空间解析几何(练习题参考答案)

1、精品文档1. 过点M (1, 1, 1)且垂直于平面 x y z+1 =0及2x+y + z + 1 = 0的平面方程.39. yz+2=03.在平面xy2z=0上找一点p,使它与点（2,1,5）, （4，4,1）及（2,1,3）之间的距离相等.7.(7,1,1)-5 55.已知：A(1,2,3),B(5,1,7),C(1,1,1),D(3,3,2),贝打/ =A . 4 B . 1 C , - D . 227 .设平面方程为x - y = 0,则其位置()D .过z 轴.A .平行于x 轴 B .平行于y 轴 C .平行于z 轴8 .平面x2y+7z+3 = 0与平面3x+5y+z1 = 0

2、的位置关系（）A .平行 B .垂直 C .相交 D .重合9 .直线 叱3 =丫二9与平面4x 2y 2z3 = 0的位置关系()-2-73A .平行 B .垂直 C .斜交 D .直线在平面内y +1 010 .设点A(。,1,0)到直线)"的距离为()、x + 2z - 7 = 0A . 75B . 1=C . 1 D .-、/6585. D 7, D 8 . B 9 . A 10 . A.3.当 m=时，2i _3j +5k 与3i+mj 2k互相垂直.4 .设 a=2：+j+k, b=i2j+2k , C = 3i4j+2k , 则P <ajb)= c4.过点（2,

3、8且垂直平面x+2y3z-2 = 0直线方程为 10 .曲面方程为：x2 +y2 +4z2 =4,它是由曲线 绕 旋转而成的.c 一 43. m = 一；319 八 x -2 y 2 x -3 9,2912-3210 .曲线上一+ z2 =1绕z轴4. 。1欢迎下载精品文档旋转而成.1.设 a =2-3,1 1b =,-1,3)0 =1-2,0,则(a = b)xC=()A. 8 B . 10C . fo,-1,-1) D , 2,1,213.若 a =6i +3j _2k,b/a,且月=14,则b =()A. ±(12i +6j -4k)B. ±(12i+6jjC . &

4、#177;(12i -4k) D. ±(6j -4k)4 .若 M1(1,1,1),M2(2,2,1),M3(2,1,2),则 M1M 2与M 1M3的夹角中()“冗 -冗-冗rnA. 一 B .一 C .一 D .一6 .求平面x y +2z6 = 0与平面2x + y + z5 = 0的夹角(ji x + y z +1 = 08 .设点Mo(3,-1,2),直线ly,则MO到l的距离为(2x-y + z-4=03 2 D 3 503 5 B C 9.直线xZ2 = _y二3 =三二！与平面2x + y+z = 6夹角为（ 112ooo5A . 30 B . 60 C . 90 D

5、 . arcsin- 61. D 3. A 4 . C 6. C 8. A 9 . D7.求与平面2x-6y+3z=4平行平面，使点（3,2,8）为这两个平面公垂线中点.3 .确定k值，使三个平面：kx3y + z = 2,3x + 2y + 4z = 1, x 8y 2z = 3通过同一条直线.5.求以向量i + j, j + k, k+i为棱的平行六面体的体积.7 .与平面2x+y+2z+5=0,且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程7欢迎下载2210 .曲线J在y z面上的投影方程z = 2 -x - y22z=(x") (y-1)1 .设a=i2j +3k, b=2：

6、+j,c = i + j+ k,则a+处c是否平行1.不平行7. 2x + y+2z = ±23/3； 8 . x2-10z = -25；9 .双叶双曲面;10广一 2_2,_ 一2y +2yz + z -4y-3z + 2=0x = 0练习题选参考答案1 .两非零向量a、b垂直，则有a心=0或Pr j_a = 0;平行则有aMb=0或a =，=b或两向量对应坐标成比例。2 .若a=3i+6j+8k, b =2,则与a , x轴均垂直的向量b =，0,±：,4：。'(x+2)(x-2)2_ zy244在yoz面上的投影曲线方程为：二4：±%：4 +z2x

7、= 0-4-y24投影柱面方程为：土*：4+z2 = ±J4 y2+4。4.xoz面上的曲线2二=1分别绕x轴和z轴旋转所成旋转曲面方程为: 92 z 二 1922y z _1 1495.已知a=-3,0,4, b=0-2,-14,则两向量所成夹角的角平分线上的单位向量为c0b0而6.以点 A(2,0,0) , B (0,3,0) , C(0,0,6) , D(2,3,8)为顶点的四面体的体积06 =1482.1 T T TV=-( ABM AC) AD = -260二计算 y + z_1=01 .求点P(3,6,-2)关于直线L: J的对称点坐标2x-2y-z + 4= 0T T

8、T i j k解：直线L的方向向量：=1父=0 11 =i+2j-2k,2 -2 -1x - -1 t取直线上的定点（-1,1,0）,将其化为参数式：Jy=1+2tz - -2t过点P与直线L垂直的平面为：（x-3）+2（y-6）-2（z+2） = 0 ,x + 2y-2z-19 = 0,将直线的参数式代入垂面方程有t=2,从而点P在直线L上的投影坐标（直线 与垂面的交点）为（1,5,-4）, 设点P关于直线L的对称点坐标为（x, y, z）,则有: 3 x . 6 y 2 z=1,-=5,=-4,解N: x =_1,y =4,z =-62222.设直线L过点M（-2,3,1）且其与y轴相交，

9、与直线L1 :y-11=W垂直,0求该直线方程。解：设L与y轴的交点为N （0,t,0）,其与直线L1垂直，则MN 0 =0= t = 1 ,从而由两点式有直线L的方程为:3 .求直线L:x1=y = 2在平面y+2z-1=0上的投影直线方程。 11-1解：直线L与平面n的交点为（2,1,0）,直线L上的点（1,0,1）在平面元上的投影为（2,则L在殳影直线方程为:x - 2 y -1 _ z3104 .求两平面% : x+2y 2z+6 =0 ,兀2 : 4x y+8z8 = 0所成二面角的角平分面方程。_ 。4欢迎下载解：法一，设P(x,y,z)为所求平面上任意一点，则由题意有:x+2y2

10、z+64x y + 8z 8十22 十(_2)24。(_1产82消去绝对值得 3(2 2y -2z 6) = _(4x y 8z-8)即 7x +5y +2z +10 =0和x -7y +14z _26 =0法二,所求平面过两平面 冗1与冗2的交线，故可设其方程为：4x - y 8z - 8 + ； (x 2y -2z 6) = 0在该平面上任取一点，如令x = y = 0可得z = 3* ,-4然后由点(0,0,亘:4)到两平面的距离相等可解得 入=±3,从而得到所求平面方 -4程。5.设有直线Li和L2的方程分别为：, x 2 y-2 z 9 . x -1 y 6 z 4Li:

11、= =, L2:= =0181212(1)证明L1与L2异面；(2)求两直线之间的距离；(3)求与两直线距离相等的平面方程；(4)求与两直线都垂直相交的直线方程。解：直线L1 , L2上分别有定点 P1 (-2, 2, -9), P2 (1, -6, -4),其方向向量分别为 1 = 0,1,8, 1=1,2,1218(1)由于(s S2) P1P2 =212 =-81 00,所以两直线异面-8 5(2)由于 s1 s2 =j k18 = Yi +8j -k2 12故过L2与L1平行的平面方程为4x-8y+z-48=0 则两直线的距离转化为求点P1到该平面的距离:4x(-2) -8>&l

12、t;2+1(-9) -48G2 +(_8)2 /12(3)由题意，所求平面过线段P1P2的中点P(-1-2-13),其法向量为精品文档,> T&MS2 =di +8j k,15故所求平面万程为设 P(x, y,z) 4x 8y +z =0。2(4)设公垂线为L ,其方向向量"S = Mx：S2 = _4i+8j-k,则：t t i j kL与Li相交所成平面 %的法向量Sixs= 018 =65i+32j-4k,-4 8 -1n1 的方程为 65x +32y -4z +30 = 0 ,k12 = -98i -47j +16k ,-1%与L2的交点(即公垂线与L2的交点)

13、Q(2.-4,8)L与L2相交所成平面 队的法向量1父二=1 2-4 8n2 的方程为 98x +47y -16z +120 =0 ,兀2与L1的交点(即公垂线与L1的交点)P(-2.4,7),15欢迎下载所以，公垂线方程为x 2 y - 4 z - 7这里只是为了理解将两个交点都求出,这样亦可注：实际只需求一个交点即可, 以得到(2)的另一解法。5 .求点P(2,1,5)在直线L:工二 =k1=三上的投影.13-1解：过P(2,1,5)作垂直于已知直线L的平面n ,则其法向量n = (1,3,-1),于是平面的方程为(x2)+3(y1)_(z5) =0,即 x+3yz = 0.x =1 t4

14、将已知直线的参数万程<y =1+3t代入x+3y z =0,可得t =，因此点P(2,1,5)在11z - -t.7 -14直线L上的投影即为平面 口与直线L的交点(木,1,； - -8 一 1).一 , 2x -3y + z =0 _一 口一 , , _6 .求直线Lr y在平面口： 2xy + z = 1上的投影直线的方程.、3x yz 8=0解：设所给直线 L的平面束方程为2x 3y+z+.(3x yz 8) = 0,即 (2 +3，)x (3十九)y十(1 九)z8九=0 ,其中九为待定常数，要使该平面与已知平面 口垂4直，则有2（2+3九）十 （3+九）+（1九）=0 ,解得,

15、将其代入 3（2 +3£）x （3十九）y十（1 九）z8儿=0，可彳导6x+5y _7z = 32 ,因此直线L在平面n上的投影直线方程为6x +5y -7z = 322x y + z = 1 2x + y1=0一. . ，一7 .确定九的值，使直线L: y与平面n：x + ?.y z = 1平行，并求直线L与平x + z - 2 = 0面n之间的距离.i j k解：直线 L的方向向量 n =2 1 0 =i-2 j-k,要使直线 L与平面n平行，只要1 0 1n s =0（其中s = （1,九,1）为平面口的法向量），即12九+1 = 0,解得九=1.令x0=1,代入直线L的方程

16、可得y0 = -1 , z0 =1 ,直线L与平面n之间的距离|1 1 -1 1 1 （-1）| _ ,3.1212（-1）23，一xy+z1 = 08 .求通过直线 L :，的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线2x + y+ z- 2= 0x -1y 1 z -1.2-11解：设平面束方程为 x - y + z-1 +九（2x + y + z - 2） = 0 （2九+1）x+（八一1）y +（九+1）z2九一1 = 0 , n = （2九+1,九一1,九+1）.设平行于直线x -1y 1 z -1.1 ,由 （2九+1）2 （九一1） + （九 +1） = 0 ,可知人=1,令2-

17、11x0 =1 ,代入直线 L的方程，可得 yO = z0 =0平面口1的方程为一（x-1）2y = 0 ,即1x+2y -1 =0.设垂直于平面 口1的平面为n2,由（2九十1）十2（九1） =0,可得 ", 4一_ 335平面 口2的万程为一（x 1） y+z = 0 ,即 6x 3y+5z 6 =0.244x =acos（4）曲线y=asin日（a、b为常数）在xOy平面上投影曲线是z =b90(5 ) xOy平面上曲线4x2 - y 1 -22S =一| AB 父 AC | = - %：2 +2(x1) +1 ,显然，当 x = 1 时，AABC 的面积最小, 2所求点为(1

18、,0,0).x -1 v z -16.求直线L:=1=在平面口： x-y+2z-1 = 0上的投影直线绕 x轴线转一周11-1所成曲面的方程.解：过L作垂直于平面n的平面n0,所求的直线l在平面口上的投影就是平面 口和口 。的ijk交线.平面口0的法向量为：n 0=1 2-1 =i3 j 2k ,则过点(1,0,1)的平面口0的1 -12方程为： =16绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是(4x2 (y2 +z2) =16)(7)方程x2 -z2 =y所表示的曲面名称为(双曲抛物面)(8)与两直线x =2« y = 2 +t 及 z =1 +tz -1一 1都平行，且过原点的平面方程是(

19、x y + z =0)(10)与两平面x+2yz1 = 0和x + 2yz+3 = 0等距离的平面方程为(x +2y z +1 =0 )3.已知点A(1,1,0)和点B(0,1,2)，试在x轴上求一点 C ,使得AABC的面积最小i AbmAC= -ix -1解 ： 设 C(x,0,0), 则 AB=(1,0,2), AC =(x 1,1,0),jk .r r故AAB的面积为02 =2： +2(x -1) +k-1 0(x -1) 3y 2(z -1) =0 ,即 x-3y-2z+1 =0 .所以投影线为'x- y+ 2z -1 = 0x 3y 2z + 1 = 0将投影线表示为以x为

20、参数的形式:1 x 9+-5(5-1)* 2 3,即xy = -2 ，则绕x轴的旋转面的方程为1 xz = -(- -1)2'27_ 2_2 一 2一5x -4x -16y -16z4=0.x -1 y - 2 z - 4 x - 2 y -1 z8.已知两条直线的方程是L1 :二= 土；，L2 :己=2=f ,求过L1且平12-1201行于L2的平面方程.解：因为所求平面过 L1,所以点(1,-2,4)在平面上.由于平面的法向量垂直于两直线的方向1 jk向量，因此平面的法向量为1 2 -1=2 i -3 j -4k .因此所求平面的方程为2 01即 2x-3y -4z 8 =0.2(

21、x-1)-3(y+2)-4(z-4) = 0,一八 x + y + z+1=0 - 一，一一一，一一9.在过直线1 y的所有平面中，求和原点距离最大的平面 .、2x + y + z = 0解： 设平面束方程 为 x + y + z+ 1 +儿(2x + y + z) = 0, 即(2九+1)x +(九+1) y +(九+1)z +1=0,平面与原点的距离为1针(九 +|)2 +333(-00 <t <十多，消去参数t即可.|(2, 1) 0(' 1) 0 ('1) 0 1|lx = t此直线的参数方程为y = -2t ,故该直线绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为z = 3tx2y2 =(t)2 (-2t)2z = 3t,旋转曲面的方程为 x2y2 =-z2912.画出下列各曲面所围立体的图形:(1) 3x+4y+6z=12, x =0, y =0, z =0.(2) 2z = x2 + y2, z =2.(3) z = qx2+y2, z=4-x2-y2