材料力学第10章

1、第十章第十章 动载荷动载荷10、1 概概 述述10、2 简单惯性力问题简单惯性力问题10、3 构件受冲击时的应力和变形计算构件受冲击时的应力和变形计算10、4 提高构件抗冲击能力的措施提高构件抗冲击能力的措施10.1 概概 述述 载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢）且使构件各部件加速度保持为零（或可忽略不计），此类载荷为静载荷静载荷。 载荷随时间急剧变化且使构件的速度有显著变化（系统产生惯性力），此类载荷为动载荷动载荷。 构件中由构件中由动载荷动载荷引起的应力称引起的应力称动应力动应力。 实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力不超过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动。

2、本章仅讨论以下两类问题：（1）构件作匀加速运动或匀角速定轴转动时的应力计算（2）冲击时应力和变形计算10.2 简单惯性力问题一、构件作匀加速直线运动时的应力计算jqA 现以起重机匀加速吊起一杆件为例 设以距下端为x的截面mn将杆件分为两部分，研究下面一部分重力沿轴线均匀分布，其集度为作用于横截面mn上的轴力为dNam nxnmxadNJq l 按照静动法（达朗贝尔原理），对这部分作匀加速直线运动的杆件加入惯性力，作静力平衡处理则惯性力也沿轴线均匀分布，集度是 其方向与加速度方向相反。 由平衡条件， 得 (a)dAqag0X ()0djdNqqx()(1)djdaNqqxA xgnmxadN(b

3、)J dq q (b)当a=0时，杆件在静载荷作用下，杆件上的唯一载荷是重力，相应的静力为 代入（b）式,有 (c) 引用记号 (d) 这样（c）式化为 (10-1)(1)ddNaxAgjx(1)djag(1)daKgdjdKd 因为杆件是轴向拉伸的,横截面上的应力是均匀分布的,故动应力 为 由(b)式表示的动应力 沿轴线按线性规律分布（图1c）。当 时，得最大动应力为 式中 为最大静应力。所以动载荷下的强度条件为 式中 是材料在静载荷 作用下的许用应力。dxlmaxmax(1)ddjalKgmaxmax ddjKmaxjl xodmaxd( )c例例 1 一长为 的28b工字钢，有横截面积为

4、 的钢索AB,AC吊起，并以等加速度 上升(图a)，求吊索和工字钢中的最大动应力。12lm21.08Acm25am saA2m2mB( ) a8mC45。45。例例 1 求吊索和工字钢中的最大动应力。47.9jqkg m12lm21.08Acm25am saA2m2mB( )a8mC45。45。解解 (1) 由型钢表查得28b工字钢单位长度的重量，即载荷集度 惯性集度469.42N m469.425239.509.8jqqaN mg 由于工字钢的自重和惯性力同向且同量级，所以，计算动应力时应考虑自重的影响，工字钢上总的动载荷集度例例 1 求吊索和工字钢中的最大动应力。47.9jqkg m12l

5、m21.08Acm25am s解解 469.42N m469.425239.509.8jqqaN mg工字钢上总的动载荷集度469.42 239.50 708.92djqqqN m （2） 绘出工字钢的受力图（图b），由于对称，两吊索的拉力相同，即 dBdCNN dBN dByN dCN dCyNBC dBxN dCxNq( )baA2m2mB( )a8mC45。45。例例 1 求吊索和工字钢中的最大动应力。12lm21.08Acm25am s解解 dBN dByN dCN dCyNBC dBxN dCxNq( )b有平衡条件0Y 2sin45dBdNq l12 sin45ddBq lN708

6、.92 1212sin456015.4N 吊索中的动应力46015.455.71.0810dBdNMPaAaA2m2mB( )a8mC45。45。例例 1 求吊索和工字钢中的最大动应力。cos454253.5ddBNNN12lm21.08Acm25am s解解 dBN dByN dCN dCyNBC dBxN dCxNq( )b dBxN( )c( )( )N （3）绘出工字梁的内力图（图c），系压缩与弯曲的组合。轴向压力 最大弯矩 2maxsin 4548ddBq lMN 2268dddq lq lq aA2m2mB( )a8mC45。45。例例 1 求吊索和工字钢中的最大动应力。261.0

7、5Acm12lm21.08Acm25am s解解 dBN dByN dCN dCyNBC dBxNdCxNq( )b dBxN( )c( )( )N( )d( )M( )maxM6d q 工字钢横截面面积 ，按图示放置时 ，最大动应力发生在截面的上表面，应力为负，其值为361.209zWcmmaxmaxddzNMAW464253.56 708.9270.261.05 1061.209 10MPaaA2m2mB( )a8mC45。45。二、匀速旋转的圆环的应力和变形二、匀速旋转的圆环的应力和变形 图a为一平均直径为D的圆环。已知圆环横截面面积为A，壁厚t，材料比重，旋转角速度。Dowt( )a

8、等角速度旋转时，环内各点有向心加速度，且薄壁圆环Dt,可近似的认为环内各点向心加速度相同22nDaw 沿圆环均匀分布的惯性力集度为方向与 相反（图b）.取上半部为研究对象，由平衡条件 得圆环横截面上内力 为0Y 02sin2dddDNqdq D224dA DNgwdNna22dnAAqaggwnaDowt( )aodoqdxdNdN 圆环横截面上的应力为 式中的 是圆环轴线上各点的线速度。强度条件为2224ddNDvAggw2Dvw222 4dvDggwnaDowt( )ao( )boydqdxdNdN再考虑圆环的直径改变，在惯性力集度作用下，圆环将胀大，令变形后的直径为 ，则其直径改变为 ，

9、径向应变 这里 是周向应变。由此得 DDDD()drDDDDDEr2dv DDDEgEnaDowt( )ao( )boydqdxdNdN 这里 是周向应变。由此得 r2dv DDDEgE2(1)vDDD DgE 22(1)4DDgEwnaDowt( )ao( )boydqdxdNdN例例 2. 在AB轴的B端有一个质量很大的飞轮，与飞轮相比，轴的质量可以忽略不计。轴的另一端A装有刹车离合器。飞轮的转速 ,转动惯为 ，轴的直径 。刹车时使轴在10s内按匀减速停止转动。求轴内最大动应力。100minnr20.5xIkN m s100dmmAyMxBdM0w刹刹车车离离合合器器f例 2. 求轴内最大

10、动应力。010010(1 )30303nsw100 minnr20.5xIkN m s100dmm解 飞轮与轴的转动角速度为 当飞轮与轴同时作匀减速转动时，其角加速度为偶矩 ，且2121003(1)103stww等号右边的负号表示与方向相反（如图所示）。按动静法，在飞轮上加上方向与相反的惯性力dM0.50.5()()33dxMIkN m AyMxBdM0w刹刹 车车 离离 合合 器器f例例 2.求轴内最大动应力。100 minnr20.5xIkN m s100dmm解解设轴上作用的磨擦力矩为 ，由平衡条件, 求出 AB轴由于磨擦力矩 和惯性力偶矩 引起扭转变形，横截面上的扭矩为横截面上的最大扭

11、转剪应力为 0 xM 0.5()3fdMMkN m0.5()3ndMMkN mm axndnMW330.51032.67(100 10 )16MPafMdMfMAyMxBdM0w刹刹 车车 离离 合合 器器f例例 3 如图所示钢轴AB的直径为80mm，轴上有一直径为80mm的钢质圆杆CD，CD垂直于AB。若AB以匀角速度 转动。材料的许用应力 ，密度为 。试校核AB轴及CD杆的强度。401 sw 70MPa37.8g cmABCwD600600600例 3 直径为80mm，试校核AB轴及CD杆的强度。22( ) (0.087800) 40627004dq xxxN m401 sw70MPa37

12、.8g cmABCwD600600( )dq x解沿CD杆轴线单位长度上惯性力(图b所示为) 当x=0 当x=0.04m 当x=0.6m 0dq 2510dqN m37600dqN m600例例 3 直径为80mm，试校核AB轴及CD杆的强度。401 sw70MPa37.8 gcmABCwD600600( )dq x解解CD杆危险截面D上轴力和正应力分别为 m ax21(37600 2510) (0.6 0.04)20.08(0.6 0.04) 7800 9.8411200 215 1141511.42dNNkN 600例例 3 直径为80mm，试校核AB轴及CD杆的强度。36maxmax21

13、1.4210100.0842.2770ddNAMPaMPa401 sw70MPa37.8g cmABCwD600600( )dq x解解 AB轴中央截面上的最大弯曲正应力为 所以AB轴和CD杆的强度均满足。36m ax3111.42101.24100.083268.270dM PaM Pa60010.3 构件受冲击时的应力和变形计算构件受冲击时的应力和变形计算一、计算假设 冲击过程中，由于冲击发生在一瞬间，用动静法 无法计算其应力和变形，根据能量守恒原理进行简 化计算，并以下列假设为基础。1、 冲击物是有质量的刚体，被冲击物是不计质量的 弹性体，忽略冲击接触表面可能产生的局部塑性变 形，认为冲

14、击过程中材料服从虎克定律，且弹性模 量与静载条件下相同。2、 被冲击物内由冲击力引起的应力及变形，在冲击 瞬间由冲击点传播到物体各部分，同时达到最大值并不计冲击过程的能量损耗。 3. 不考虑冲击物回跳和被冲击物的振动，即冲 击物一旦与被冲击物接触后，就相互附着成 一体，当被冲击物的变形达到最大位置时， 冲击物速度随之减为零。 根据上述假设，由能量守恒原理，冲击物 在冲击过程中减少的动能T和位能V，将全部 转化成被冲击物的弹性变形能U，即 T+V=U （a） 按此法计算所得的结果是偏安全的。二、自由落体冲击 设重量为Q的重物从距弹簧顶端为h的高度自由落下，当重物与弹簧一起运动的速度为零时，弹簧达

15、到受冲击的最大变形位置。QdhhQdQhd 考虑T+V=U，现计算冲击物的能量改变和被冲击物的变形能。 在图示的情况下，冲击物所减少的位能是 （b） 冲击物初速度和末速度都为零，无动能变化 （c） 被冲击构件的变形能，则等于冲击 载荷在冲击过程中所做的功。 （d）()dVQ h0T 12dddUP 将 , , 代入式 （e） 设重物Q按静载的方式作用于构件上时，构件的 静变形为 ，静应力为 。在冲击载荷 作用 下构件相应的变形和应力则分别为 和 ，在线 弹性范围内 或者写成 （f） （g）()dVQ h1()2dddQ hPdddjjPQddjPQddjj0T 12dddUPT+V=UjjdP

16、dd 将 代入 得 或者写成 由此方程可以解出 为了求得 的最大值，式中根号前的符号应取正号，故有 （h）21()2ddjQ hQ 2220djdjh 222(11)djjjjjhh 2(11)djjh ddjPQ1()2dddQ hP d引用记号 （10-6）称为冲击动载荷系数。因此 （i）突然作用于弹性体上的载荷，相当于h=0的情况， 由（10-6）看出 ，即在突加载荷作用 下应力和变形皆为静载荷作用下的两倍。211ddjjhK ddjddddjKPK QK 2dK a.若已知冲击瞬间冲击物的速度v， （10-7）b.若已知冲击开始时冲击物的动能，因 所以 （10-8） 211djvKg

17、2012QTvg2201212jjjQvTvgQgUgg011djTKU 三、水平冲击三、水平冲击 图示重量为Q的冲击物以速度V水平方向运动，对被冲击物做水平冲击。 冲击后冲击物的速度变为零，动能变化为 受冲击构件的变形能为 212QTvg2122ddddP lUPEA QAlv根据能量守恒 （j）若杆件为等截面杆，杆内的动应力是均匀的，故有代入（j） （k）当Q以静载荷水平作用于杆端时有22122dP lQvgEAddPA2dEQvgAljQAjQlEA 代入整理后得 （l）或 （10-9）这里 2djjvgddjK2djvKg2dEQvgAl例例 求其许可高度H。 10圈，D=10cm，d

18、=20mm， =160MPa, =200MPa， G=80GPa,Q=2kN解解 弹簧所受静压力为 弹簧静变形为QP=10002NQ1.5 m1.5 mh348jPD nGd3948 10000.11080 100.02462.5 10 m例例 求其许可高度H。 10圈，D=10cm，d=20mm， =160MPa, =200MPa， G=80GPa,Q=2kN解解 由由 弹簧的静应力Q1.5 m1.5 mh100520Dcd410.6151.3144ckcc38jPDkd638 10000.11.31100.0241.7MPa例例 求其许可高度H。 10圈，D=10cm，d=20mm， =1

19、60MPa, =200MPa， G=80GPa,Q=2kN解解弹簧所允许的动载荷系数可表示为梁的静变形Q1.5 m1.5 mh 2004.841.7djK348jQlEI3962000 348 200 1011.3 10549.8 10 m例例 求其许可高度H。 10圈，D=10cm，d=20mm， =160MPa, =200MPa， G=80GPa,Q=2kN解解梁的静应力是梁所允许的动荷系数为Q1.5 m1.5 mh4jMQlWW62000 34 141 1010.64 10MPa 1601510.64djK综合考虑梁和弹簧应取 ,梁中点静变形为根据许可高度12jjj 21(1)12cjHK4.8dK 54149.8 1062.5 102436.23 10 m241(4.8 1)1 36.23 102324.3 10 m211ddjjhK 例例 在水平平面内的AC杆绕通过A点的垂直轴以匀角速转动，杆的C端有一重为Q的集中质量，因 发生在B点卡住而突然停止转动，试