角三角形ACE的面积相等，于是本题便可获解。 解：连结AC，过点C作AC的垂线，交AB的延长线于点E。 由，得 所以， 所以 所以 由，得 所以 即四边形ABCD的面积为4。 例4. 一个人身高1.8米，晚上站在路灯下，他的影长为1.5米，若他沿着影子方向移动1.5米站立，影子增加1米，求路灯的高度。 分析：首先根据题意，我们可以得出站立的人和路灯是平行关系，这样就可以找到两组相似的三角形，根据相似三角形的性质，就可以求出路

4、灯的高度。 解：如图，设路灯高为H，人高为h，则 因为，所以， 那么，即 （相似三角形对应边成比例）（1） 因为，所以， 同理可得：，即 （2） 由（1）和（2）可解得：（米） 答：路灯的高度为4.5米。 例5. 如图，矩形ABCD中，折叠AD边，使点D落在BC边上的F点处，若折痕，且，求矩形ABCD的周长。 简析：若求矩形的周长就需要知道它的边长。根据已知条件可知，只知折痕长及折叠后的一个角的正切值，因此，我们要理解折叠在题中所起的作用以及折叠后可能形成的图形关系。 解：根据题意AD边对折，点D落在BC边上的点F处， 有， 所以 故 则 所以 因为，在矩形ABCD中， 所以 故 则 又 设，

5、则 所以 因此 故 由勾股定理，有 ，且 解得（舍负值） 所以 所以，矩形周长为36cm。 例6. 如图，D是的BC边中点，过D作直线交AB、CA延长线于E、F，当时。 求证： 简析：根据图形条件与已知中的在同一三角形，不在同一三角形里，且要证明的结论BE与CF也不在同一三角形中，要证明结论就需要把相应的线段移动到同类图形中，并且能利用这些条件形成新的图形关系，以便达到求解的目的。 证明：如图，过C点作CM/AB交FD延长线于M点。 则 因 所以 则 所以 在与中 所以 故 所以 例7. 如图，矩形ABCD中，E是BC中点，确定与的比值。 简析：要确定这两个图形的面积的比值，就需要找到一个可以

6、沟通这两个图形之间关系的面积，由于连结了BD，那么就是它们之间的桥梁，剩下的问题就需要研究四边形BEFD的面积与面积之间的关系了，这时解读好E是BC中点及就是关键。 解：连结 由面积关系可知， 同理，有 所以，有及 即 所以， 故 例8. 已知：如图，中，D是BC上一点，。 求证： 证法一：过B点作交AD延长线于F 则及 在与中， 所以 则 因为 则 即 证法二：过D点作交AB于F。（如图） 则及 因 故 在与中 则 所以 又因 则 即 例9. 求证：同垂直于一条直线的两条直线平行。 已知：如图，于A，于B 求证：m与n平行。 证明：假设m与n不平行 即设m与n相交，且交于P点 因为且 所以，

7、过P点有两条直线与已知直线垂直。此结论与“过一点有且仅有一条直线与已知直线”相矛盾，所以假设不成立。 所以 例10. 已知：如图，在直角坐标系中，四边形AOCB是正方形，点C的坐标为（2，0）， 你能否在BC上找到一点E，使正方形沿直线AE对折后，点B落在正方形内部的F点处，且使该点与正方形的四个端点的连线构成四个等腰三角形，试确定的度数并求出F点的坐标。 解：如图（1），作AB中垂线MN 以B为圆心，BC为半径作圆，交MN于F点 为等边三角形， 过作轴于G （1） 如图（2）（，1） （解法略）【模拟试题】（答题时间：45分钟）一. 选择题： （1）与三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形的

8、（ ） A. 三条中线的交点B. 三条高的交点 C. 三条角平分线的交点D. 三条边的垂直平分线的交点 （2）三角形内到三角形各边的距离相等的点必在三角形的（ ） A. 中线上B. 角平分线上 C. 高上D. 边的垂直平分线上 （3）下面命题中，假命题是（ ） A. 矩形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 正方形的对角线相等且互相平分 D. 梯形的对角线互相平分 （4）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直D. 对角线平分一组对角二. 填空题： （1）如图，直线与直线分别交于点B和C，若，则_度。 （2）如图，中，CD平

9、分，则_度，_度。 （3）正方形是轴对称图形，它有_条对称轴。 （4）如图，已知ABCD是梯形，AB/CD，与互余，E、F分别是AB、CD的中点，则_。三. 解答题： 1. 如图，中， 求证： 2. 如图，已知等边中，O是内心，扇形MON的圆心角为。若，求阴影部分的面积。 3. 如图，梯形ABCD中，AD/BC，E是AB中点，于F。 求证：。 4. 如图，点D是的AB边上的一点，。求的度数。 5. 在直角三角形ABC中，AD、BE是的中线，且，求AB的长。 6. 已知：如图，直线， 求证： 证明：假设AB与CD不平行，则直线AB与CD_。设它们的交点为P。 则经过点P就有_条直线和直线EF平行

10、。 这就与经过直线外一点_直线和已知直线平行相矛盾。 所以假设不能成立，则。 7. 如图，四边形ABCD，请以此图形及其面积为条件，求作一个三角形，使这个三角形的面积等于四边形ABCD的面积。试题答案一. 选择题： （1）D（2）B（3）D（4）B二. 填空题： （1）65（2）25，85 （3）4（4）3三. 解答题： 1. 简析：要根据条件中的说明与的关系，由于没有相应的定理支持，需要考虑能利用的知识，我们只学习过“三角形外角大于任意一个不相邻的内角”。因此，需要我们利用几何变换移动其中一个角的位置，重新构成图形关系。 证明：因为，在AB上截取一点E，使， 作的平分线交BC于D，连DE。

11、则 在与中， 所以 故 因为 所以 2. 解：连结OB、OC，过O点作于F 因为O点是的内心 所以BO、CO是角分线 则及 又因 所以 在与中， 所以 则 又 故F点是BC中点 即 则 因为 则 即 3. 证明：过E点作GH/DC交DA延长线及CB于G、H 因 故四边形GHCD是平行四边形， 且 又E是AB中点，有 所以 所以 又因 则 4. 解：因为所以 同理 所以 又，所以 于是 5. 解：设，因为AD、BE是的中线， 所以 又，故 所以 所以 6. 相交，两，有且只有一条 7. 简析：要使一个四边形的面积化为三角形的面积，一般讲解决的方法是这样的，如果四边形的面积是确定的，可以利用面积的数量关系来达到转化的目的，但是此