一种基于数学定义的三维公差语义表示方法

1、一种基于数学定义的三维公差语义表示方法*刘玉生1 高曙明1 吴昭同2 杨将新2（1 浙江大学CAD&CG国家重点实验室，杭州，310027）（2 浙江大学生产工程研究所，杭州，310027）摘 要 目前3D CAD系统中的几何公差信息只是一种文本符号，缺乏工程语义。如何对其作出合理的解释对于CAD/CAM集成有着十分重要的意义。本文先给出了基于语义的几何公差分类方法及基于自由度变动的基本几何要素数学表示方法；接着基于公差的数学定义，系统地推导了各种类型公差的三维语义表示方法，准确完整地表示出了其语义；最后给出了实例进行应用分析。关键词 公差 数学定义 公差语义 CAD/CAM中图文分类

2、号 TP39.72A Representation Method of 3D Tolerance SemanticsBased on Mathematical DefinitionLiu Yusheng1 Gao Shuming1 Wu Zhaotong2 Yang Jiangxin2(State Key Lab. Of CAD&CG, Zhejiang University, Hangzhou,310027)( Production Engineering Institute of Zhejiang University, Hangzhou,310027)Abstract Toler

3、ance information is very important for CAD/CAM which is just a text attribute in present 3D CAD system and has little semantics. Such information cant be used for subsequent CAPP, CAM, etc. In this study, a new classification method of tolerances according to semantics and mathematical representatio

4、n of basic geometric elements based on DOF is given first. The representation of tolerance semantics is systematically deduced based on its mathematical definition that can characterize the semantics exactly and expressively. Thus, tolerance information in CAD system can be explained and used. An ex

5、ample is given to illustrate how to use the mathematical model in geometric modeling with tolerance information. Keyword Tolerance Mathematical definition Tolerance semantics CAD/CAM1引言公差信息对CAD/CAM集成有着十分重要的作用，其语义主要表示为两个方面1：公差域与变动要素的形成和表示。对如何表示公差的语义已经进行了广泛的研究，Requicha2提出了漂移模型，但该模型未按语义解释方向和（或）位置不定的公差，

6、对变动后的要素也未作出解释。Hillyard等3提出了基于约束变动的模型， 4 、黄灿明5等提出了基于自由度的公差模型，较好地解决了变动要素的表示，但其变动域仍然是由漂移而来，不可避免地具有漂移模型固有的缺陷。因此现有的公差语义表示方法还需大力改进。为了完整地表示出公差语义，本文基于数学定义，使用了基于要素自由度变动代数约束方程的方法，这样公差域的边界及变动要素均可以用自由度变动统一表示。2基于语义的公差分类方法 在上述公差语义表示的两方面中，公差域的表示是根本的，只有首先确定了公差域，才可能进一步研究其中的变动要素。公差域有四个基本属性：形状、大小、位置和方向。一般地，不同公差类型的公差域形

7、状变化是确定的。此外公差域的大小是由设计者给定的，因此要确切表示公差的语义，关键是还要确定公差域的位置和方向。因此本文在基于语义对公差分类时主要是按其公差域的位置和方向是否确定来分类的，可分为三种类型：.公差域固定的公差；.公差域可平动的公差；.公差域可浮动的公差。按此分类标准，公差分类的情况如下表1所示。表1. 公差新分类的结果列表公差类型公差类型I公差域固定的公差尺寸公差*、同轴度、对称度、位置度*、线轮廓度、面轮廓度II公差域可平动的公差尺寸公差*、位置度*、平行度、垂直度、倾斜度III公差域可浮动的公差直线度、平面度、圆度、圆柱度 注：* 表示依据其不同的使用条件，尺寸公差与位置度可以

8、属于不同类型。3基于自由度变动的几何要素数学表示在公差的最新数学定义7中，对公差给出了严格的矢量表达式，以点集的形式给出了公差域，这是对公差语义无二义性的定义，为公差的后续应用提供了基础。但这种矢量表示的点集并不直接适合公差的建模、分析、分配及其它的公差计算机处理，因此必须以此基础，进行适当的变换，给出其代数表示，才能为后续工作所利用。本文采用了基于自由度变动的方法来进行变换8。一般物体最多有六个自由度（Degree Of Freedom，DOF），即三个平动自由度X、Y、Z和三个转动自由度x、y、z，实际自由度d=6-n，其中n是恒定度数目。为给出要素基于自由度变动的几何要素数学表示，先必须

9、建立局部坐标系统（Locate Coordinate System, LCS）。LCS的建立方法如图1a所示。显然点、直线、平面的自由度分别为（X, Y, Z）、（X, Y,x,y）、（Z ,x,y）。名义点、名义直线、名义平面的方程如表2第2列所示。对上述名义平面、直线与点，在其自由度方向分别给定如图1(b)的变动值之后，则其变动方程如表2的第3列所示。表2 平面、直线及点的名义和变动方程列表名义方程变动方程平面直线点名义平面XZY0名义直线XZY0名义点XZY0(a) 基本几何要素及局部坐标系统(b) 基本几何要素的变动形式图1 基本几何要素及其变动形式变动点XZY0dxdydz变动平面d

10、qydzXZY0XZY0dydx变动直线由表2可知：平面、直线、点的变动方程均可以通过其各自的自由度变动表示出来，只要给出其自由度变动，则就可求出各要素的变动表示，边界也可同理求出，因此在公差的语义表示时，可以利用自由度变动来实现。4三维公差语义表示4.1 公差域固定的三维公差语义表示这种类型公差的主要特点是公差域的位置和方向均为确定的，不可变动，故可简单求出。本文以图2a中的直线为例进行研究，直线在X、Y轴方向的位置分别由定位尺寸及其公差确定。由图2b可知，公差域边界是由两对在各自方向上平行的平面组成。1） 公差域边界的自由度变动表示 由表2可知，变动直线方程可以用局部坐标系统中平行于Y轴的

11、平面x(z)和平行于X轴的平面y(z)的交线形式表示。尺寸公差规定的形式如下： (1) (2)或表示为： (3) (4)式中： TSU,x，TSL,x 分别为X方向偏差的上、下极值；TSL,y，TSU,y 分别为Y方向偏差的上、下极值； ，；、分别为变动后直线上任意两点在X、Y方向的差值。对直线，在其两端点处有极值情况发生，若设两端点为控制点，则、的求解可简化为求两个控制点分别在X、Y方向坐标值之差。 (5) (6) 式中： ，XYZ控制点C2x= TSU,x控制点C1x= -TSL,xy=TSU,yy= -TSL,y2ab图2 公差域确定的情况(a). 零件简图 (b). 公差域图-TSL,

12、xDx+TSU,xDy-TSL,y+TSU,y0ZYX其公差域的边界为： ； (7)2）变动直线的自由度变动表示将式(56)代入式(12)或式(34)，变动直线的自由度变动及约束域就可导出：变动： (8) (9) (10) (11)约束： (12) (13) 求出自由度的变动域及约束域之后，按一定的分布规律在其中取随机值，即可求得变动直线的自由度变动表示。42 公差域可平动的三维公差语义表示其主要特点是方向是确定的，没有转动自由度，而位置是不定的，有一个平动自由度。这里以图3中右边平面的平行度为例进行研究。1）公差域边界的自由度表示 建立如图3所示的局部坐标系统，按给定的要求可得出公差域边界的

13、变动域： (14) (15)XYZDzTPARTSU+TSLz=0z(x,y)(a). 有平行度要求的零件图(b). 平行度公差域与尺寸公差域关系图图3公差域可平动的情况AA TPAR A式中：、分别为定向公差域上下边界的变动值。在式（1415）所确定的变动域中按一定的分布规律取随机值，则可确定公差域边界的自由度变动表示。2）变动平面的自由度变动表示 由图3可知，尺寸公差域可表示为： (16)平行度公差域可表示为 (17)考虑到平行度公差通常比尺寸公差小，即TPAR<TSU+TSL，可推导出平行度公差自由度变动域如下：变动： (18) (19) (20)约束： (21) (22)求出自由

14、度的变动及约束域之后，按一定的分布规律在其中取随机值，即可求得平面的自由度变动表示。43 公差域可浮动的三维公差语义表示其主要特点是公差域的位置和方向均是不确定的，由表2可知，这类公差主要是形状公差。一般地，当有此类公差的要求时，总是先已有前两类公差，但却不能满足对形状的要求，故进一步给出更为严格的要求。在这里，以先有数学上具有普遍意义的非平行平面所形成的尺寸公差为例进行研究，尺寸公差的标注如图4(a)所示，三角形ABC的边长分别为a、b、c。公差域如图4(b)所示。1） 公差域边界的自由度变动表示 尺寸公差域与平面度公差域的关系如图5所示。建立局部坐标系统如图5所示。设、d、d为Bottom

15、面的模型设计变量，、d、d为Top面的模型设计变量，则形状公差域FT域的下边界面（Bottom面）和上边界面（Top面）的变动可表示为：Bottom面： (23)Top面： (24)确定平面度公差域边界的数学模型即是要求出Bottom面和Top面模型设计变量的变化范围，因此关键是要求出平面度公差域处于极限状态时各自由度变动值。图6(a)(b)分别为d的极小和极大状(a) 任意平面的尺寸公差标注图z=0YXZ Z(x,y)C B A E F CUU BUAU C LBL AL 平面CABC图4 任意平面的尺寸公差及其公差域图 图中：细点划线为公差域边界；双点划线为平面的理想位置及其包围盒(b)

16、公差域边界图CADBTFFEZXCADBFEZX图6 平面度公差域边界变动的极限情况(a)(b)图5 公差域可浮动的情况dzB名义平面尺寸公差域边界平面度公差域边界YXZ态时的平面图（即对图5的三维图令时的极限状态）。图中直线AB、CD为尺寸公差域边界，AE、DF（图6a中）、CE、BF（图6b中）为形状公差域边界。在这里，尺寸公差域上、下边界的方程可用平面表示为： (25) (26)则图6中，尺寸公差域边界AB、CD的方程（在图5中令y=y0）可求出如下： (27) (28)式中： 同理可求出A2、B2、C2、D2。A、B、C、D点的坐标亦可求出如下：； ； 若设直线AE的方程为： (29)

17、式中：b0为直线AE在z轴上的截距；则直线DF的方程为： (30) 式中：TF为形状公差值。且直线AE经过点A，直线DF经过点D，将点A和D的坐标分别代入式(29)和式(30)并求解得： (31)式中： (32)由式(32)知k1取值与y0有关，而，由单调性可知，k1在y0= -b及y0= b处有极值。故(33)同理可求出、的表达式。的变动范围同样受尺寸公差域的约束，将x=0，y0=0代入式(27)和式(28)有 (34) (35)由于Top面是与Bottom面平行且相距为TF的面，故可知：，故可求得平面度公差域边界的模型变量的变动方程及约束方程为：OABCD图7 用球面模拟带平面度误差的平面

18、示意图变动： (36) (37) (38) 约束： (41)(42)式中：、为当给定(x,y)时，由式(27) 与(28)求得的值，即当x，y确定时的尺寸公差域上、下边界。2） 变动要素表示在确定了公差域边界的位置方向之后，需要进一步研究变动要素的表示。为模拟出此类公差，变动要素的建模不能类似于前两种情况，即变动后的要素不能用同种类型的要素来模拟，必须用异种类型的要素模拟，从而体现出形状的变动。在这里，对平面，考虑到模拟的精度及运算的速度，采用了球面来模拟平面，如图7所示。5应用实例分析研究公差语义表示的主要目的是为了对各类公差进行正确合理的语义解释，从而为公差分析、公差分配、可制造性评价等后

19、续工作服务。这里主要讨论其在公差分析中的应用。在进行零件或装配件的公差分析时，以往一般用极值法和概率统计法。它们除了其各自独有的缺陷之外，还有几个共同的不足： .很少考虑形位公差；.不能真正地进行三维模拟分析。所有这些不足均制约着公差分析技术的发展。 图8 仿真公差公析的零件图x7± t7/2x4± t4/2x1± t1/2x3± t3/2x2± t2/2x6± t6/2x5± t5/2At8t10t9通过对三维公差语义表示方法的研究，可以方便地同时考虑尺寸公差和形位公差，生成带有给定公差信息的变动体，从而可以直接模拟真实情

20、况，并对该零件进行直接的仿真测量与分析。按相同的方法，通过随机生成给定数量的仿真零件并对之直接测量分析，可以求出一批样品中合格零件的数量，即可以定量地求出合格率，从而达到公差分析的目的。这与极值法和统计法相比，是一大进步。本文通过图8所示的实例来进行仿真公差分析。图8中x1、x2、x3、x4、x6、x7是设计尺寸，其值及公差是由设计者给定的。x5及其公差不是由设计者给定的，在加工中间接获得来保证。但在加工该工件时,在工序中可以直接测量尺寸x5，尺寸x3是间接获得的，应为封闭环。图中有关公差要求如表3所示(假设上、下极限偏差相等)。表3 图8零件中相关的尺寸公差和形位公差值(单位：mm)尺寸名x1x2x3x4x5x6x7尺寸值4035505040305公差名t1t2t3t4t5t6t7t15t16t17公差值0.120.12