高等数学公式手册

1、衣等救学复习心瓦高等数学公式衣等救学复习心瓦衣等救学复习心瓦导数公式:(tgx)r = sec2 x(ctgx)' = - esc2 x (secx)' = secx tgx (esc x)" = -cscx etgx (ax)r= axliiaCo§ax)，= -xni a(aicshi x)r =17i- x2(aiccos x)，=(yll-lC(aretgx)'=1l+x:(arcctgx)1 =-11+x2基本积分表：| taxdx = - hi |cos x|+ C j ctgxclx = hi|siii x|+C jsec xdx= h

2、i |secx + tgx| + C| esc xdx = hi |csc x- etgx + C J 严？=丄 aictg 兰+CJ a + x- a a 舟加自+C=fsec2xdx= tgx+CJ COS-X Jxdx= 一 ctgx+ Cjsecxtgxdx= secx+ Cesex ctgxdx = - esc x+ Chi+C2a a - xdxx 厂，=arcsui + C afaxdx= +Chi aj slixdx= clix+ Cj dixdx = slix + Cf 严 r = ln( x + 7x2 ± a2) + CJ Vx3± a2衣等救学复习心

3、瓦三角函数的有理式积分:1-U2cosx=片1 + irdx =2 du1 + u2衣等救学复习心瓦衣等救学复习心瓦第1页共15页衣等救学复习心实两个盍要极限:一些初等函数:第2页共15页衣等救学复习心实第#页共15页衣等救学复习心实双 |11| 正弦：S11X =2ex +双曲余弦:clix =2双曲止切:tlix= = 4clix e +esinxXTO Xlim(l+-)x = e= 2.71828182849045.XT8 x第#页共15页衣等救学复习心实arsiix = hi(x+ vx2 +1) arclix = ±ln(x+vx2-l) artlix = hi 匕兰21

4、- x三角函数公式: 诱导公式：第#页共15页衣等救学复习心实数角八、sincostgctg(X-smacosa-tga ctga90°-acosasinactgatga90°+acosa-sma-ctga-tga180°-asma cosa-tga-ctga180°+a-sma-cosatgactga270°-a cosasmactgatga270°+a-cosasina-ctga-tga3605smacosa-tga-ctga360°+asmacosatgactga和差角公式:和差化积公式:第#页共15页衣等救学复习心实

5、siii( a± /?) = sin a cos 0 ± cos a sin 0 cos(a 士 P) = cos a cos /? + sin asiii psin a + sin 0 = 2 sincosa-p2tg(a±0) =tga 士 tg/?l+tgatg/?如5驚鬱.n =a+/3 . a-psni - sui p = 2 cossni2 2存、a + /3a-pcos a + cos p = 2cos cos2 2cos a - cos/J = 2 siiia-p2第3页共15页衣等救学复习心实倍角公式:siii 3a = 3siii a-4sin

6、3 asin 2<z = 2 sin a cos acos 2<z = 2 cos2 a-l = l-2sn2 a= cos2 a - siii2 a第4页共15页衣等救学复习心实ctg2a =ctg2a-lcos 3a = 4 cos3 a - 3 cos a2ctgatg2a =2tgal-tg%tg3a =3tga-tg3al-3tg2(z第#页共15页衣等救学复习心实第#页共15页衣等救学复习心实半角公式:第#页共15页衣等救学复习心实 a 1-cosa叮±-a 1- cosa 1-cosa sin atg = ± =2V1+ cosa sin a 1

7、+ cosaa b c正弦定理：=2Rsill A sin B sin Ca 1 + cosa cos= ±J2 V 2a 11+ cosa 1 + cos a sin cl ctg = ± =2 vl-cosa siii a 1- cosa余弦定理：c3 = a2 +b2 - 2abcosC第#页共15页衣等救学复习心实第#页共15页衣等救学复习心实反三角函数阪arcsn.x-arccosxarctgx = y- arcctgx第#页共15页衣等救学复习心实第#页共15页衣等救学复习心实高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz)公式:(UV)(n)=工 C：uWk)v(k)k

8、=0=u(n)v+ miZ)v' + + U(n-k)v(k) + + uv(n)2!k!中值定理与导数应用：拉格朗I I中值定理：f(b)- f(a)= f(b-a)柯西中值定理：WK学F(b)-F(a)F©当F(x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗II中值定理。曲率：第5页共15页弧微分公式：ds = J1+ ydx,其中y' = tga平均曲率:K = |.Aa:AM点到M'点，切线斜率的倾角变化最As： MM Wo M点的曲率：K=Hm 纠芈J刃一.As| | ds |7（1+/2）3肖线：K = O;半径为a的圆：K = -.a定积分的近似计算：矩

9、形法J f(x)« (% +力+仏1)In梯形法寸 f(x)« 口£(% + %)+% + + yn-il.112b h抛物线法寸 f (x)« -(y0 + yB) + 2(y2 + y4+-+yn_2) + 4(y1 + y3+ + yR定积分应用相关公式:功：W = F s 水压力：F = pA引力：F件,k为引力系数函数的平均值:K均方根:空间解析几何和向代数:空间2点的距离：d = IM1M2I 二(卷-比)2 + & - yj? + (z? - zj 向量在轴上的投：PrjuAB=忑cos®咙乔*轴的夹角。Pr ju伍+ a

10、2) = Pi 阿 + Pr ja2a b = |a|- b cos&= axbx + ayby + a2b2»个数量,第7页共15页两向帚:之间的夹角：cos gq+ayby + GSa2,|c| = |a|-b sill 0.例：线速度:v = wxf.ax a/ 向量的混合积:abc=(axb)c= bx bycx Jb, = a xb -|c I cos a, a 为锐角时,Cz代表平行六面体的体积o平面的方程：1、点法式：A(x- Xq) + B(y- y0) + C(z- Zg) = 0,其中n = AB,C,M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By +

11、Cz+D = 03、截距世方程:-+ +- = 1 a b c平面外任意一点到该平面的距离：d=曲严+5+珂>/a2 + b2 + c2空间直线的方程：111x-Xq _ y_y()_ z_Zqn Px = Xq + mt=t,其中® = m,n, p;参数方程訂y= y0 + ntz=Zo+pt:次曲面:22 j1、椭球面吞+舌+勺=1jc lr cr>r2、抛物ffi：+r=z,(p,q|«J号)2p 2q3>双山面：单叶双曲面:+卑-二=1jt lr c双叶双曲而:一芻+“（马鞍面）犷 lr c多元函数微分法及应用第8页共15页全微分：dz=一dx+

12、一dydii = dx + dy+ dzdx. dydx. dy dz.+al¥全微分的近似计算：Az« dz= fx(x,y)Ax+ fy(x,y)Ay 多元复:合函数的求导法: Z= fu(t),v(t) 千z= fu(x,y),v(x,y)当u = 11(3), v = v(x, y)时，diAidvdvdu = dx+ dydv= dx+ dydx.dyc)xdy隐函数的求导公式：隐函数方程纽F（W，v）"G（x,y,u,v） = OOFOF0(F,G) dvFu玖0(u,V)OGdGG. Gvdv9 F %G)0微分法在几何上的应用:i o(f,g) 亍

13、 0(u,x)1 O(F,G) t C(uy)x=t）空间曲线* y=必）在点“（Xo，%,%）处的切线方程:Z = 69（t）X_Xp0(t。)y-y。_ z-Zp0(t°)0(t°)隐函数 F(x,y) = O,=,Fx9dy.岭（华）+舟（号）弓dx%cbrdx. Fy cy Fv dx隐函数 F(x,y,z) = O,=Fx9dz片Fz第9页共15页第#页共15页在点M处的法平而方程：0(to)(x- Xq) + /(to)(y- y0) + 少(t(z- Zq) = O若空间曲线方程为:鑒刖訥切向略FyG.F第#页共15页曲面F (兀 y, z) = 0上一点M

14、(Xq , y。, Zg),则:1、过此点的法向最：n = Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,Zo),Fz(x0,y0,z0)2、过此点的切平面方程:FJXo.yZoXx-xjJ) + Fy(jq),y0,z0)(y- y0)+Fa(x0,y0,z0)(z-) = 03>过此点的法线方程:x-Xq _ y-y° _ Z-Zp玖铤，%）尸卩区矶金）FXoyZo）方向导数与梯度:函数z= f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向1的方向导数为:=cos+ sin (p cK cbcdy其中0为册倒方向1的转角。函数z= f(x, y)在一点p(x,y)的梯度：21 adf

15、(x, y) =f + Jox dy它与方向导数的关系是：= grad f(x,y) e.其中e = cosp f + siii J*为1方向上的d单位向量。各是gradf(x,y)在1 I：的投影。a多元函数的极值及其求法：设匚(心)=匚“0)= 0令：A fxy(心 y°)=B.人，>0时,产0'(")警牡 lA>O,(Xo，yo)为极小值 则:< AC-B2 <0时，无极值AC_B、0时，不确定* f (x,y)dxdy= j| f (i cos&,r sin &)rdrd& DD曲而z= f(x,y)的而积A=

16、 JJ重积分及其应用:dxdy” HOjfyp(x,y)dcT=L= M jjp(x,y)daDjw(x,y)d<r 平面薄片的重心：只=些=,M |j p(x.y)daD平而薄片的转动惯暈：对Tx$|IlIx = JJy>(x,y)dcr, 对TyIy = JJx>(x,y)d<r DD平面薄片(位J-xoyf |fii)对却I上质点M(0,0,a),(a >0)的引力：F = Fx,Fy,F2,其中:fx = qj °(x，y)xdj d (x2 + y2 + a2)2柱面坐标和球面坐标：f厂出p(s)yd葺 d (x2 + y2 + a2)2严&q

17、uot;JJ P(x,y)xdd (x2 + y: + a2)2第10页共15页x=rcos°柱而坐标: y = r siiijfj f (x,y,z)dxdydz = JjjF (r,z)r±diz,z=zQQ其中:F(i,8,z)= f(rcos8,r sin &,z)x = r siii 0cos&球而坐标彳 y = r siii </>shi 0.dv = rd rsiii(p-66 di = r2 siii(pd(pdOz = r cos cpn *90)重心:"訓转动惯量:Ix = JJJ(y2 + z2)pdv,Q其中 M

18、 = X= JJJpdvQIz = JJ/(x2 + y2)pdvQ| f(x,y,z)dxdydz= | F(r,)r2siii qd(pA0= d0 d(p | F(r,似&)厂 sin 沁 QQ000Q1VX Q1VX QIy = Jff(x2 + z3)pdv,曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：设f（x,y）在L上连续，L的参数方程为：x=必），（a<t "）,则: IY= 0"）x= t尸处)flj f(x,y)ds = J f 仅 t), p(t) J0 "t) + © J (t) dt (a < p)特殊惰况

19、:La第11页共15页第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：设L的参数方程为F电?,则：ly=0(t)fiP(x,y)dx+ Q(x, y)dy= jP傾 t), p(t)0(t) + Q傾 t), p(t)“ (t) dt La两类曲线枳分Z间的关系寸Pdx+ Qdy = J(Pcosa+ Qcos0)d&其中分别为 LLL上积分起止点处切向量的方向角。格林公式:JJ (譬-爭 dxdy = Jpdx+ Qdy 格林公式:JJ (警-賽)dxdy = Jpdx+ Qdy D ox cylD ox qyl当P = -y,Q = x, B|J： - =得到D的而积：A= jjdxdy= |

20、xdy- ydxdx 刖D 2 L平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域;2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且耍=$。注意奇点，如(0,0),应 ox dy减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积:在坐=逻时，Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中: Ox dy(x,y)u(x,y)= Jp(x,y)dx+Q(&y)dy,通常设Xq = y0 = 0o曲面积分：对面积的曲面积分:Jl f(x,y,z)ds= j| fx,y,z(x,y)Jl + z：(x,y) + z；(x,y)dxdySD亨对处标的曲面积分：| P(

21、x,y,z)dydz + Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：EjR(x,y,z)dxdy = ± Rx,y,z(x,y)dxdy,取曲面的上侧时取正')；ZD期J|P(x,y,z)dydz = ±”Px(y,z),y,zdydz,取曲面的前侧时取lE v：SDrJjQ(x,y,z)dzdx = ±JjQx,y(z,x),zdzdx,取曲面的右侧时取lE 号。力Ddy = |j(P cos a + Q cos p + Rcos/)ds两类曲而积分Z间的关系寸| Pdydz + Qdzdx + Rdxzz高斯公式:fff(+ )dv=

22、Pdydz4-Qdzdx + Rdxdy = if (P cosa 4- Q cos p4- Rcosy)dsdx dy dz 主s高斯公式的物理意义通量与散度： 散度：伽$ +爹+穿，即：单位体积内所产生的流体质量，若divXO,则为消先.ox dy dz通量寸J A-nds = At ds = Jj(P cosa+ Q cos 0 + Rcosy)ds,ZXX因此，高斯公式又可写成寸JJdivAdv二件Ads ns斯托克斯公式一曲拔积分与曲面积分的关系：dydzdzdxdxdycosaCOS flcosyddxdddz=ffzddxd&ddz.PQRPQRr空间曲线积分与路径无关的

23、条件止二坐，,=dy dz dzdx.dx.dy上式左端乂可写成:JJzk 0 -玄 RJ0 一內<>i 0 -5XPtA 度旋(詈一譽)dydz + (嚳一譽)dzdx +一詈)dxdy = f P dx + Qdy + Rdz向量场A沿有向闭llll线r的环流就：j P dx + Qdy + Rdz = Afds rr常数项级数：等比数列小+q+q2 + +q" = U1-q等差数列小+ 2 + 3 +n = 虹艺2调和级数小+丄+丄+丄是发散的23 n级数审敛法：1、iE项级数的审敛法根植审敛法(柯西判别法)：p<i时，级数收敛设：p=inn ?/u7

24、7;则卩>1时，级数发散 goo v0 = 1时，不确定2、比值审敛法：pel时，级数收敛Q>1时，级数发散 p = l时，不确定3、定义法：sn = u1+u2+ - +un;lim sn存在,则收敛；否则发散。交错级数Uj - u2 + u3 -u4 +(或+u3-u3 +叫>0)的审敛法莱布尼兹定理：如果交错级数满足盒 补二那么级数收敛且其和s<5,其余项几的绝对值|rn|<un41o ln_>8 n绝对收敛与条件收敛：(1) 1片+ % +% +，其中为任意实数：(2) |+|u2|+|u3|+.+ |iiJ+如果(2)收敛，则Q)存定收敛，且称为绝

25、对收敛级数；如果(2)发散，而收敛，则称(1)为条件收敛级数。调和级数:y 土发散,级数收敛:p级数殆(囂牆.3 n/|x|vl时，收敛于一1+X+X+X + +X +(1- X|x|>lW，发散对于级数a0 + a1x+a2x2 + -+anxn + -,如果它不是仅在原点收敛，也不是在全/|x| < RI甘收敛其中R称为收敛半径。数轴上都收敛，则必存在R，使(|x|>R时发散,|x = R时不定求收敛半径的方法：设inn = p,其中g an Ip#0 时，1<=丄/ 卩a曲是的系数，则("0时，R=+oo Q = +s时，R=0函数展开成格级数:函数展开

26、成泰勒级数：f(x)= f(xo)(x-xo) +丄血"(x-XqF + + (X-Xq)"2! 11!£(n-H) 余项： =:(x_心)叫f(x)可以展开成泰勒级数的充耍条件是:limR. = 0(11 + 1)!“Xg = 0时即为麦克劳林公式：f(x)= f(0)+ F(0)x+ f ® x? + + xn + 2!n!一些函数展开成挥级数：(l+x)m = l+nix+m(m-l)2!-+m(m _ 1)(m - n +1) n+xn!(-1 <X<1)x3 52n-lshi x= x+(JL)n“+ 3!5!(2n-l)!(-co

27、 < K<+cO)欧拉公式：= cosx+i sill xcosx = 或Vsin x =IX-IXe + e-2e15 e lx2三角级数：8a8f(0= A)+ SAi sinfnai + %)二寸 + 工( cosnx+ bn sinnn=l2 n=l其中， 二 an = isinn, bn = cosn, cd = xo正交性I,sinx,cosx,sin2x,cos2x - sinnx,cosnx- -任意两个不同项的乘积4卜龙,龙上的积分=0.傅立叶级数：第15页共15页离等救学复习心实f(x) =cos iix+bn sin nx),cosiixdx其中Qsin ii

28、xdx11n21 + z- + 5- + =(n = 0X2- )(n = l,23-)3- 5-8111 F+ + + =22426-24正弦级数:an = 0, bn = f f (x)sin iixdxn = l,23 - f (x) = bnshi nx是奇函数余弦级数：bn = 0, an = j f(x)cosiixdxn 0a n = 0J2 f (x) = + an cosiixzj 偶函数2周期为21的周期函数的傅立叶级数:第16页共15页00 一 _f (x) = + (ancos + bnsiii周期=21n-111其中bn = jjf(x)shi1-1(n = 0JU )(11 = 1,23-)第#页共15页第#页共15页微分方程的相关概念：一阶微分方程：y = f(x,y)或 P(x,y