高等传热学相变导热解(移动边界)

1、高等传热学导热理论一一相变导热(移动边界问题)讨论 第五讲：相变导热(移动边界问题)：移动边界的导热问题有许多种，本讲只讲固液相变时的导热模型5.1相变换热特点与分类：特点：(1) 相变处存在一个界面把不同相的物质分成两个区间(实际不是一个面, 而是一个区)。(2) 相变面随时间移动，移动规律时问题的一部分。(3) 移动面可作为边界，决定了相变问题是非线性问题。 分类：(1) 半无限大体单区域问题(Stefan Question(2) 半无限大体双区域问题(Neumman Question)(3) 有限双区域问题5.2相变导热的数学描述和解：假定：固液两相内部只有导热，没有对流(适用于深空中相

2、变)物性为常量。不考虑密度变化引起的体积变化。控制方程：对固相：2 2 丄二一对液相：丄3 一”asxal .1: x初值条件:"：ts ¥ =t:;边界条件:X =0 ：tsortl =twx =°0 : t| ort s 鼻血 orx = : t|ort s =t在相变界面，热量守恒，温度连续，Qi为相变潜热：匸a乱內丄门 d 6(®x =()： $| _' lQ land ts = L = t pcXcXd T5.2.1半无限大体单区域问题(Stefan Question的简化解：以融解过程为例：-2忽略液相显热，丄丛 _t2- =o，方程

3、解为一直线，由边界条件得: al cTcX=tw ' (tp -tw)X/对固相，忽略温差：tw二tp，即固相温度恒等于相变温度等于初始温度。由相变处得换热条件求S的变化规律：x-?lQld、（）dxd、（.）d .j. =2a|C| （tw -tp）./Q|=.,2ai. Stei式中：Stei =c(tp tw)/Qi叫Stefan' Number,物理意义是相变时液相显热和液固潜热比。液体厚度与时间的开平方成正比。所以:进入物体的融解热流密度为：S后Stwtp)'热流密度与时间的开平方成反比。5.2.2半无限大体单区域问题(Stefan Question的精确解：

4、同样以融解过程为例：2对液相，丄 孑，设方程解为(满足初始条件)：a| 去 ex1= A Berf (x / . 4al.)由边界温度条件得：二erf (x/"”)tp -tw erf4alT)由相变处得换热条件求对固相，忽略温差：tw =tp，即固相温度恒等于相变温度等于初始温度。S的变化规律，设 0=6 / J4aj叫凝固常数，液体厚度也与时间的开平方成正比。x =、（.）l 丄 I Qi dxlPlQlyn2.(tp -tw)=0二 exp()erf (')al.i .Jexp(')erf(.】)=(tw -tp)/(、二 gal) = Stel /、.二上式是

5、关于凝固常数的方程，叫相变问题的特征方程。进入物体的融解热流密度为:=0：=(twtp)，热流密度同样-?.； ： alerf )与时间的开平方成反比。5.2.3半无限大体双区域问题(NeummanQuestior)的精确解: 同样以融解过程为例：对液相，设方程解为(满足初始条件)：al ct exti =tw Aerf (x/4ai .)由边界温度条件得：勺二3 erf （x/4a）wtp -twerf (、； / ； 4al .)A 二erf(、/ ,4ai .)对固相，as CT21认 二，设方程解为（满足初始条件） jxti 二 t： Berfc (x/4as )由边界温度条件得：tp

6、ts a _ erfc(X/J4asl) B _7： erfc (、/. 4as )erfc (、 / * 4a$.)tp t:由相变处得换热条件求S的变化规律，设门/.4a|叫凝固常数，液体厚度也与时间的开平方成正比,:+x = J. （.）:！亠林 Q ex得相变问题的特征方程：:ti；xA £ eg Ju a iti =tw Aerf (x/4ai .)ti =tw Aerf (x/4ai .)：ts；:x2' (t p - tw )p述 exp( 11 )erf (I 】)；al .冬(t _t jI (tw " t p-二 exp( J'：； j

7、)erfc (: I 】)_'as -)/ al g _(tp -t：J/ Vl”Ql _-22电1 exp 1 ) erf (门)1 exp 1 )erfc (门)steStes 一：匚/ 几2 2Upe )erf (门) 门 exp(门)erfcC)进入物体的融解热流密度为:-Ct| q = i 一:Xx 20:=(twtp)，热流密度还是: al . erf 1)与时间的开平方成反比。5.2.4非线性问题求解方法总结：对非线性问题，直接求解难度大，一般是进行适当简化，在简化基础上构造一个满足大多数唯一性条件的，保留部分待解常数的解函数。将这个解函数代入 余下的唯一性条件，求出待解

8、常数，即为近似解或精确解。5.3关于湖水结冰问题的讨论：几何条件假定：湖面很大，也很深，看成半无限大体。换热条件假定：结冰前湖水均温，为 ，湖水主体温度一直保持18。大气环 境温度为ta，湖面与大气间的表面传热系数为常量 hl,冰层下表面与湖水间的表 面传热系数也为常量h2。物性假定：因为在0C附近，冰的比热CsQ|，忽略冰层热容作用。由此可 得在冰层中的温度分布为直线。tp -ta设坐标原点在湖面，冰层厚度为 S，我们根据能量守恒和平壁导热规律得：（1）= h2（G tp） +PsQl 157/（-d .冰层温度分布:丸-（tp -tw）x/ J.Fom = t： - tp / tp -1S

9、te s = c s 1.1 p - ta / Q12 r ,2Fo = h1/ I. ： sC S . S = a s*. / . S / h1：|'sd、d、.=mR -代入(1) 式:h1 t p - ta1 mR（1、.）tp -tad .=0 1 . = 0, t s = t ： -,、： = 0 j. = 01d d -1 -mR（1 、.）_ 12 -.二 0.5 du /（1mR、u）1.= - - l n1 mR、 /（1 一 mR） / mR = f （ mR ,、）讨论：当 7 , :-max > 1-mR /mR。mR 定时，冰层的最大厚度也就确定。此时湖水对冰层的自然对流热流量等于湖面对大气散发的热流量，湖水凝结停 止。2当tp > mR =0，湖水比热无穷大，21 -11-1此种情况冰层没有极大值，可一直增厚。即：=(* 2Cs(tp -ta)h；. / LsCsQl -1)。当mR =1 ，冰层得到的热流量等于散出的热流量，.一_cln ： c =0, 一 =，此种情况由于厚度不能为负值，故不会结冰，尽