整数裂项求和

1、整数裂项求和对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。例1、计算1×2+2×3+3×4+4×5+98×99+99×100答案：333300提示：这个算式实际上可以看作是：等

2、差数列1、2、3、4、598、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（30）2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（41）3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（52）4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（63） 98×99=（98×99&

3、#215;100-97×98×99）÷（10097）99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（10198）将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99×100×101-0×1×2）÷3=333300训练快餐：1. 1×2+2×3+3×4+4×5+49×502、3×5+5×7+7×9+97×99

4、+99×101备注：想一想，第二题除以几？例2、计算1×2×3+2×3×4+3×4×5+96×97×98+97×98×99答案：23527350提示：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、598、99、100，先将所有的相邻三项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为3。1×2×3=（1×2×3×4-0×1×2×3）÷42×3×4=（2

5、×3×4×5-1×2×3×4）÷43×4×5=（3×4×5×6-2×3×4×5）÷496×97×98=（96×97×98×99-95×96×97×98）÷497×98×99=（97×98×99×100-96×97×98×99）÷4右边累加，括号内相互抵消，整个

6、结果为（97×98×99×100-0×1×2×3）÷4=（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）=23527350训练快餐：1. 2×4×6+4×6×8+94×96×98+96×98×1002、10×16×22+16×22×28+70×76×82+76×82×88例3.计算

7、1×1+2×2+3×3+99×99+100×100答案：338350提示：n×n=(n-1)×n+n1×1+2×2+3×3+99×99+100×100=1+（1×2+2）+（2×3+3）+（98×99+99）+（99×100+100）=（1×2+2×3+98×99+99×100）+（1+2+3+99+100）=99×100×101÷3+（1+100）×100

8、÷2=333300+5050=338350训练快餐：1. 1×1+2×2+3×3+49×502. 3×3+99×99+100×100例4计算1×2+3×4+5×6+97×98+99×100答案：169150提示：(n-1)×n=(n-2)×n+n原式=1×2+3×4+5×6+7×8+97×98+99×100=2+（2×4+4）+（4×6+6）+（6×8+8）

9、+（96×98+98）+（98×100+100）=（2×4+4×6+6×8+96×98+98×100）+（2+4+6+8+98+100）=98×100×102÷6+（2+100）×50÷2=169150训练快餐：1.3×4+5×6+49×50例5计算1×1×1+2×2×2+3×3×3+99×99×99+100×100×100答案：25492400提

10、示：n×n×n=(n-1)×n×(n+1)+n原式=1×1×1+2×2×2+3×3×3+99×99×99+100×100×100=1+（1×2×3+2）+（2×3×4+3）+（98×99×100+99）+（99×100×101+100）=（1×2×3+2×3×4+98×99×100+99×100×1

11、01）+（1+2+3+99+100）=99×100×101×102÷4+（1+100）×100÷2=25492400训练快餐：1.1×1×1+2×2×2+3×3×3+50×50×502. 5×5×5+6×6×6+7×7×7+65×65×65例6、计算1×3+2×4+3×5+4×6+98×100+99×101答案：338

12、250提示：1×3+2×4+3×5+4×6+98×100+99×101=（1×3+3×5+99×101）+（2×4+4×6+98×100）=（99×101×103-1×3×5）÷6+1×3+98×100×102÷6=171650+166600=338250训练快餐：1.4×6+97×99+98×1002. 1×3+2×4+3×5

13、+4×6+49×50例7计算1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4+100）答案：171700提示：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4+100）=1×2÷2+2×3÷2+3×4÷2+100×101÷2=（1×2+2×3+3×4+100×101）÷2=（100×101×102÷3）÷2=171700训练快餐：1.3+（3+6）+（3+6+9）+（3+6+9+12+300）通过以上例题，可以看出这类算式的特点是：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的