第2章 2.2　2.2.2　椭圆的几何性质

1、.2.2.2椭圆的几何性质学习目的：1.掌握椭圆的几何图形和简单几何性质重点2.感受如何运用方程研究曲线的几何性质难点3.能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题重点、难点自 主 预 习探 新 知1椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1ab01ab0范围axa且bybbxb且aya顶点a,0，0，bb,0，0，a轴长长轴长2a，短轴长2b焦点c,00，c焦距F1F22c对称性对称轴x轴、y轴，对称中心0,0离心率e0e12.椭圆的离心率根底自测1判断正误：1椭圆1ab0的长轴长等于a.2椭圆上的点到焦点的间隔 的最小值为ac.3椭圆的离心率e越小，椭圆越

2、圆【解析】1.椭圆1ab0的长轴长等于2a.2.椭圆上的点到焦点的间隔 的最大值为ac，最小值为ac.3.离心率e越小c就越小，这时b就越接近于a，椭圆就越圆【答案】1232椭圆1的离心率是_. 【导学号：95902089】【解析】由方程可知a225，a5，c2a2b225169，c3，e.【答案】合 作 探 究攻 重 难椭圆方程求其几何性质椭圆x2m3y2mm0的离心率e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标思路探究【自主解答】椭圆方程可化为1.m0，m，即a2m，b2，c.由e得，m1.椭圆的标准方程为x21.a1，b，c.椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点分别为F1，F2

3、；四个顶点分别为A11,0，A21,0，B1，B2.规律方法用标准方程研究几何性质的步骤跟踪训练1求椭圆9x216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 【导学号：95902090】【解】把方程化成标准方程1，于是a4，b3，c，椭圆的长轴长和短轴长分别是2a8和2b6，离心率e，两个焦点坐标分别是，0，0，四个顶点坐标分别是4,0，4,0，0，3，0,3.由椭圆的几何性质求方程1椭圆1ab0的离心率为，点C在椭圆上，那么椭圆的标准方程为_2假设椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的间隔 为，那么椭圆的标准方程为_思路探究解决问题的关键是根据条件求出a2

4、和b2.【自主解答】1由e得，又c2a2b2，所以得. 又点C在椭圆上得1， 由，解得a29，b25.所以所求椭圆的标准方程为1.2由从而b29，所求椭圆的标准方程为1或1.【答案】1121或1.规律方法1利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常采用待定系数法2根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准、定参数，一般步骤是：1求出a2，b2的值；2确定焦点所在的坐标轴；3写出标准方程跟踪训练2直线x2y20过椭圆1的左焦点F1和一个顶点B，那么椭圆的方程为_. 【导学号：95902091】【解析】直线x2y20与x轴的交点为2,0，即为椭圆的左焦点，故c2.直线x2y20与y轴的交点为0,1，即为

5、椭圆的顶点，故b1.故a2b2c25，椭圆方程为y21.【答案】y21求椭圆的离心率1椭圆1ab0的半焦距为c，假设直线y2x与椭圆的一个交点P的横坐标恰为c，那么椭圆的离心率为_2椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x轴的间隔 等于短半轴长的，那么椭圆的离心率为_思路探究1求出点P的坐标，利用点P在椭圆上其坐标满足椭圆的方程构建关于离心率e的方程，解方程可得离心率2在焦点三角形PF1F2中利用椭圆的定义与勾股定理得到a，b的关系式，可求离心率；或仿照1题的做法也可以求解【自主解答】1依题意有Pc,2c，点P在椭圆上，所以有1，整理得b2c24a2c2a2b2，又因为b2a2c2，代入得c46

6、a2c2a40，即e46e210，解得e23232舍去，从而e1.2方法一：设焦点坐标为F1c,0，F2c,0，M是椭圆上一点，依题意设M点坐标为c，b在RtMF1F2中，F1FMFMF，即4c2b2MF，而MF1MF2b2a，整理，得3c23a22ab.又c2a2b2 3b2a.e21，e.法二：设M，代入椭圆方程，得1，即e.【答案】11 2规律方法求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：假设a，c可直接利用e求解.假设a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解.(2)方程法：假设a，c的值不可求，那么可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a

7、，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.跟踪训练3椭圆1ab0的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为45的直线与椭圆的一个交点为M，假设MF2垂直于x轴，那么椭圆的离心率为_. 【导学号：95902092】【解析】因为MF2垂直于x轴，MF1F245，所以MF1F2是等腰直角三角形，以MF1为斜边设MF1mm0，那么MF2F1F2m，又因为F1，F2是椭圆的左、右焦点，所以MF1MF22a，即2a1m，而2cF1F2m，所以e1.【答案】1直线与椭圆的综合应用探究问题1直线ykxm和椭圆1ab0，如何判断直线与椭圆

8、的位置关系？【提示】由得a2k2b2x22kma2xa2m2b20，设该二次方程的判别式为，假设0，那么直线与椭圆有两个交点；假设0，那么直线与椭圆有一个交点；假设0，那么直线与椭圆没有交点2假如直线与椭圆有两个交点，那么直线与椭圆交点的横坐标与探究1中得到的关于x的二次方程有什么关系？【提示】探究1中得到的关于x的二次方程a2k2b2x22kma2xa2m2b20的两个根分别是直线与椭圆交点的横坐标3设直线与椭圆有两个交点为Ax1，y1，Bx2，y2，线段AB的中点为M，那么如何求线段AB的长和M的坐标？【提示】方法一：解方程a2k2b2x22kma2xa2m2b20，可得x1，x2，由yk

9、xm可得y1，y2，即得Ax1，y1，Bx2，y2的坐标，然后利用两点间间隔 公式和中点坐标公式可求线段AB的长和M的坐标方法二：根据根与系数的关系，采取“设而不求思路解决问题即 AB，点M的坐标可直接利用根与系数的关系求解上述两种方法，第一种方法运算太过繁琐，一般采用第二种方法求解此类问题如图222所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1ab0的焦距为2，过右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，当l与x轴垂直时，AB长为.图2221求椭圆的标准方程；2假设椭圆上存在一点P，使得，求直线l的斜率. 【导学号：95902093】【自主解答】1由题意可知2c2，c1，当l与x轴垂直时|AB|，由a2b

10、2c2，得a，b，故椭圆的标准方程是：1.2设直线l的斜率为k，那么直线l的方程：ykx1，设点Ax1，y1，Bx2，y2，Px3，y3由，可得3k22x26k2x3k260，那么x1x2，x1x2.因为那么，代入椭圆方程1，又1，1，化简得2x1x23y1y230，即3k22x1x23k2x1x23k230将x1x2，x1x2代入得3k263k230，化简得k22，k，故直线l的斜率为.规律方法椭圆是圆锥曲线中重要的一种曲线，它可以同其它章节知识结合考察，如不等式、三角函数及平面向量，特别是与直线方程，解决这类问题时要注意方程思想、函数思想及转化思想，其中利用方程中根与系数的关系构造方程或函

11、数是常用的技巧.跟踪训练4椭圆1ab0的离心率为，短轴一个端点到右焦点的间隔 为2.1求该椭圆的方程；2假设P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求的最大值与最小值【解】1设椭圆的半焦距为c，由题意，且a2，得c，b1，所求椭圆方程为y21.2设Px，y，由1知F1，0，F2，0，那么x，yx，yx2y23x23x22，x2,2，当x0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值2；当x2，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1.构建体系当 堂 达 标固 双 基1中心在原点的椭圆C的右焦点为F1,0，离心率等于，那么C的方程是_. 【导学号：95902094】【解析】由题意知c1，e，所

12、以a2，b2a2c23.故所求椭圆方程为1.【答案】12椭圆1有两个顶点在直线x2y2上，那么此椭圆的焦点坐标是_【解析】直线x2y2过2,0和0,1点，a2，b1，c，椭圆焦点坐标为，0【答案】，03假设椭圆x2my21的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍那么m的值为_. 【导学号：95902095】【解析】将原方程变形为x21.由题意知a2，b21，a，b1.2，m.【答案】4椭圆1ab0的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，假设椭圆恰好平分正三角形的另两条边，那么椭圆的离心率为_【解析】设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于A，那么AF1c，AF2c，有2a1c，e1.【答案】15当m取何值时，直线l：yxm与椭圆