证明不等式的基本方法章末复习方案课件人教A选修4-5

1、 比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件作差比较法证明的一般步骤是：作差；较大小的充要条件作差比较法证明的一般步骤是：作差；恒等变形；判断结果的符号；下结论其中，变形是恒等变形；判断结果的符号；下结论其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有

2、效的恒等变形的方法一切有效的恒等变形的方法 综合法证明不等式的思维方向是综合法证明不等式的思维方向是“顺推顺推”，即由已知的不，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果由因导果)，最后推导出所，最后推导出所要证明的不等式成立要证明的不等式成立 综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论证明时要注意的是：作为依据和出发点的几证的基本理论证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式个重要不等式(已知或已证已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有

3、的条件，避免错误，如一些带等号的不先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当当且仅当且仅当时，取等号时，取等号”的理由要理解掌握的理由要理解掌握 分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论分析法证明不等式的的重要不等式和逻辑推理的基本理论分析法证明不等式的思维方向是思维方向是“逆推逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件成立的充分条件(执果索因执果索

4、因)，最后得到的充分条件是已知，最后得到的充分条件是已知(或或已证已证)的不等式的不等式 当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效 由教材内容可知，分析法是由教材内容可知，分析法是“执果索因执果索因”，步步寻求上一，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是步成立的充分条件，而综合法是“由因导果由因导果”，逐步推导出不，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法一般来等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法一般来说，对于较复

5、杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用所以分析法和综合法可结合使用 (1)反证法：先假设要证明的结论是不正确的，然后利用反证法：先假设要证明的结论是不正确的，然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析，得到和命题公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析，得到和命题的条件的条件(已有的定义、定理、公理等已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论，以此说明假矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的命题结

6、论正确设的结论不成立，从而原来的命题结论正确 (2)放缩法：将需要证明的不等式的值适当地放大放缩法：将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小或缩小)，使不等式由繁化简，达到证明的目的使不等式由繁化简，达到证明的目的 例例4若若a，b，c为直角三角形三边，为直角三角形三边，c为斜边求证：为斜边求证：a3b3c3.所以所以f(x)在在(0，)上是增函数，使用的证明方法是上是增函数，使用的证明方法是 ()A综合法综合法B分析法分析法C反证法反证法 D以上都不是以上都不是解析：上述证明过程是从已知条件出发，经过推理论证得到解析：上述证明过程是从已知条件出发，经过推理论证得到结论，用了综合法结论，用了综

7、合法答案：答案：A解析：解析：“xnxn1或或xnxn1”的对立面是的对立面是“xnxn1”，“任任意一个意一个”的反面是的反面是“存在某一个存在某一个”答案：答案：B3若若a0，b0，则，则paabb，qabba的大小关系是的大小关系是 ()Apq BpqCpq Dpq答案：答案：A答案：答案：C二、填空题二、填空题5设设、为锐角，且为锐角，且Msin()，Nsinsin，则，则M、N的大小关系是的大小关系是_解析：解析：sin()sincoscossinsinsin.答案：答案：M答案：答案：a0，b0，ab三、解答题三、解答题9设设ab0，求证：，求证：3a32b33a2b2ab2.证明：证明：3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)因为因为ab0，所以，所以ab0,3a22b20，从而从而(3a22b2)(ab)0.故故3a32b33a2b2ab2成立。成立。10已知已知a，b，c，d都是实数，且都是实数，且a2b21，c2d21， 求证：求证：|acbd|1.法三法三(分析法分析法)：要证：要证|acbd|1，只需证明只需证明(acbd)21. 即只需证明即只需证明a2c22abcdb2d21.由于由于a2b21，