高等数学教案ch定积分的应用

1、高等数学教案§6定积分的应用第六章定积分的应用教学目的1、理解元素法的基本思想；2、 掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)。3、 掌握用定积分表达和计算一些物理量(变力做功、引力、压力和函数的平均值等)。 教学重点：1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。教学难点：1、截面面积为已知的立体体积。2、引力。§6, 1定积分的元素法回忆曲边梯形的面积：设y=f (x) _0 (x a b).如果

2、说积分.A = ：f (x)dx是以a b为底的曲边梯形的面积.则积分上限函数A(x)二：f(t)dt就是以a x为底的曲边梯形的面积而微分dA(x) f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值.：A f (x)dx f (x)dx称为曲边梯形的面积元素以a b为底的曲边梯形的面积 a b为积分区间的定积分：A就是以面积兀素f(x)dx为被积表达式.以A = ：f(x)dx ,一般情况下.为求某一量 U .先将此量分布在某一区间a . b上.分布在a . x上的量用函数U(x)表示.再求这一量的元素 dU(x) 设dU(x) =u(x)dx .然后以u(x)dx为被积表达式.以

3、a . b为积分区间求定积分即得U = f f (x)dx ,用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).§6,2定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1 直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y斗下(x)及左右两条直线x=a与x龙所围成.则面积元素为f上(x) f下(x)dx .于是平面图形的面积为S=f上(x)f下(x)dx ,类似地.由左右两条曲线 x二左(y)与x二右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成设平面图形的 面积为dS = c右(y)-左(y)dy .例1计算抛物线y2=x、y承2所围成的图形的面积，解画图(2) 确定在x轴上的投影区间:0 .

4、1,确定上下曲线:f上 (X)=iX, f下(x) =x2 ,(4)计算积分例2计算抛物线y2=2x与直线y=xV所围成的图形的面积.解画图.(2) 确定在y轴上的投影区间：2. 4,(3) 确定左右曲线:左(y)=*y2, '右(y)二y 4 ,(4) 计算积分S 二；(y 4-*y2)dy =2y2 4y -訂3巳=18 .例3求椭圆电址=1所围成的图形的面积.a2 b2解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍.椭圆在第一象限部分在x轴上的投影区间为0 a.因为面积元素为ydx .所以S =4 ；ydx .椭圆的参数方程为：x -a cos t y b sin t .sint

5、d (acost)0 = /ab -sin2tdt =2ab ；(1 _cos2t)dt =2ab 2 =ab 二,2 极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素：由曲线二')及射线v - U - -围成的图形称为曲边扇形，曲边扇形的面积元素为dS=2【Ol2d 寸.曲边扇形的面积为S 二 g仁)处.例4计算阿基米德螺线(a >0)上相应于二从0变到2二的一段弧与极轴所围成的图形的 面积，解：s胡但子心*2尹2二寺2二3 ,例5.计算心形线T(1 8SR (a>0)所围成的图形的面积.解：S=20 "2a(1 cos v2d v -a2 0(2 2cos j 2cos

6、2v)d j=a2p| 2s i n *s i 吐0 =詐2二，二、体积1.旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做旋转轴.常见的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球体，旋转体都可以看作是由连续曲线y# (x)、直线x=a、a=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，设过区间a b内点x且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x).当平面左右平移 dx后.体积的增量近似为 *vf (x)2dx .于是体积元素为2dV 八f (x) dx .旋转体的体积为V =Rf(x)2dx .例1连接坐标原点 0及点P(h r)的直线、直线x=h及x轴围成一

7、个直角三角形将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这圆锥体的体积，解：直角三角形斜边的直线方程为y二丄x .h所求圆锥体的体积为=：二(hx)2dx 二菲畀 3_,h 1.2空 X o =3 二hr例2 .计算由椭圆 写写=1所成的图形绕X轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积 a2 b2解：这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆y 3 .a2 -x2a及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体，体积元素为2dV 二二 y dx .于是所求旋转椭球体的体积为2 2ab/22b213,42V = a 2(a -x )dx 2a x x ab .aa33例3计算由摆线x=a(t-sin t

8、) .y=a(1-cos t)的一拱.直线y=0所围成的图形分别绕 x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积，解所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为Vx = ： a:y2dx =二:a2 (1cost)2 a(1 cost)dt=a3 0 (1 3cost 3cos21 cos3t)dt=5r : 2a.设曲线左半边为x=x1(y)、右半所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差 边为X=X2(y).则2a 2Qa2Vy 二 0 % (y)dy - 0 n (y)dy二二 2_a2(t -sin t)2 asintdt j恵 o a2(t sint)2 asin tdt_ 3 i2応“

9、丄2 丄亠3 3=-a (t sint) sintdt =6 . a2 平行截面面积为已知的立体的体积设立体在x轴的投影区间为a .b.过点x且垂直于x轴的平面与立体相截.截面面积为A(x). 则体积元素为A(x)dx .立体的体积为V = fA(x)dx ,例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心并与底面交成角计算这平面截圆柱所得立体的体积解：取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴.底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴那么底圆的方程为x 2 y 2=R 2 .立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形两个直角边分别为R2 -x2及、. R2 -x2 tan ,因而截面积为A(x) =；

10、(R2 -x2)tan:，于是所求的立体体积为V =；丄(只2x2)ta n : dx =1- ta n : R2x-x3 ,R3 ta n:,2233例5 .求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积解：取底圆所在的平面为 xOy平面.圆心为原点.并使x轴与正劈锥的顶平行,底圆的方程 为x 2 y 2采2,过x轴上的点x (-R<x<R)作垂直于x轴的平面.截正劈锥体得等腰三角形 .这截面 的面积为A(x)二 h y 二 hi R2x2 .于是所求正劈锥体的体积为Vh、. R2 -x2dx =2R2h 02coSjdv“：R2h .三、平面曲线的弧

11、长设A B是曲线弧上的两个端点.在弧AB上任取分点 A=Mo ,M1.Mij .Mi . Mnd .Mn田.并依次连接相邻的分点得一内接折线.当分点的数目无限增加且每个小段 Mi/Mi都缩向n一点时.如果此折线的长'JMi4Mi|的极限存在.则称此极限为曲线弧AB的弧长.并称此曲线id：弧AB是可求长的，定理光滑曲线弧是可求长的.1 直角坐标情形设曲线弧由直角坐标方程y#(x) (a»_b)给出.其中f(x)在区间a b上具有一阶连续导数，现在来计算这曲线弧的长度，取横坐标x为积分变量.它的变化区间为a . b,曲线y=f(x)上相应于a . b上任一小区间xx dx的一段弧

12、的长度.可以用该曲线在点(x . f(x)处的切线上相应的一小段的长度来近似代替.而切线上这相应的小段的长度为(dx)2 (dy)2 = .1 y 2dx .从而得弧长元素(即弧微分)ds = 1 y 2dx .以.1 y 2 dx为被积表达式.在闭区间a b上作定积分.便得所求的弧长为在曲率一节中.我们已经知道弧微分的表达式为ds = Ji + y "2 dx .这也就是弧长元素，因此3例1 .计算曲线y =| x至上相应于x从a到b的一段弧的长度.1解：y丄x2 .从而弧长元素ds = $1 十 y "2 dx = Ji +xdx ,因此.所求弧长为b|J|S 二昇 1

13、 Xdx 二|(1 X)2：話(1 b)2 一(1 a)2.例2 计算悬链线y二CChf上介于Xi与X"之间一段弧的长度解：y'shx .从而弧长元素为cds = 1 sh2 xdx 二ch x dx .Vcc因此.所求弧长为s =；chgdx =2 0ch c dx =2cshg dxb =2csh"b ,2.参数方程情形设曲线弧由参数方程x二、yi(t) (T匸)给出.其中:(t)、匸(t)在r 上具有连续导数因为 史二.dx*(t)dt .所以弧长元素为dx 申(t)d?Vr(t)dr；CP'(t'(t)dt，If ® 2 (t)所求

14、弧长为s扌絆2(t) =2(t)dt .例 3 计算摆线 xa(vsinf y -a(1 -cosf 的一拱(0 - -2 -)的长度解：弧长元素为j ； 日ds = a2(1 -cos)2a2 sin2- a . 2(1 -cos)d- 2asin d-.2所求弧长为s=o 2as in 号 d v -2a-2cos|2 =8a3 极坐标情形设曲线弧由极坐标方程U(v) (nW )给出.其中r(7)在:：上具有连续导数，由直角坐标与极坐标的关系可得xJGcos ：1. y = J(7)sin 丸:_二_：), 于是得弧长元素为ds£x 2(r) y¥)d F2(r)2e)

15、dd .从而所求弧长为s“2少dr .例14 ,求阿基米德螺线 =av (a>0)相应于v从0到2二一段的弧长， 解：弧长元素为ds = a2 / a2 dr - a . 1 j2 dr .于是所求弧长为s = JaJl +02d日=号2兀Ji +4兀2 +ln(2兀 +、“ + 4兀2 )重庆三峡学院高等数学课程建设组高等数学教案§6定积分的应用§6.3功水压力和引力、变力沿直线所作的功例1把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点 0处.它产生一个电场，这个电场对周 围的电荷有作用力，由物理学知道.如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点0为r的地方.那么电场对它

16、的作用力的大小为F（k是常数）r当这个单位正电荷在电场中从r =a处沿r轴移动到r=b（a<b）处时.计算电场力F对它所作的功例电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点0处它所产生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从r=a处移动到r=b（a<b）处求电场力对单位正电荷所作的功，提示：由物理学知道.在电量为+q的点电荷所产生的电场中.距离点电荷r处的单位正电荷 所受到的电场力的大小为F（k是常数）.r解：在r轴上.当单位正电荷从r移动到r+dr时电场力对它所作的功近似为r即功元素为dW=k鸟dr .于是所求的功为W = 72dr 二kq-；】a =kq（； _）例2.在底面积为S的圆柱形容

17、器中盛有一定量的气体.在等温条件下.由于气体的膨胀.把容器中的一个活塞（面积为S）从点a处推移到点b处.计算在移动过程中.气体压力所作的功.解：取坐标系如图.活塞的位置可以用坐标x来表示.由物理学知道.一定量的气体在等温条件下.压强p与体积V的乘积是常数k .即pV =k 或 p 解：在点x处.因为V=xS.所以作在活塞上的力为kkF p S S .xSx当活塞从x移动到x dx时.变力所作的功近似为 kdx .x 即功元素为dW =kdx .x于是所求的功为W =fkdx 球In x? =klnb ,a xa高等数学教案§6定积分的应用例3 . 一圆柱形的贮水桶高为5m底圆半径为3

18、m .桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解：作x轴如图，取深度x为积分变量，它的变化区间为0.5.相应于0 . 5上任小区间xx dx的一薄层水的高度为dx，水的比重为 9 8kN/m3.因此如x的单位为 m.这薄层水的重力为29 8二3 dx .这薄层水吸出桶外需作的功近似地为dW=88 2 二 xdx此即功元素，于是所求的功为W = ：88.2xdx =88.2二写0 =88.2二竽(kj).二、水压力从物理学知道.在水深为h处的压强为ph .这里是水的比重.如果有一面积为 A的平板水平地放置在水深为 h处.那么.平板一侧所受的水压力为P中A如果这个平板铅直放置在水中.那么.由于水深不同的点处压强p不相等.所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算，例4 .一个横放着的圆柱形水桶.桶内盛有半桶水，设桶的底半径为 R.水的比重为.计算桶的一个端面上所受的压力.解：桶的一个端面是圆片.与水接触的是下半圆，取坐标系如图，在水深x处于圆片上取一窄条.其宽为dx .得压力元素为dP =2 x R2 -x2dx .所求压