北京航空航天大学概率统计邢家省第一章习题课

1、北京航空航天大学概率统计邢家省第一章习题课例5已知事件A,B,C相互独立,P(A)0.3,P(B)0.4,P(C)0.8,求PC(AB)、解PC(AB)PCABPCABPC(AB)PCACBPCAPCBP(CACB)P(C)P(A)P(C)P(B)P(A)P(B)P(C)P(C)P(A)P(C)P(B)P(A)(P(C)1P(A)P(B)P(A)P(C)1P(A)P(B)0.80.70.80.40.30.656、或PC(AB)PCC(AB)PCCABP(C)P(CAB)P(C)P(C)P(A)P(B)P(C)1P(A)P(B)0.810.30.60.80.820.656、或PC(AB)PCAB

2、PCABPC(AB)P(C)P(AB)P(C)1P(AB)P(C)1P(AB)P(C)1p(A)p(B)0.810.30.60.80.820.656、汪意：C(AB)(CA)B、例6设某型号的高射炮，每一门炮发射一发炮弹而击中飞机的概率就是0、5。问至少需要几门高射炮同时射击(每炮只射一发)才能以99%勺把握击中来犯的一架敌机。解设需要n门高射炮同时射击才能以99%勺把握击中来犯的一架敌机，令A第i门炮击中敌机，则A A A nP(A) P( i 1A敌机被击中，nAnAii1,nA)1P(A)i11P(AlA2An)1P(A；)P(a7)P(An)1(0.5)n0.99,于就是得0.010.

3、5n,lg0.01lg0.5n,lg0.01lg0.56.644 ,取 n7、故至少需要7门高射炮同时射击、 例7甲乙丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别就是0、4,0、5,0、7,若只一人击中，则飞机 被击落的概率就是0、2;若有二人击 中，则飞机被击落的概率就是0、6;若有三人击中，则飞机一定被击落、 求飞机被击落的概率、解设a飞机被击落，Bi飞机被i个人击中，A 第i个人射击击中飞机， i 1,2,3,由题设条件知，P(Ai) 0.4, P(A2) 0.5, P(As) 0.7,AAA相互独立,P(A|B1) 0.2P(A|B3)1,P(A|B2) 0.6BiAiA2A3AA2A3AA

4、2A3,B3B2AA2A A1A2A3 AA2A3,AiA2 A3,由概率的可加性与事件的独立性P(Bi) P(AAA) P(A)P(A；)P(a3)0.36 ,P(B2) P(A4A3)P(A)P(A2)P(A)0.41,P(B3) P(AA2A3)P(AA2A3)P(A4A)P(A)P(A2)P(A)P(A)P(A2)P(A)P(A左A)P(AAA)P(A)P(A2)P(A)p(Qp(A2)P(A)P(A)P(A2)P(A)0.40.50.70.14,由全概率公式3P(A)P(Bi)P(A|Bi)i10.360.20.410.60.1410.458、例8将4只有区别的球随机放入编号为15的

5、五个盒中（每盒容纳球的数量不限）、求（1）至多两个盒子有球的概率；（2）空盒不多于2个的概率、解方法一设A至多两个盒子有球，B空盒不多于2个，A恰有i个空盒,i1,2,3,4,A,且A，A2互不相容,P(Ai)C54!54，P(4)C2 C：3!54P(B) P(A)P(A2)961250.768B空盒多于2个至少有三个空盒至多两个盒子有球A,P(A)P(B)1P(B)0.232、方法二设A至多两个盒子有球，B空盒不多于2个，Bi恰有i个盒子有球，i1,2,3,4,则AB1B2,且B1，B2互不相容，BA,c5P（Bi）谓,5'C1C3A2C21A2P(B2)C4c3A5C4_A52_

6、54（把4个球分成两组，一种就是1个与3个，另一种就是从4个球中取出2个球在一起与余下2个球自然在一起,（考虑到对称性，不分组顺序）,例如设四个球分别为a,b,c,d,两只球在一起，分组为(a,b),(c,d),(a,c),(,b,d),(a,d),(b,c)；(.b,c),(a,d),(b,d),(a,c),(c,d).(a,b),但就是后三个与前三个就是实为一样的)、P(A)P(BJP(B2)1250.232,P(B)P(A)1P(A)0.768、例9在除去大小王的一副54张扑克牌中，随机抽取2张，求恰取到2张不同花且最大点数为7的概率、解设A恰取到2张不同花且最大点数为7,方法一：P(A

7、)21c：(c2ccl)2526 13152 5117218(先取两色，只一个7或两个7)方法二：P(A)c4cC42C5272 6152 51172(取出一张花色的7,然后从其它三种花色的16中任取一张，或直接取出两个花色的7)、方法三：P（A）_ 222C4（76 ）C2C52一 2 一 一C4（2 6 1）C2C526 13152 51 17 ，(先取两色一张，去掉不含(如果P(A)，从每色的17取出 7的）11C4c214 21 28 1c5252 51 26 17 ,2则错了,错在何处,这种想法就是从4色中取出一个7,其它三色的17中取出一个、这样算有重复的,如先取出红桃7,再取出方

8、石专7与先取出方石专7,再取出红桃7,就是一样的)P（A）c4c；1C：25284 678152 5126 51172方法四:例10从5双不同的鞋子中任取4只，求下列事件的概率,(1)没有成对的鞋子；(2)至少2只配成一双、解设A没有成对的鞋子B至少2只配成一双,方法P(A)c；(c2)48Cw（从5双中任取 中任取一只）,21，4双,再从每双P(B) P(A) 1 P(A)81312121方法二C1 C1C1C1P(A) 10 I 6 4A0821，（第一次从10只中任取一只,第二次从其它 第三次从其它 第四次从其它 方法三4双中任取一只,3双中任取一只，2双中任取一只、）P(B)c5C2(

9、c2)2Cwd 1321，（恰两只成一双另两只来自不同双,或恰成两双）方法四P(B)c5©c6 2) c；C401321方法五P(B)c5c； c；Cw1321（从5双中任取一双，然后从其它4双鞋中任取两只，其中成两双鞋的次数计了两次，去掉）、先下手为强例11甲、乙两人的射击水平相当，于就是约定比赛规则：双方对同一目标轮流射击，若一方失利，另一方可以继续射击，直到有人命中目标为止、命中一方为该轮比赛的优胜者、您认为先射击者就是否一定沾光？为什么？解设甲、乙两人每次命中的概率均为P,失利的概率为q(0p1,pq1),令A第i次射击命中目标,（i1,2,）、假设甲先发第一枪，则P（甲胜）

10、P（A1NAa"A2A3A4A5）p（Ai）p（AAa）p（AA2AAa）24pqpqp24、p（iqq）iip21q1q,又可得P（乙胜）1P（甲胜）1°q1q1q,因为0q1,所以P（甲胜）P（乙胜）、注：之所以在比赛时经常要用抽签来决定谁“先下手”，原因在于“先下手”就就是沾便宜、（当然就是在实力相当的条件下）,“狭路相逢勇者胜”、今天的学习评比，求职，工作等竞争事项，也就是要抢先一步，采取积极主动，才能取的预期目标、被动就会挨打，失去战机，导致失败、机会光顾那些有时刻准备，并抢先一步的人、例12甲袋中装有4只红球,2只白球，乙袋中装有2只红球,3只白球、从甲袋中任取

11、2只球放入乙袋中，然后再从乙袋中任意取出一只就是红球、试求甲袋中取出的2只全就是红球的概率、解设A从乙袋中任意取出一只就是红球，Bi从甲袋取出的2只球中有i只红球，i0,1,2,根据题设条件知P(Bi)0,1,2,c1P(A|Bi)C21C7利用贝叶斯公式得所求概率为P(B2 |A)P(B2)P(A|B2)工-225P(BJP(A|Bi)i0例13已知100只集成电路中不合格品数从03就是等可能的、从中任意取出4只，经检测均为合格品，求此100只集成电路没有不合格品的概率、解设A取出4只均为合格品，Bi100只集成电路中有i只不合格品,i0,1,2,3,根据题设条件知1p(Bi) 7 PBJC

12、100 iC100i0,1,2,3,利用贝叶斯公式得所求概率为P(B0)P(A|B。)P(B0|A)W00.2656P(Bi)P(A|Bi)'i0例14工厂生产的产品合格率就是0、96、为确保出厂产品质量需要进行检查，由于直接检查带有破坏性，因此使用一种非破坏性的但不完全准确的简化检查法、经试验知一个合格品用简化检查而获准出厂的概率就是0、98,而一个废品用简化检查而获准出厂的概率就是0、05、求使用这种简化检查法时获得出厂许可的产品就是合格品的概率及未获得出厂许可的产品就是废品的概率、解设A产品获准出厂，A产品未获准出厂，B产品就是合格品B产品就是不合格品，根据题设条件知P(B)0.

13、96,P(B)0.04,P(A|B)0.98,P(A|B)0.05,利用贝叶斯公式得所求概率为P(B|A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)0.960.980.960.980.040.050.9979；P(B|A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)0.040.950.6643、0.040.950.960.02例15设A,B为任意事件，证明IP(AB)P(A)P(B)|P(A)(1P(A)12P(B)(1P(B)证明若P(AB)P(A)P(B)0,由于P(AB)P(A)P(B)P(A)P(A)P(B)P(A)(1P(B),P(AB)P(A)P(B)P(B)P(A)P(B)P(B)(1P(A),综合这两个不等式，得P(AB)P(A)P(B)2P(A)(1P(B)P(B)(1P(A),即得IP(AB)P(A)P(B)|11P(A)(1P(A)2P(B)(1P(B)2；若P(AB)P(A