高考数学专题（四）数学开放性问题怎么解

1、'、了扎第如dr秤尺星柚乳尽我施.胃姜S3http；/*m. trjya coat, cel高三数学专题(四)数学开放性问题怎么解数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向，其解法灵活且具有一定的探索性，这类题型按解题目标的操作模式分为 ：规律探索型，问题探究型，数学建模型，操作设计型，情景 研究型如果未知的是解题假设，那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标，那么就称 为结论开放题;如果未知的是解题推理，那么就称为策略开放题当然，作为数学高考题中的 开放题其“开放度”是较弱的 ，如何解答这类问题，还是通过若干范例加以讲解 例1设等比数列a 的公比为q ,前n项和为Sn，是否存在常数

2、c，使数列Sn - c也成等比数列？若存在，求出常数c ；若不存在，请明理由.讲解存在型开放题的求解一般是从假设存在入手，逐步深化解题进程的.设存在常数c，使数列'Sn - cf成等比数列.2'(Sn c)(Sn 2 c)二(Sn 1 c)-Sn Sn 2 一 Sn 1 =c(2SnS Sn 2(i)当q = 1时，Sn = nai代入上式得n(n +2) -印"n +1 f 丸印(a(n +1) -n (n + 2)】即a12=0 但印=0，于是不存在常数c，使怎飞?成等比数列.(ii)S =a(1-qn)1-q代入上式得2 n-a1 q(1-q)2(1-qnF(F

3、aq -1当前第1页共10页'、了扎第如dr秤尺星柚乳尽我施.胃姜S3http；/*m. trjya coat, cel当前第#页共10页'、了扎第如dr秤尺星柚乳尽我施.胃姜S3http；/*m. trjya coat, cel综上可知，存在常数c = -a，使'Sn - c?成等比数列q 1当前第#页共10页'、了扎第如dr秤元M贰犀删施舷詰*http；/wn. txjy c». cn等比数列n项求和公式中公比的分类，极易忘记公比q = 1的情形，可不要忽视啊！例2 某机床厂今年年初用 98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、

4、保养费用 12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.(1) 写出y与x之间的函数关系式；(2) 从第几年开始，该机床开始盈利(盈利额为正值)；(3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由讲解 本例兼顾应用性和开放性，是实际工作中经常遇到的问题(1) y = 50x -12x耳 4 _ 982-2x2 40x - 98 .(2)解不等式

5、2x2 40x-98 > 0,得10 - .51 v xv 10.51.x N,故从第3年工厂开始盈利(3) (i)y = -2x 40 - 98 =40 -(2x 98) W 40-2.2 98 =12 xxx当且仅当2x 时，即x=7时，等号成立.12X 7+30=114 万元.x到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利2 2(ii)y=-2x +40x-98= -2(x-10 )+102 ,当 x=10 时，ymax=102.故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元.解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具已知函数f(x)=(x

6、<-2)当前第#页共10页'、了扎第如dr秤元M贰犀删施舷詰*http；/wn. txjy c». cn当前第#页共10页'、了扎第如dr秤元M贰犀删施舷詰*http；/wn. txjy c». cn 1(1) 求f (x)的反函数f (X)；求an;设 a1=1, =-f-1(an)( n ",an +设S=a12+a22+, +an2, bn=S+1-S是否存在最小正整数 m使得对任意n N有bn一 成25 立？若存在，求出 m的值；若不存在说明理由.讲解本例是函数与数列综合的存在性问题，具有一定的典型性和探索性(1)T x<-2

7、, x=即 y=f-1(x)= -,41( x>o).丄=42an1an 12an 1 丄是公差为4的等差数列 an/ ai=i,12an4 +4( 41)=4a1n-3./ an>0 ,an=J4n -32(3)bn=S+1 - S=a4n十1由bn<,得2525n>对于n N成立.4n 1当前第3页共10页'、了扎第如dr秤元M贰犀删施舷詰*http；/wn. txjy c». cn25< 5 ,4n 1 n>5,存在最小正数 m=6,使得对任意n N有bn< m成立.251 1为了求an ,我们先求 冷，这是因为冷是等差数列，试

8、问：你能够想到吗？该题是 anan构造等差数列的一个典范.例4已知数列an中,a1 = 1,且点P(an,an1)(n N)在直线x-y+1=o上.(1) 求数列an的通项公式;(2)若函数f(n)1n a1+n a2+n a3+.1 (n N,且n 一 2), n an当前第#页共10页'、了扎第如dr秤元M贰犀删施舷詰*http；/wn. txjy c». cn当前第#页共10页'、了扎第如dr秤元M贰犀删施舷詰*http；/wn. txjy c». cn求函数f(n)的最小值;设bn丄,Snan表示数列b n的前n项和.试问:是否存在关于n的整式g(n

9、),使得当前第#页共10页'、了扎第如dr秤元M贰犀删施舷詰*http；/wn. txjy c». cn当前第#页共10页'、了扎第如dr秤元M贰犀删施舷詰*http；/wn. txjy c». cnSS2SSn4 =(Sn -1) g(门)对于一切不小于2的自然数n恒成立？若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明；若不存在，说明理由.讲解从规律中发现，从发现中探索.当前第#页共10页'、了扎第如dr秤元M贰犀删施舷詰*http；/*m. trjya coat, cel；an - an 1 仁0”"” a<i a 2 +1 = 0,

10、a? _ a 3 1 = 0,an 丄 f an T = 0,以上各式相加，得aan - n -1 = 0, a a1 - n -1 二 n.f( n)=二丄n +1 n +22nf(n 1)=1 1 1+ + +2n 2n 1 2n 2f (n 1)-f(n)=2n 11 1+2n 2 n 11 1+2n 2 2n 2=0.f(n)是单调递增的,故 f(n)的最小值是f (2 .12111；bnsn = 1,n2n1SnSn 丄二 (n 一 2),即 n Sn - (门一 1)SnJ SnJ 1,n(n -1)Sn-(n -2)Snd =Sn/1.2s2 - ® = S| 1,ns

11、n -® = $ 飞卷 川 snn -1,3s2丁'SnJ=nsn-n 二(sn-1)n(n _ 2),. g(n)二 n.故存在关于n的整式g(n)二n,使等式对于一切不小 2的自然数n恒成立.事实上，数列an是等差数列，你知道吗？例5 深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司一一红色出租 车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85唏口 15%据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，并对证人的辨别能力作了测试， 测得他辨认的正确率为 80%于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平

12、吗？试说明理由.讲解 设该城市有出租车1000辆，那么依题意可得如下信息：证人所说的颜色(正确率80%真蓝色红色合计实蓝色(85%680170850颜红色（15%30120150色合计7102901000从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且它确实是红色的概率为120 .0 41,而它290是蓝色的概率为170壯0 59.在这种情况下，以证人的证词作为推断的依据对红色出租车显290 ”然是不公平的本题的情景清新，涉及到新教材中概率的知识，上述解法中的列表技术显示了一定的独特性，在数学的应试复课中似乎是很少见的例6向明中学的甲、乙两同学利用暑假到某县进行社会实践，对该县的养鸡场连续六 年来的

13、规模进行调查研究，得到如下两个不同的信息图：（A） 图表明：从第1年平均每个养鸡场出产 1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产 2万只鸡；（B）图表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年的10个.请你根据提供的信息解答下列问题：（1 ）第二年的养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数各是多少？（2）哪一年的规模最大？为什么？讲解（1）设第n年的养鸡场的个数为 an，平均每个养鸡场出产鸡 bn万只,由图（B）可知，印=30，a6 =10,且点（n,an）在一直线上，（n =1,2,3,4,5,6）,从而 an =34-4n, n = 1,2,3,4,5,6;由图（A）可知,b =1,b6 =2,且点（

14、n,bn）在一直线上，（n =1,2,3,4,5,6）,n + 4于是bn,n =1,2,3,4,5,6;5a? =26（个）,b2=6 *2 （万只），a2b2 -31.2 （万只）5第二年的养鸡场的个数是26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；（2）由 anbn =-2（ n-9）2311 ,当 n = 2时,（anbn） max 二 a2b2 二 31 .2 （万只），544第二年的养鸡规模最大，共养鸡31.2万只.有时候我们需要画出图形，有时候我们却需要从图形中采集必要的信息，这正反映了一个事物的两个方面.看来，读图与识图的能力是需要不断提升的.例7已知动圆过定点 P（ 1，0），且

15、与定直线丨：X = -1相切，点C在I上.（1）求动圆圆心的轨迹 M的方程；（2） 设过点P,且斜率为一的直线与曲线 M相交于A, B两点.（i ）问： ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii ）当厶ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.讲解 本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，是解析几何中的存在性问题.（1）由曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，知曲线M的方程为y2=4x.当前第7页共10页'、了扎第如dr秤元M贰犀删施舷詰*http；/*m. trjya coat, celW ! I" 1 I （2）（ i

16、）由题意得，直线 AB的方程为y=r''3(X 1),由 <y 3 (X )，消 y 得 y2 =4x.2 13x2 -10x 3=0,解出 x1,x2 =3.曰A点和B点的坐标分别为A（1型）,3 3使厶ABC为正三角形，则假设存在点C （- 1, y）, 即有B(3-朋)，w諾|BC|=|AB| 且 |AC|=|AB| ,2j 216(3 也)+(y +2j3) =(§)1 i 2 丄2計)+(r16 216 2由得42 (y 2 3)2)2,因为y二4、3不符合，所以由，组成的方程组无解9故知直线I上不存在点C,使得 ABC是正三角形.（ii）设C （-

17、1，丫）使厶ABC成钝角三角形，y=4x-2 3)乙33由 y 3(x J),得 $ =2. 3. x 7即当点C的坐标是（一1, 2 3 ）时，三点A, B, C共线，故y = 2、. 3.21、2 z 2 3、2|AC| =(-1-3)()2843y2=十 y ?93(i)| BC |2=(3 1)2 (y 2.3)216 2256|AB匕)盲(ii)(iii)=284.3y y2 ,当 |BC|2 | AC |2 | AB|2 ,即 28 4 3y y2284 32y y256. ,92、3时，/CAB为钝角9当 | AC |2 |BC|2| AB |2一加时CBA为钝角.当 | AB

18、|2 | AC|2 -1 BC |2，即 2:一43_2 2 y y :>28 +43y + y 3256,9，即 2569譽子 y2 28 4，y y2，当前第9页共10页'、了扎第如dr秤元M贰犀删施舷詰*http；/*m. trjya coat, cel即y2十¥；3y十纟0 (y+三)2 £0.该不等式无解，所以/ ACB不可能为钝角.3 '3',3故当 ABC为钝角三角形时，点 C的纵坐标y的取值范围是103十 2晶一c匚、y 3 或y(y 2 .3).需要提及的是，当厶ABC为钝角三角形时，钝角的位置可能有三个，需要我们进行一一 探

19、讨例8已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数， 且对于任意的a, b R都满足关系式f (a b) = af (b) bf (a).(1 )求 f (0), f (1)的值；(2) 判断f (x)的奇偶性，并证明你的结论；(3) 若 f(2) =2,Un 二 f (2)(n N )，求数列-的前 n 项的和 S.n讲解本题主要考查函数和数列的基本知识，考查从一般到特殊的取特值求解技巧(1 )在 f (a af (b) bf (a)中,令 a = b = 0,得f (0) = f(0 0) =0 f(0) 0 f(0) =0.在 f (a b)二 af (b) bf (a)中,令 a = b

20、= 1,得f (1 f (1 11 f (1)1 f (1)，有 f(1) =0.(2) f (x)是奇函数，这需要我们进一步探索.事实上f(1) f 1)2 f(1) f (1)=0,f(-1)=0,f (-x) = f ( -1 x) = - f (x) xf ( -1) = - f (x),故f(x)为奇函数.(2) 从规律中进行探究，进而提出猜想.由f(a2) =af(a) af(a) =2af(a),f(a3) =a2f(a) af(a2) =3a2f(a),5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5猜测f (an)二 nan 4 f (a).于是我们很易想到用数学归纳法证明.1

21、 ° 当 n=1 时，f (a1) =1 Q0 f (a)，公式成立；kk 1°假设当n=k时，f(a ) = ka f (a)成立，那么当n=k+1时，当前第11页共10页'、了扎第如dr秤元M贰犀删施舷詰*http；/*m. trjya coat, cel当前第#页共10页'、了扎第如dr秤元M贰犀删施舷詰*http；/*m. trjya coat, celf(ak41) =akf (a) +af(ak)k) = ak f(a) kak f (a) = (k 1)ak f (a)，公式仍然成立.综上可知，对任意n N, f (an)=nan - f (a

22、)成立.从而=d)n 丄.fd).2 2一 1 f (2) =2,f (1) = f(2 ) =2f 2Un 二丄(2) =-!42冷口-故 Sn =2吩)n1 1()f(2) =0,2 2Un 二(-丄)(1)n(nN),.2 21J-1(nN).例 9 若 a10 、 a12an (n = 1,2,.,)1 an(1)求证：a n 1 = a n ；令a12，写出 a 2、a 3、a4、a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an ；证明:存在不等于零的常数 P，使an P是等比数列，并求出公比q的值.讲解从而a n故an 1a1an(1)采用反证法.若an -an，即2an1 an解得

23、 an =0,，.0,1与题设a10 ,a11相矛盾,(3)因为所以(2a n成立.a32n 4 1 an 1 P _ (2a3a41617p)an2 ana n -1亠，P - 2q)an p(1 - 2q) =0 ,因为上式是关于变量 an的恒等式，故可解得=-1 .我们证明相等的问题太多了 ，似乎很少见到证明不相等的问题例10如图，已知圆 A、圆B的方程分别是 x 2 2 y2,是这样吗？哼 X，y2当前第13页共10页'、了扎第如dr秤元M贰犀删施舷詰*http；/*m. trjya coat, cel圆P与圆A、圆B均外切，直线l的方程为：xua'a1 i.I2丿1(1) 求圆P的轨迹方程，并证明：当 a 时，点p到点b的距离与到定直线I距离2的比为定值；(2) 延长PB与点P的轨迹交于另一点 Q求PQ的最小值；(3) 如果存在某一位置，使得 PQ的中点R在I上的射影C,满足PC _ QC,求a的 取值范围.51