第8讲盈亏问题(五年级教师版)

1、第8讲 盈亏问题盈亏问题又叫盈不足问题，是指把固定数量的物品平均分给固定的对象，因为两种不同的分配标准，导致两种不同的分配结果：一种标准分配后有剩余（盈）；另一种标准分配后不够分（亏或不足）。此类问题，要求通过两种分配结果的比较，求出物品总数量和固定对象的个数。标准的盈亏问题就是两次分配的结果一盈一亏，所以就叫盈亏问题。基本的数量关系是：（盈+亏）÷两种分配标准的数量之差固定对象数量。广义的盈亏问题一般还包括以下四种情况：一、两次分配都有余（两盈）；二、两次分配都不够分（两亏）；三、一次有余，一次刚好够分（盈适足）；四、一次分配不够分，一次刚好够分（亏适足）。 解决盈亏问题

2、常用比较的解题策略：通过两次分配盈亏总额与分配数量的比较，先求出固定对象的个数，再求出分配物品的总数量。此类问题基本数量关系有：    盈适足问题：盈余部分÷两种分配标准的数量之差固定对象数量。    亏适足问题：亏欠部分÷两种分配标准的数量之差固定对象数量。    两盈问题：（盈多盈少）÷两种分配标准的数量之差固定对象数量。    两亏问题：（亏多亏少）÷两种分配标准的数量之差固定对象数量。&#

3、160;   盈亏问题：（盈+亏）÷两种分配标准的数量之差固定对象数量。比较常规的盈亏问题，一般可以直接套用上面的数量关系，解决问题。较复杂的盈亏问题，一般需要先对题中的条件进行适当的转化，将相关问题先转化成典型的盈亏问题，再求解。【例1】“雏鹰小队”的同学们参加植树活动，如果每人栽5棵树，还剩12棵树；如果每人栽7棵，就缺4棵。问这个小队有多少人？一共要栽多少棵树？【解析】： 可以画出线段图帮助理解题意，如下图：观察上图，比较每人栽7棵与每人栽5棵的两种情况，雏鹰小队总人数是不变的。雏鹰小队栽树总棵数多出：124=16（棵）；而每个人多栽：7

4、5=2（棵）；所以小队人数为：（124）÷（75）=8（人）。由小队人数和任意一种栽法，可以求出栽树总棵数：5×812=52（棵）或7×84=52（棵）。【例2】学生春游，租了几条船让学生们划，每条船坐3人，则空2人的位置；如果每条船坐5人，则空出16人的位置，问有学生多少人？共租了多少条船？【解析】：这是两亏问题，每条船坐3人，空2个位置即少2人，每条船坐5人空16个位置少16人，每条船坐5人比每条船坐3人多空出了14个位置，即每条船坐5人比每条船做3人，可以多坐14人。比较两种坐船方案，租船总条数是不变的。可乘坐总人数相差：162=14（人）；每条船乘坐人数相

5、差：53=2（人）；所以共租船：14÷2=7（条）。根据船的条数和任意一种租船方案，可以求出学生人数，如：7×32=19（人）。注：如果解题时，该题需要把题中的一种分配方案进行转化才能化为盈亏问题求解，通常在求题中的第二个未知数时，按另一种分配方案求解比较方便。【例3】：解放军某部调动一批战士分乘一批车辆赶往汛地抗洪。原计划每辆汽车乘32人，则多出5人，他们被安排乘坐在其中的某辆车上，行进中由于紧急任务调走一辆车，这时只好重新安排每辆车乘35人，这样多出7人，他们被安排在其中的某辆车上，问原来共有多少辆车？共派出多少名战士？【解析】：在重新安排时，每辆车35人，少了一辆车，

6、多出7人。如果补上这辆车，可以坐上这7个人，还可以再坐：357=28（人）。所以这个条件可以转化为：仍然是原来的车辆数，每辆车35人，少了28人。转化条件后，比较两种安排乘坐情况，车辆数是不变的。乘坐总人数相差：528=33（人）；每辆车乘坐人数相差：3532=3（人）；所以原来车辆数为：33÷3=11（辆）。再根据原计划乘坐情况，可以求出战士人数为：11×325=357（人）。【例4】：少先队员栽植一批树苗，如果每个队员栽6棵，还剩12棵；如果其中9个小队员每人栽4棵，而其余队员栽8棵，结果缺2棵。问这批树苗有多少棵？参加植树的少先队员有多少人？【解析】：第二种方案中有9

7、个小队员每人栽4棵树苗，假定这9个小队员每人也栽8棵，则需要再添树苗：9×（84）=36（棵）。因此题中条件“如果其中9个小队员每人栽4棵，而其余队员栽8棵，结果缺2棵。”可以转化为：如果所有队员每人栽8棵，就缺少树苗：362=38（棵）。从而把原题转化为盈亏问题求解：少先队员人数为：（3812）÷（86）=25（人）；这批树苗总棵树为：25×612=162（棵）。【例5】：猴子分桃子，如果有2只猴子各分5个，其余的各分3个，则还剩余9个桃子。如果4只猴子各分3个，其余的各分6个，则剩余10个桃子。问猴子有多少只？桃子有多少个？【解析】：第一种分配方案中，有2只猴

8、子各分5个，假定这2只猴子和其余猴子一样也是分3个，在剩余的桃子就多出：2×（53）=4（个）。因此题中条件“如果有2只猴子各分5个，其余的各分3个，则还剩余9个桃子。”可以转化为：每只小猴分3个，则剩余：94=13（个）。第二种分配方案中，有4只猴子各分3个，假定这4只猴子和其余猴子一样也是分6个，则需要再分掉：4×（63）=12（个）。因此题中条件“如果4只猴子各分3个，其余的各分6个，则剩余10个桃子。”可以转化为：每只小猴分6个，则缺少：1210=2（个）。从而把原题转化为盈亏问题求解：共有猴子：（132）÷（63）=5（个）；共有桃子：2×5（

9、52）×39=28（个）。【例6】：陈老师给小朋友分红花和黄花，黄花的朵数是红花的一半。黄花每人分3朵，则多4朵；红花每人分7朵，则少5朵。问有多少个小朋友？共有多少朵花？【解析】： 因为黄花的朵数是红花的一半，即红花的朵数是黄花的2倍。因此题中条件“黄花每人分3朵，则多4朵；”可以转化为：红花每人分6朵，则多8朵。把题目转化成盈亏问题求解：小朋友的个数为：（85）÷（76）=13（个）；共有红花：13×75=86（朵）；共有花：8686÷2=129（朵）。习 题 81.小朋友分苹果，每人分18个，还多出2个；每人分20个，就有一位小朋友没分到

10、苹果，问共有多少个小朋友？共有多少个苹果？2.全班同学分组劳动，每组8人。劳动中觉得每组人数太少，因而重新编组，每组改为12人，这样减少了2组，问参加劳动的学生有多少人？3.在一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃。如果其中2人各擦4块，其余每人擦5块，则余22块；如果每人擦7块，正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数。4.有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完时还剩2个梨，如果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时还剩半个苹果，那么梨有多少个？5.学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差

11、30副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？6.用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米.求绳子长度和井深.习题8解答1.小朋友分苹果，每人分18个，还多出2个；每人分20个，就有一位小朋友没分到苹果，问共有多少个小朋友？共有多少个苹果？【解析】：转化题中条件“每人分20只，就有一位小朋友没分到苹果”，即每人分20个苹果，就少20个苹果。可以画出与上题相似的线段图帮助理解题意，比较每人分20个苹果和每人分18个苹果两种情况，小朋友总人数是不变的。分掉的苹果总数相差：220=22（个）；每人多分：2018=2（个）；所以共有小朋友：22÷2=11

12、（个）。由小朋友总人数和任意一种分法，可以求出苹果总数，如：（111）×20=200（个）。2.全班同学分组劳动，每组8人。劳动中觉得每组人数太少，因而重新编组，每组改为12人，这样减少了2组，问参加劳动的学生有多少人？【解析】：转化题中条件“每组12人，少2组”，即按原定组数分组，每组12人，少了24人。转化条件后，比较第二次编组与第一次编组情况，编的组数没变。总人数增加：12×2=24（人）；每组人数增加：128=4（人）；原定组数为：24÷4=6（人）。再根据第一次分组情况，可以求出学生人数为：8×6=48（人）。 3.在一次大扫除中，老师分配若干

13、人擦玻璃。如果其中2人各擦4块，其余每人擦5块，则余22块；如果每人擦7块，正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数。【解析】：第一种方案中，有2人擦4块玻璃，假定这两人也擦5块，就可以多擦：2×（54）=2（块）。因此题中条件“如果其中2人各擦4块，其余每人擦5块，则余22块；”可以转化为：如果每人擦5块，则余：222=20（块）。从而把原题转化为盈余问题求解：擦玻璃人数为：20÷（75）=10（人）；玻璃的块数为：10×7=70（块）。4.有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完时还剩2个梨，如果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时还剩半个苹

14、果，那么梨有多少个？【解析】：第二分配方案中，半个苹果配2个梨就相当于1个苹果配4个梨，还剩下半个苹果，还需要添2个梨正好配完。因此题中条件“如果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时还剩半个苹果，”可以转化为：如果按1 个苹果配4个梨，就缺2个梨。从而把原题转化为盈亏问题求解：共有苹果：（22）÷（43）=4（个）；共有梨：4×32=14（个）。5.学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？【解析】：因为羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副），最后应余下15×2=30（副），因为14-5×2=4（副），分到最后还差30副，所以比每次分10副总共差30+30=60（副），所以有小组：60÷4=15（组