第2章 2.1 2.1.1　椭圆及其标准方程

1、.2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程学习目的：1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题重点2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程重点3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题难点自 主 预 习·探 新 知1椭圆的定义1定义：平面内与两个定点F1，F2的间隔 的和等于常数大于|F1F2|的点的轨迹或集合叫做椭圆2相关概念：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的间隔 |F1F2|叫做椭圆的焦距考虑1：椭圆定义中，将“大于|F1F2|改为“等于|F1F2|或“小于|F1F2|的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示2a与|F1F2|的大小关系所确定的点

2、的轨迹如下表：条件结论2a|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22a|F1F2|动点不存在，因此轨迹不存在2.椭圆的标准方程焦点位置在x轴上在y轴上标准方程1ab01ab0图形焦点坐标±c,00，±ca，b，c的关系a2b2c2考虑2：确定椭圆标准方程需要知道哪些量？提示a，b的值及焦点所在的位置根底自测1考虑辨析1平面内与两个定点F1，F2的间隔 之和等于常数的点的轨迹是椭圆2椭圆1的焦点坐标是±3,031ab表示焦点在y轴上的椭圆提示1×2a|F1F2|.2×0，±33×ab0时表示焦点在y

3、轴上的椭圆2以下方程表示椭圆的是A1B2x23y22C2x23y21D0CA中方程为圆的方程，B，D中方程不是椭圆方程3以坐标轴为对称轴，两焦点的间隔 是2，且过点0,2的椭圆的标准方程是 【导学号：73122091】A.1B.1C.1或1D.1或1C假设椭圆的焦点在x轴上，那么c1，b2，得a25，此时椭圆方程是1；假设焦点在y轴，那么a2，c1，那么b23，此时椭圆方程是1.合 作 探 究·攻 重 难求椭圆的标准方程求合适以下条件的椭圆的标准方程：【导学号：73122092】1两个焦点的坐标分别为4,0和4,0，且椭圆经过点5,0；2焦点在y轴上，且经过两个点0,2和1,0；3经

4、过点A，2和点B2，1思路探究求椭圆标准方程，先确定焦点位置，设出椭圆方程，再定量计算解析 1由于椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为1ab02a10，a5.又c4，b2a2c225169.故所求椭圆的标准方程为1.2由于椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为1ab0由于椭圆经过点0,2和1,0，故所求椭圆的标准方程为x21.3法一：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1ab0依题意有解得故所求椭圆的标准方程为1.当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1ab0依题意有解得因为a>b>0，所以无解综上，所求椭圆的标准方程为1.法二：设所求椭圆的方程为mx2ny21m0，n0，mn，依题意

5、有解得所以所求椭圆的标准方程为1.规律方法确定椭圆方程的“定位与“定量提醒：假设椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21A>0，B>0，AB跟踪训练1求合适以下条件的椭圆的标准方程：1焦点分别为0，2，0,2，经过点4,3；2经过两点2，.解1法一：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为1ab0由椭圆的定义知2a12，所以a6.又c2，所以b4.所以椭圆的标准方程为1.法二：因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设其标准方程为1ab0由题意得解得所以椭圆的标准方程为1.2法一：假设椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1ab0

6、由条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1.同理可得：焦点在y轴上的椭圆不存在综上，所求椭圆的标准方程为1.法二：设椭圆的一般方程为Ax2By21A0，B0，AB将两点2，代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为1.与椭圆有关的轨迹问题如图2­1­1，圆C：x12y225及点A1,0，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程. 【导学号：73122093】图2­1­1解由垂直平分线性质可知|MQ|MA|，|CM|MA|CM|MQ|CQ|.|CM|MA|5.M点的轨迹为椭圆，其中2a5，焦点为C1,0，A1,0，a，c1，b2a2c21.所求轨迹

7、方程为：1.规律方法在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的间隔 之和为定值且大于两定点之间的间隔 时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，这时可根据定值及两定点的坐标分别求出a，c，即可写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法.跟踪训练2两圆C1：x42y2169，C2：x42y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程解如下图，设动圆圆心为Mx，y，半径为r，由题意动圆M内切于圆C1，|MC1|13r.圆M外切于圆C2，|MC2|3r.|MC1|MC2|16|C1C2|8，动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且2a16,2c8，b2a2

8、c2641648，故所求轨迹方程为1.椭圆的定义及其应用探究问题1如何用集合语言描绘椭圆的定义？提示PM|MF1|MF2|2a,2a|F1F2|2如何判断椭圆的焦点位置？提示判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上3椭圆标准方程，a，b，c三个量的关系是什么？提示椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间间隔 的和的一半，可借助图形帮助记忆a，b，c都是正数恰是构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以a>b，a>c，且a2b2c2.如下图如图2­1­2所示，椭圆的方程为1，假设点P为椭圆上的点，且PF1F

9、2120°，求PF1F2的面积 【导学号：73122094】图2­1­2思路探究由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程，解方程组求得|PF1|，再用面积公式求解解由a2，b，得c1，|F1F2|2c2，在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|·cos 120°，即|PF2|2|PF1|242|PF1|. 由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|. 代入解得|PF1| .所以SPF1F2|PF1|·|F1F2|·sin 120

10、6;××2×，即PF1F2的面积是.母题探究：1.变换条件把本例条件“PF1F2120°改为“F1PF2120°求PF1F2的面积解由得a2，b，c1，|F1F2|2在PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 120°即4|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|PF1|PF2|2|PF1|·|PF2|，由椭圆定义得|PF1|PF2|4，|PF1|·|PF2|12，所以SPF1F2|PF1|·|PF2|·sin 120°×1

11、2×3，即PF1F2的面积是3.2改变问法在例题题设条件不变的情况下，求点P的坐标解设P点坐标为x0，y0由本例解答可知SPF1F2|F1F2|·|y0|，解得|y0|，即y0±，将y0±代入1得x±，所以点P的坐标为.规律方法椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积，假设F1PF2，可利用Sabsin C把|PF1|·|PF2|看成一个整体，利用定义|PF1|PF2|2a及余弦定理求出|PF1|&

12、#183;|PF2|，这样可以减少运算量.当 堂 达 标·固 双 基1点M到两个定点A1,0和B1,0的间隔 之和是定值2，那么动点M的轨迹是 【导学号：73122095】A一个椭圆B线段ABC线段AB的垂直平分线D直线ABB定值2等于|AB|，故点M只能在线段AB上2椭圆1上一点P到椭圆的一个焦点的间隔 为3，那么到另一个焦点的间隔 为A1 B5C2 D7D由|PF1|PF2|10可知到另一焦点的间隔 为7.3椭圆1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点，那么ABF1的周长为A10 B20 C40 D50B由椭圆的定义得|AF1|AF2|2a10，|BF1|BF2|2a10，所以ABF1的周长为|AF1|BF1|AB|20，应选B.4设F1，F2分别为椭圆C：1a>b>0的左、右两个焦点，假设椭圆C上的点A到F1，F2两点的间隔 之和为4，那么椭圆C的方程是_【导学号：73122096】1由|AF1|AF2|2a4得a2，原方程化为1，将A代入方程得b23，椭圆方