专题复习一待定系数法求二次函数表达式

1、学习必备欢迎下载专题复习一待定系数法求二次函数表达式二次函数表达式的三种形式：一般式y=ax2+bx+c(aw0);顶点式 y=a(x- m)2+k(aw0);交点式(分解式)y=a(x-x1)(x-x2),求函数表达式时要根据已知条件合理选择表达式形式.1 .一抛物线和抛物线y=-2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(-1 , 3), 则该抛物线的函数表达式为(B).A.y=-2(x-1)2+3B.y=-2(x+1)2+3C.y=-(2x+1)2+3D.y=-(2x-1)2+32 .如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为点A(-2 , -2),且过点B(

2、0, 2),则y关于x的函数表达式为(D).A.y=x2+2B.y=(x-2)2+2C.y=(x-2)2-2D.y=(x+2)2-2第3页(第8题)3 .如图所示为抛物线的图象，根据图象可知，抛物线的函数表达式可能为(A).A.y=-x2+x+211B.y=- 2 x2- 2 x+211C.y=- 2 x2- 2 x+1D.y=x2-x-24 .如图所示，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0, -2).该二次函数的图象与反8比例函数y=- x的图象交于点A(m, 4),则这个二次函数的表达式为(A).A.y=x2-x-2B.y=x2-x+2C.y=x2+x-2D.y=x2+x+25 .抛

3、物线 y=ax2+bx+c(aw0)经过(1 , 2)和(-1 , -6)两点,则 a+c= -2 .6 .已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1, 0), B(3, 0)两点，与y轴 交于点C(0, 3),则二次函数的表达式为 y=x2-4x+3.7 .老师给出一个函数，四位同学各指出了这个函数的一个性质：函数的图象不 经过第三象限；函数的图象经过第一象限；当 x<2时，y随x的增大而减 小；当x<2时，y>0.已知这四位同学的叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数：y=(x-2) 2 (不唯一) .8 .如图所示，将RtAO璨点。逆时针旋转90&#

4、176; ,得到 A1OB1若点A的坐标57为(2 , 1),过点A, Q A1的抛物线的函数表达式为y= 6 x2- 6 x9 .根据下列条件求二次函数的表达式.1 3二次函数y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标是-2 , 2 ,与y轴交点的纵 坐标是-5,求这个二次函数的表达式.二次函数图象的顶点在x轴上，且图象过点(2, -2) , (-1 , -8),求此函数的 表达式.13【答案】 设抛物线的函数表达式为 y=a (x+2) (x-万).把点(0,-5)代2011320入，得ax 2x(-2) =-5,解得a= 3 .抛物线的函数表达式为y= 3 (x+2 )32020(x-

5、 2 ) = 3 x2- 3 x-5.(2)设抛物线的函数表达式为y=a (x-k) 2.把点(2, -2) , (-1 , -8)代入，得 a (2 - k 2 = -2a(-1 k j = 8 ,a. 2a 9；a = -22 解得卜=5 ，或卜=1 .抛物线的函数表达式为y=- 9 (x-5)2或y=-2 (x-1 )2.(第10题)10.在平面直角坐标系中，抛物线 y=2x2+mx+n经过点A(0, -2) , B(3, 4).(1)求抛物线的函数表达式及对称轴.(2)设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上一动点，且点 D的纵 坐标为t,记抛物线在A, B两点之间的部分为图象

6、 G(包含A, B两点).若直线 CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点 D纵坐标t的取值范围.n = -2=【答案】(1)把点 A(0, -2) , B(3, 4)代入抛物线 y=2x2+mx+n 得 J8 + 3m + n=4,m = Y=解得&=-2 . .抛物线的函数表达式为y=2x2-4x-2 ,对称轴为直线x=1.(第10题答图)(2)如答图所示，作出抛物线在 A, B两点之间的图象G.由题意得C(-3, -4),二 次函数y=2x2-4x-2的最小值为-4 ,由函数图象得出点 D纵坐标的最小值为-4.3k + b = 4=设直线BC的表达式为y=kx+b,将点B, C的

7、坐标代入得 3k + b=4，解得k=3 b = 04.直线BC的表达式y= 3x.当x=1时，y= 3 , t的取值范围是-4<t < 3 .第2页11 .已知二次函数y=ax2+bx+c(aw0)的图象经过点A(1, 0), B(0, -3),且对称 轴为直线x=2,则这条抛物线的顶点坐标为(B).A.(2 , 3)B.(2, 1)C.(-2, 1)D.(2, -1)12 .若一次函数y=x+m2与y=2x+4的图象交于x轴上同一点，则 m的值为(D).A.2 B. ±2 C.22D.± V213 .若所求的二次函数图象与抛物线 y=2x2-4x-1有相同的

8、顶点，且在对称轴的左 侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，则所求二次函数 的表达式为(D).A.y=-x2+2x-5B.y=ax2-2ax+a-3(a>0)C.y=-2x2-4x-5D.y=ax2-2ax+a-3(a< 0)14 .如图所示，已知二次函数 y=x2+bx+c的图象经过点(-1 , 0), (1 , -2),该图象与x轴的另一个交点为点C,则AC长为3(第16题)15 .已知二次函数的图象经过原点及点(-2 , -2),且图象与x轴的另一个交点到112原点的距离为4,那么该二次函数的表达式为 y= 2 x2+2x或y=- 5 6 x2+3 x .1

9、6 .如图所示，直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B, AB± BC且点C 在x轴上.若抛物线y=ax2+bx+c以点C为顶点，且经过点B,则这条抛物线的函1数表达式为y= 2 x2-2x+2.(第17题)17.如图所示，RtzXAOB的直角边OA在x轴上，OA=2 AB=1,将RtAO璨点O5逆时针旋转90°得到RtzXCOD抛物线y=-6 x2+bx+c经过B, D两点.(1)求二次函数的表达式.(2)连结BD,点P是抛物线上一点，直线 OP把BOD勺周长分成相等的两部分, 求点P的坐标.【答案】(1) .RQAOB绕点。逆时针旋转 90°得到 RtA

10、CODCD=AB=1 OC=OA=2.则点 B(2, 1) , D(-1 , 2)，代入 y=- 6x2+bx+c,得、10 2b c =135”一 b c = 26,解得1 b =210c 二 一3学习必备欢迎下载(第17题答图)(2)如答图所示，: OA=2 AB=1, . .B(2, 1). .直线。丹巴zBOD勺周长分成相等的两部分，且 OB=OD DQ=BQ即点Q为BD的中点，D(-1 , 2). .点Q坐标为1313(2,2).设直线OP的表达式为y=kx,将点Q坐标代入，得2 k=2 ,解彳导k=3.y=3x5 2 110 x1=1x2 = -4iy =-二x +-x+_ do直

11、线OP的表达式为y=3x.由6 经过点B时，b=5.二直线y=- 2 x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段 BDC包3得¥ 3, "212. .点P的坐标为(1 , 3)或(-4 , -12).(第18题)18.在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+2过B(-2 , 6), C(2, 2)两点.(1)试求抛物线的函数表达式.(2)记抛物线的顶点为D,求 BCD的面积.1(3)若直线y=- 2 x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段 BDC包括端点B, C) 部分有两个交点，求b的取值范围.1 aa =4a2b+2 = 6a211I_【答案】(1)由题意-a+2&q

12、uot;2 = 2，解得b = 1. .抛物线的函数表达式为y=2x2-x+2.二 二 3V(2)如答图所示，: y=2x2-x+2= 2 (x-1)2+ 2 . .顶点 D 的坐标为(1, 2),对称轴为直线x=1.设直线BC的函数表达式为y=kx+b.将B (-2, 6) , C (2, 2) 2k+b=6% = -1= /代入，得2k+b=2，解得由=4 . .直线BC的函数表达式为y=-x+4, 对称1313轴与 BC的交点 H(1, 3). . .$ BDC=SBDH+SDHC=2 X 2 x 3+2 X 2 x 1=3.1 xy 二 一一 x +b,122+2y = - x -x

13、+2(3)由' 2消去y得x2-x+4-2b=0，当A =0时，直线与抛物线相切,15111-4(4-2b)=0 ,解得b= 8 .当直线y=- 2x+b经过点C时，b=3,当直线y=- 2 x+b15括端点B, C)部分有两个交点，. 8 <b<3.(第19题)19 .【贵港】将如图所示的抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的函数表达式为(A).A.y=(x-1)2+1B.y=(x+1)2+1C.y=2(x-1)2+1D.y=2(x+1)2+120 .【广州】已知抛物线y1=-x2+mx+n,直线y2=kx+b, y1的对称轴与y2交于点 A(-1

14、, 5),点A与y1的顶点B的距离是4.求y1的函数表达式.若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的函 数表达式.【答案】(1) .抛物线y1=-x2+mx+n,直线y2=kx+b,y1的对称轴与y2交于点A(-1 ,m5),点 A 与 y1 的顶点 B 的距离是 4. .B(-1 , 1)或(-1 , 9). - 2、(-1151)=-1 ,224-1 n -m(3)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D,则在抛物线的对称轴上是否存在点 P, 使4PC皿以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点 P的坐标；如果不 存在，请说明理由.(4)点E是线段BC上的一个动点，

15、过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点 F,当 点E运动到什么位置时，四边形CDBF勺面积最大？求出四边形 CDBF勺最大面积 及此时点E的坐标.第7页(第21题答图)【答案】(1)令x=0,可得y=2;令y=0,可得x=4, ；B,C两点的坐标分别为B (4, 0) , C (0, 2).设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将点A, B, C的坐标代入表达式得a-b c =016a 4b c = 0c = 21a = 一 2392 c = 2 ，解得t.，该二次函数的表达式为y=- 1 2 x2+ 2 x+2.二 31325(3)存在.=- 2 x2+ 2x+2=- 2(x- 2)2+ 8

16、抛物线的对称轴是直线x=2 . /.OD=2 . -.-C (0, 2) ,.OC=2在 RtzXOCm，由勾股定理得 CD=2 .=PCD 是以CD为腰的等腰三角形，. CP1=DP2=DP3=C0答图1所示，作CHL对称轴333535直线 x=2 于点H,.HP1=HD= 2；DP1=4P1( 2, 4) , P2( 2 , 2), P3(2 , - 2).11(4)如答图2所示，过点C作CMLEF于点M,设E (a, - CDBF=SBCD+SCEF+密BEF=2 BD- OC+2 EF - CMh2 EF- BN=2 + 2 a(- 2 a2+2a) a+2) , F (a, - 2

17、a2+323112 a+2) , a EF=- 2 a2+2 a+2- (- 2 a+2) =- 2 a2+2a (0<a< 4) . = S 四边形11513+ 2(4-a) (- 2a2+2a) =-a2+4a+2 =- (a-2) 2+2 , .当 a=2 时，四边形 CDBF13的面积最大，最大面积为2 ,此时点E坐标为(2, 1).4«1) =1 或 9,解得 m=-2, n=0 或 8. . . y1=-x2-2x 或 y1=-x2-2x+8.(2)当y1=-x2-2x时，抛物线与x轴的交点是(0, 0)和(-2 , 0). Vy1的对称 轴与y2交于点A(-1 , 5),，y1与y2都经过x轴上的同一点(-2 , 0).把(-1 , 5),-k+b=5(-2 , 0)代入得2k+b = 0,解得卜=5=b =10. . .丫2=5乂+10.当 y1=-x2-2x+8