第7章非线性方程求根

1、1第7章 非线性方程求根第一节 方程求根与二分法本章主要讨论单变量的非线性方程求根问题本章主要讨论单变量的非线性方程求根问题2非线性方程根的不同情况 设非线性方程为： f (x)=0 当f (x)为多项式时，非线性方程是一种特殊形式的方程，即多项式方程，也叫n 次代数方程 。 若若x*使得使得f (x*)=0，则称，则称x*为方程为方程f (x)=0的根的根或函数或函数 f (x)的零点。的零点。 0)(10 n nn nn na ax xa ax xa aa ax xf f3非线性方程根的不同情况若 f (x)可表示成： Z Zm mx xg gx xx xx xf fm m)()(且且g

2、( x* ) 0当当 m=1 时，时，x*称为称为f (x)的的单根单根；当当 m1 时，时， x*称为方程称为方程f (x)的的m重根重根，或函数，或函数 f (x)的的m重零点重零点。n次的非线性方程在复数域内有且仅有次的非线性方程在复数域内有且仅有n个根。个根。4求根的方法n对于1次、2次的多项式方程，已经有成熟、有效的解法；n对于3次、4次的多项式方程，也有公式可以使用，但形式较为复杂；n高于4次的多项式方程早在1830年就证明了不可能用公式求解。5求根的方法 根据前面的讨论，可以把次数高于2次的多项式方程同一般的非线性方程 f (x)=0的求解作为相同的问题进行研究。 对这类问题通常

3、采用区间法或迭代法求解。6非线性方程的有根区间若 f(x) 满足条件:(1) 在a,b内连续, (2) f(a) f (b)0, f (0)=10, f (3)=- -260可见可见 f(x)仅有两个实根仅有两个实根, 分别位于分别位于(0, 3) , (3,+)9非线性方程的有根区间又因为又因为 f (4)=10, 所以第二有根区间可缩小为所以第二有根区间可缩小为 (3,4)。x(-,0)0 (0,3) 3 (3,4) 4 (4,+) f (x) f (x) - 0+ - 0-+ 有根区间(0,3)(3,4)10非线性方程的有根区间逐步搜索法 (增值寻根法) 增值寻根法的基本思想是增值寻根法

4、的基本思想是: : 从初值从初值 开始开始, , 按按规定的一个初始步长规定的一个初始步长h 来增值。来增值。同时计算同时计算 。0 x1(0,1,2,)nnxxhn )(1 nxf11非线性方程的有根区间搜索过程搜索过程, ,可从可从a开始开始, ,也可从也可从b开始开始, ,这时应取步这时应取步长长 h 0。0)()1(1 nxf此时此时 即为方程的根即为方程的根1 nx。 x1(2)()()0nnf xf x 说明区间说明区间 内无根内无根 ,1 nnxx可能遇到三种情形：可能遇到三种情形：1(3)()()0nnf xf x ，说明区间说明区间 内有根内有根 ,1 nnxx12求方程的有

5、根区间.解解根据有根区间定义，对方程的根进行搜索计算，结果如下表：方程的三个有根区间为1,2,3,4,5,6.13二分法 应用二分法的前提：已经确定了非线性方程的有根区间a,b。 设方程设方程 f (x)=0 在区间在区间a,b 内有且只有一内有且只有一个实根个实根 x* 。 即即 f (x) 满足条件满足条件: (1) 在在a,b内连续；内连续；(2) f(a) f(b)0 , (3) f(x) 在在a,b内严格单调。内严格单调。14二分法 二分法的基本思想是：通过等分有根区间，不断压缩有根区间的大小。在有限步运算中，当区间压缩到一定小的程度时，用其中点作为原方程的近似解。取有根区间取有根区

6、间a,b的中点的中点20b ba ax x 计算计算f(x0)，考察考察f(x0)的正负情况。的正负情况。15二分法(1)若若 f ( x0 ) = 0, 则则 x0 就是方程的根就是方程的根x*,计算结束计算结束 ;(2)若若 ，则则 令令 a1= a , b1=x0 ;0)()(0 x xf fa af f),(0*x xa ax x (3)若若 ，则则 令令 a1= x0 , b1= b ;0)()(0 x xf fb bf f),(1*b bx xx x 此时的有根区间为此时的有根区间为a1,b1，该区间大小为原区间的，该区间大小为原区间的一半。一半。16二分法对压缩了的有根区间a1,

7、b1，实行同样的步骤。若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限进行下去。将无限进行下去。如此反复进行如此反复进行, 可得一系列有根区间可得一系列有根区间 ,2211k kk kb ba ab ba ab ba ab ba a17二分法 由于每一区间都是前一区间的一半，因此区间ak, bk的长度为：)(21a ab ba ab bk kk kk k 0)(21lim a ab bk kk k 即当即当 k 时时, 区间必将最终收缩为一点区间必将最终收缩为一点x*, 显显然然x* 就是所求的根。就是所求的根。18二分法 小结：二分法也可以看作一

8、种迭代法，它的迭代过程确定了一个区间的序列 I(k) ，使每个区间都包含方程的某个解x*。且区间长度趋于零。显然，当区间的长度足够小时，此区间中任何一点与x*的差必小于某一个值。所以可以用此区间中任何一点作为x*的近似，且误差可以容易估计。19二分法当区间ak, bk的中点作为x*的近似值时，即：2*k kk ka ab bx x 1*22| k kk kk kk ka ab ba ab bx xx x二分法的二分法的特点特点：计算简单，且总是收敛的。但是：计算简单，且总是收敛的。但是收敛速度慢。收敛速度慢。二分法适合于寻求一个较好的近似解，作为其它二分法适合于寻求一个较好的近似解，作为其它方

9、法求解的初值。方法求解的初值。20二分法 例：用二分法求方程 f(x)=x3-x-1=0在区间(1,1.5)的实根,要求误差不超过0.005。005. 0 k kx xx x解：即要求满足解：即要求满足005. 022|1* k kk kk kk ka ab ba ab bx xx x6 . 5 k k取取k =621二分法(1) f (a)0(2) 根据精 度要求,取到小数点后四位即可.-+-+ - -1.251.3751.31251.34381.32811.32031.32421.51.51.3751.3751.34381.32811.32811.01.251.251.31251.3125

10、1.31251.32030123456 bk akkkx x)(k kx xf f二分法计算过程见下表：二分法计算过程见下表：x* 1.3242 22二分法 例：用二分法求 在1,2 内的一个实根，且要求满足精度0104)(23 xxxf31021 k kx xx x23二分法kakbkxkf(xk)01.02.01.52.37511.01.51.25-1.7986721.251.51.3750.1621131.251.3751.3125-0.8483941.31251.3751.34375-0.3509851.343751.3751.359375-0.0964161.3593751.3751

11、.363281250.0323624二分法kakbkxkf(xk)71.3593751.36718751.364257813-0.0321581.363281251.36718751.3647460940.00007291.363281251.3652343751.364257813-0.01605101.3642578131.3652343751.364746094-0.00799x* x10 = 1.36474609431010101021000488281. 02 a ab bx xx x25第七章 非线性方程求根第二节 迭代法及其收敛性26迭代法的基本思想迭代法是一种重要的逐次逼近法迭

12、代法是一种重要的逐次逼近法, ,其其基本思想基本思想是：是：将方程将方程 f (x)= 0 化为等价方程化为等价方程, )(xx 然后在有根区间内取一点然后在有根区间内取一点 x0 ，按下式计算按下式计算1()(0,1,2,)kkxxk 计算结果生成数列计算结果生成数列,10kxxx如果这个数列有极限如果这个数列有极限 xxkklim当当 (x) 连续时连续时, ,显然显然 就是方程就是方程 x= (x) 的根。的根。 x27这种求根方法称为这种求根方法称为迭代法迭代法。 如果迭代序列收敛如果迭代序列收敛, ,则称则称迭代格式收敛迭代格式收敛, ,否则称为否则称为发发散散。于是于是可以从数列可

13、以从数列 中求得满足精度要求的近似根。中求得满足精度要求的近似根。kx1()(0,1,2,)kkxxk 称为称为迭代格式迭代格式, (x) 称为称为迭代函数迭代函数, x0 称为称为迭代初值迭代初值,数列数列 称为称为迭代序列迭代序列。kx迭代法的基本思想28)(0)( x xx xx xf f 所以通常称所以通常称 为为 的不动点，求的不动点，求f (x)的零的零点等价于求点等价于求 的零点。的零点。*x x)(x x )(x x 因此，又称因此，又称 为不动点为不动点迭代法迭代法。1()(0,1,2,)kkxxk 迭代法的基本思想29 03224xxx14)(2 xxx 32)(243 x

14、xxx 4121)23()(xxxx 对方程进行如下三种变形：对方程进行如下三种变形：用迭代法求方程用迭代法求方程 x4+2x2-x-3=0 在区间在区间1, 1.2内内的的 实根实根。解解例例1迭代法的基本思想30分别按以上三种形式建立迭代格式，并取分别按以上三种形式建立迭代格式，并取x0=1进行进行迭代计算，结果如下：迭代计算，结果如下：12411()(32)kkkkxxxx 26271.124123xx 12()41kkkxxx 124123. 176 x xx x迭代法的基本思想31第二种格式比第一种格式收敛快得多第二种格式比第一种格式收敛快得多, ,而第三种格而第三种格式不收敛。式不

15、收敛。可见迭代格式不同可见迭代格式不同, , 收敛情况也不同。收敛情况也不同。准确根准确根 = 1.124123029 。 x4213()23kkkkxxxx 73496,8.495307 10 xx 迭代法的基本思想32例例2 用迭代法求方程用迭代法求方程0104)(23 xxxf2 , 1在在内的一个近似根，取初始近似值内的一个近似根，取初始近似值5 . 10 x解解原方程的等价方程可以有以下不同形式原方程的等价方程可以有以下不同形式x xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx x 410)4(1021)3(410)2(104)1(323迭代法的基本思想33对应的迭代公式

16、有：对应的迭代公式有：nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxn 410)4(1021)3(410)2(104)1(1312311取取,5 . 10 x列表计算如下列表计算如下迭代法的基本思想341.365230021.3659167381.365229941.3638870071.3652230581.3678469761.365225591.3600941951.365264751.3751702541.364957011.34545838-469.731.367376371.402540802.99696.73221.348399731.286953770.8165-0.87511.5

17、1.51.51.50(4)(3)(2)(1)n81003. 1 21)65. 8( 迭代法的基本思想35n (1) (2) (3) (4)91.364878221.36523001101.36541006151.36522368201.36523024231.36522998251.36523001接上表接上表迭代法的基本思想36例例2.3 求方程在附近的根.解解 若将方程改写为,构造迭代法由可知，显然不收敛.构造迭代法若将方程改为37计算结果如下：从结果看它是收敛的，且在6位有效数字时即为根x*的近似值.38迭代法的几何意义一般来说从一般来说从,0)( xf构造构造)(x 不止一种，有的不止

18、一种，有的收敛，有的不收敛，这取决于收敛，有的不收敛，这取决于 的性态。的性态。)(x 方程方程 的根，在几何上就是直线的根，在几何上就是直线)(xx xy 与曲线与曲线 交点的横坐标交点的横坐标)(xy 。 x390()1(1)x迭代法的几何意义401()0(2)x 迭代法的几何意义41()1(3)x 迭代法的几何意义42()1(4)x 迭代法的几何意义43迭代法的收敛条件定理定理 1 (1) 当当xa , b时时，; ,)(bax (2) 存在正数存在正数L1时称为时称为超线性收敛超线性收敛.显然显然,收敛阶越大收敛阶越大,收敛越快收敛越快.p = 2 时称为时称为二阶二阶( (平方平方)

19、 )收敛收敛, , 特别地特别地, ,令令, xxekk若若54则迭代过程在则迭代过程在 的邻近为的邻近为 p 阶收敛阶收敛。 x,1)(0 x (1) 若若为线性收敛为线性收敛；则迭代过程在则迭代过程在 的邻近的邻近 x, 0)(,0)()()()() 1( xxxxpp (2) 若若定理定理 3)(xx 的根的根, ,在在 的邻域的邻域 U内内)(x 有连续的有连续的 p 阶导数，阶导数，则则 设设 为为 x x迭代法的收敛速度55将将 处进行泰勒展开：处进行泰勒展开：*)(x xx xk k在在 p pk kp pk kk kx xx xp px xx xx xx xx x*)(!)(*

20、)*)(*)()()( ,0)(,0)()()()()1( xxxxpp p pk kp pk kx xx xp px xx x*)(!)(*)()()( *)()(1x xx xx xx xk kk k !)()(1p pe ee ep pp pk kk k !)(*)(p px xp p 迭代法的收敛速度56迭代法的加速迭代法的加速无论是解线性方程组的Jacobi迭代法和GS迭代法还是解非线性方程Newton系列迭代法都涉及到收敛速度问题如何加快迭代法的速度呢？也涉及到初值的选取问题如何改善迭代法的适用范围呢？57GkGkfxBx)()1(bLDUxLDk1)(1)()(bUxxLDkk)

21、()1()(由G-S迭代法的矩阵形式矩阵形式)()1()(kkkxxr加速)()1()(kkkxxr)()()1(kkkxrx加速法主要思想58)()1()(kkkxxr)()()1(kkkrxxbUxLxDxkkk)()1()1(bDUxDLxDxkkk1)(1)1(1)1(bDUxDLxDxxkkkk1)(1)1(1)()(bDUxDLxDxkkk1)(1)1(1)()()1(1)(1)1(1)(bDUxDLxDxkkk-(5)的改变量次迭代时第xk1前加上因子在)(kr两边同时乘两边同时乘D D59)()1()()1()()1(bUxLxDxDxkkkkbxUDxLDkk)()1()1(

22、)(bLDxUDLDxkk1)(1)1()()1()(-(6)上式为逐次超松弛法(SOR迭代法)的矩阵形式)1()(1UDLDBbLDf1)(令fxBxkk)()1(-(7)法的迭代矩阵为SORB60,1时当SOR法化为bLDUxLDxkk1)(1)1()()(G-SG-S迭代法迭代法G-S法为SOR法的特例, SOR法为G-S法的加速例1.用G-S法和SOR法求下列方程组的解,45. 1取321242124321xxx320要求精度1e-661解:(1)G-S迭代法GBULD1)(13210420040002001205 . 03/10625. 025. 0025. 05 . 00fbLD1

23、)(13210420043203/25 . 0062),0 ,0()0(取初值xx,k=gauss_seidel(a,b,1,1,1,1e-6) 1 1 1 0.7500000 0.3750000 1.5000000 0.5625000 0.5312500 1.5416667 0.6510417 0.5963542 1.6145833 0.7018229 0.6582031 1.6727431. 0.9999933 0.9999923 1.9999926 0.9999943 0.9999935 1.9999937 0.9999952 0.9999944 1.9999946 k = 71x=0.

24、9999950.9999941.999995满足精度的解迭代次数为71次63(1)SOR迭代法 1 1 1 0.6375000 0.0121875 1.3199063 0.2004270 0.3717572 1.3122805 0.6550335 0.5340119 1.6922848 0.7058468 0.7733401 1.7771932. 0.9999990 0.9999976 1.9999991 0.9999984 0.9999993 1.9999989 0.9999998 0.9999994 1.9999998 0.9999996 0.9999998 1.9999997 k = 2

25、4x=1.0000001.0000002.000000满足精度的解迭代次数为24次bLDxUDLDxkk1)(1)1()()1()(SOR法的收敛速度比G-S法要快得多,选取适当的64SOR法都收敛吗？1.SOR迭代法收敛的充要条件是对于SOR迭代法(7),有如下结论1)(B-(8)|1|)(B由于(此结论的证明较复杂此结论的证明较复杂), 因此有法收敛的必要条件是即SOR20, 1|1| . 2,20,. 3)0(xA对任意初值且为对称正定矩阵若矩阵法均收敛SOR收敛对任意初值为对称正定矩阵若矩阵)0(,. 4xSGA另外,松弛因子的选取是很困难的,一般采用试算试算进行65二、非线性方程迭代

26、法的加速对于迭代法)(1kkxx1()kkkkxxxx kkkxxr11kkk kxxr)(kkkkxxx)()1(1kkkkkxxx)(kkxx上式的迭代函数)()1()(xxx)()1()(xx0令迭代改变量k加入因子即的加权平均与)(kkxx求导并令-(9)66)(11x)(11kkx)()1(1kkkkkxxx得因此有松弛迭代法:-(10)从后面的例子可以看出,加速效果是明显的甚至一些不收敛的迭代法经过松弛加速后也能收敛67),(kx要计算松弛法的每一步迭代都不方便*,)(xxx的精确解为假设方程0 x初值为)(01xx)(12xx22*xxxx)(*)(12xxx)*)(12xxx中

27、值定理)*()()(101012xxxxxxx差商近似代替导数)*(*101122xxxxxxxx即68得解出 *,x01221222)(*xxxxxxx于是可以得到迭代格式:)(01xx)(12xx其中)()1(kkxx)()1()2(kkxxkkkkkkkxxxxxxx)1()2(2)1()2()2(12)(,2 , 1 ,0k-(11)上组公式称为Altken公式或Altken加速69将(11)式综合后可得一个解析式表示的迭代法:kkkkkkkxxxxxxx)(2)()()()(21-(12)上式称为Steffensen迭代法Altken公式与Steffensen公式是等价的加速效果也是

28、很明显的例2中将比较不同加速方法70例2.对迭代格式3131kkxx进行加速解方程组0133 xx6010,5 . 0精确到初值x解:x0 = 0.5x1 = 0.375x2 = 0.3509115x3 = 0.3477369x4 = 0.3473496x5 = 0.3473028x6 = 0.3472971x7 = 0.34729643131kkxx(1)直接使用迭代格式迭代7次,得到满足精度的解347296. 0 x71(2)对迭代格式进行松弛加速211kkx)1(313223kkkxxx31)(3xx2)(xx )()1(1kkkkkxxxx0 = 0.5x1 = 0.3333333x2

29、 = 0.3472222x3 = 0.3472964x4 = 0.3472964迭代4次,得到满足精度的解347296. 0 x72(3)对迭代格式进行Altken加速(11)式313)1(kkxxx0 = 0.5x1 = 0.3451613x2 = 0.3472961x3 = 0.3472964迭代3次,得到满足精度的解347296. 0 x从以上3种结果可见,迭代法加速技术效果比较明显5 . 1)4(0 x如果将初值改为3131kkxx迭代格式显然不收敛31)(3)1()2(kkxxkkkkkkkxxxxxxx)1()2(2)1()2()2(12)(73x0 = 1.5x1 = 1.535

30、0706x2 = 1.5321124x3 = 1.5320889x4 = 1.5320889迭代4次,得到满足精度的解532089. 1x对迭代格式进行松弛加速x = 1.5x = 1.5333333x = 1.5320906x = 1.5320889x = 1.5320889迭代4次,得到满足精度的解532089. 1x对迭代格式进行Altken加速可见加速技术可能将不收敛的迭代法加速为收敛74第七章 非线性方程求根第三节 牛顿迭代法75牛顿法的基本思想 设已知方程 f (x) = 0 的近似根为x0，且在 x0附近 f (x) 可用一阶泰勒多项式近似，表示为：)()()(000 xxxfx

31、fxf 当当 f (x0) 0 时时，方程方程 f (x) = 0 可用线性方程可用线性方程近似代替，即：近似代替，即：0)()(000 xxxfxf76牛顿法的基本思想0)()(000 xxxfxf解线性方程：解线性方程：得：得：)()(000 xfxfxx 取此取此 x 作为原方程的新近似根作为原方程的新近似根 x1，重复以上步骤重复以上步骤，得迭代公式：得迭代公式：1()(0,1,)()kkkkf xxxkfx 此式称为此式称为牛顿牛顿(Newton)迭代公式迭代公式。77牛顿法的基本思想例 1：用牛顿法求方程用牛顿法求方程0104)(23 xxxf在在 内一个实根，取初始近似值内一个实

32、根，取初始近似值。5 . 10 x21 ，解：解：xxxf83)(2 所以迭代公式为：所以迭代公式为：, 2 , 1 , 0)83()104(2231 nxxxxxxnnnnnn列表计算如下：列表计算如下：1.365230011.365262011.37333331.5 3 2 10 nnx78牛顿法的几何意义 方程f (x) = 0 的根就是曲线 y= f (x) 与x 轴交点的横坐标x*，当初始值x0 选取后，过(x0 , f (x0 ) 作切线，其切线方程为：)()(000 xxxfxfy )()(0001xfxfxx 它与它与x轴交点的横坐标为：轴交点的横坐标为：79牛顿法的几何意义

33、设xk 是x* 的第k 次近似值，过(xk , f (xk )作y= f (x)的切线，其切线与x轴交点的横坐标为：)()(1k kk kk kk kx xf fx xf fx xx x 若过曲线若过曲线 y= f (x)上的点上的点 P ( xk , f ( xk )引切线，引切线，该切线与该切线与 x 轴交点的横坐标即为由牛顿迭代公式轴交点的横坐标即为由牛顿迭代公式求求得的得的 xk+1 , 因此牛顿迭代法也称牛顿切线法。因此牛顿迭代法也称牛顿切线法。80牛顿法的几何意义81例5.用Newton迭代法求方程的根:0133xx解:13)(3xxxf设33)(2xxf由Newton迭代法)()

34、(1kkkkxfxfxx得取初值,5 .00 xx0 =0.5;x1 =0.3333333333x2 =0.3472222222x3 =0.3472963532x4 =0.3472963553331323kkkkxxxx迭代四次精度达10-8 1kx*x)(xfy kx82牛顿法的几何意义 用牛顿迭代法求方程用牛顿迭代法求方程 x = e x 在在 x =0.5 附近的根。附近的根。例例2:2:将原方程化为将原方程化为 x e x = 0，则则 f(x)= x e x ， f (x)=1+ e x, 解：解： 牛顿迭代格式为牛顿迭代格式为kkxxkkkeexxx 11取取 x0 =0.5，迭代

35、得迭代得:x1=0.566311, x2=0.5671431, x3=0.567143383牛顿迭代法的收敛速度)()()(xfxfxx 牛顿迭代法的迭代函数为：牛顿迭代法的迭代函数为：由于由于f (x*) = 0， 所以当所以当 时时, ,0)( xf )()()(0)()()()( xfxfxxfxfxfx 不一定为不一定为 0所以所以f (x)在在x*附近是平方收敛的。附近是平方收敛的。84重根情况当x*为m重根时， f (x)可表为:)()()(xgxxxfm )()()()()()()(1k kk kk kk kk kk kk kk kk kk kx xg gx xx xx xg g

36、m mx xg gx xx xx xx xf fx xf fx xx x )()()()()()(x xg gx xx xx xg gm mx xg gx xx xx xx x 85重根情况令令 xxekk则则)()()(*11kkkkkkkkxgexmgxgeexxe 1()limlim1()()110kkkkkkkkeg xemg xe g xm 86计算重根的牛顿迭代法对于有重根的情况采用如下迭代格式：1()()kkkkf xxxmfx 用牛顿法求方程的重根时仅为线性收敛。用牛顿法求方程的重根时仅为线性收敛。87计算重根的牛顿迭代法 例：方程 的有二重根，用牛顿迭代法和重根的牛顿迭代法分

37、别求方程的近似根。迭代初值为1.5。04424 x xx x88计算重根的牛顿迭代法例：用牛顿迭代法求 f (x)=(x-1)sin(x-1)+3x-x3+1=0 在0.95 附近的根。取取 x0 = 0.95 用牛顿迭代法求得的用牛顿迭代法求得的 xk 见下表见下表。k xk01230.950.97442790.98705830.9934878k xk4560.99673280.99835760.999190189计算重根的牛顿迭代法由重根数由重根数 m 为为 2 , 用加速法用加速法1()()kkkkf xxxmfx x0=0.95 x1=0.9988559 x2=x3=1收敛速度大大加快

38、于直接用牛顿迭代公式。收敛速度大大加快于直接用牛顿迭代公式。得：得：90)()(1kkkkxfxfxxNewton迭代法需要求每个迭代点处的导数)(kxf 复杂！得中的近似替代用,)(0kkxxfx)()(01xfxfxxkkk-(12)-(13)这种格式称为简化Newton迭代法精度稍低)(kxf 如果用数值导数代替11)()()(kkkkkxxxfxfxf三、Newton迭代法的变形91则Newton迭代法变为)()()()(111kkkkkkkxxxfxfxfxx-(14)这种格式称为弦截法收敛阶约为1.6181kx11)()(,kkkkABxxxfxfKAB的斜率为如图11)()(ta

39、nkkkkxxxfxf*x)(xfy 1kxkxAB)()()()(111kkkkkkkxxxfxfxfxx)(cotkkxfx)(cotkxf几何意义92例6.用简化Newton法和弦截法解例(5)中方程的根，0133xx解:13)(3xxxf设33)(2xxf由简化Newton法)()(01xfxfxxkkk3313203xxxxkkk并和Newton 迭代法比较由弦截法)()()()(111kkkkkkkxxxfxfxfxx93x0=0.5x1= 0.3333333333x2 = 0.3497942387x3 = 0.3468683325x4 = 0.3473702799x5 = 0.3

40、472836048x6 = 0.3472985550 x7 = 0.3472959759x8 = 0.3472964208x9 = 0.3472963440 x10 = 0.3472963572x11 = 0.3472963553x0=0.5;x1=0.4;x2 = 0.3430962343x3 = 0.3473897274x4 = 0.3472965093x5 = 0.3472963553x6 = 0.3472963553简化Newton法由弦截法要达到精度10-8 简化Newton法迭代11次弦截法迭代5次Newton迭代法迭代4次94无论前面哪种迭代法：Newton迭代法简化Newton

41、法弦截法0)arctan()(xxf0 x精确解为Newton迭代法)1(arctan21kkkkxxxx10 x取初值x0 = 2x1 = -3.54x2 = 13.95x3 = -279.34x4 = 122017是否收敛均与初值的位置有关如20 x若取初值x0 =1x1 = -0.5708x2 = 0.1169x3 = -0.0011x4 = 7.9631e-010 x5 = 0收敛发散95|)(|)(|:1kkxfxf入要求如果在构造迭代法时加建立迭代法因此考虑引入一因子 ,)()(1kkkkxfxfxx使得选择一个在迭代时,|)(|)(|1kkxfxf-(15)这种方法称为Newto

42、n下山法，称为下山因子的选取方式的顺序，按322121211成立为止直到|)(|)(|1kkxfxf96例7.99.0,3)(03xxxxf取初值求解方程5110|nnxx解:1.先用Newton迭代法1)(2xxf)()(1kkkkxfxfxx)1(3323kkkkxxxx)1(332003001xxxxx50598.32)1(332113112xxxxx69118.2115689.15x4 = 9.70724 x5 = 6.54091 x6 = 4.46497 x7 = 3.13384 x8 = 2.32607 x9 = 1.90230 x10= 1.75248x11= 1.73240 x

43、12= 1.73205x13= 1.73205)1(332223223xxxxx迭代13次才达到精度要求972.用Newton下山法,结果如下k=0 x0 =-0.99 fx0 =0.666567k = 1 x1 =32.505829 f(x) = 11416.4 w =0.5 x1 =15.757915 f(x) = 1288.5 w =0.25 x1 =7.383958 f(x) =126.8 w =0.125 x1 =3.196979 f(x) =7.69 w = 0.0625 x1 =1.103489 f(x)=-0.655k = 2 x2 = 4.115071 f(x) =19.1 w = 0.5 x2 = 2.60928 f(x)=3.31 w =0.25 x2 =1.85638 f(x)=0.27k = 3 x3 =1.74352 f(x)=0.023k = 4 x4 = 1.73216 f(x)=0.00024k = 5 x5 = 1.73205 f(x)=0.00000k = 6 x6 = 1.73205 f(x)=0.000000)(kkxfxk