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文档简介
1、排列组合根底知识1、 两大原理1. 加法原理(1) 定义:做一件事,完成它有类方法,在第一类方法中有中不同的方法,第二类方法中有种不同的方法.第类方法中种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法。(2) 本质:每一类方法均能独立完成该任务。(3) 特点:分成几类,就有几项相加。例1. 从甲地到乙地,可以乘动车,也可以乘汽车;一天中动车有3班,汽车有2班,那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法? 如上图,从甲地到乙地共有3+2种方法。2. 乘法原理(1) 定义做一件事,完成它需要个步骤,做第一个步骤有中不同的方法,做第二个步骤有种不同的方法.做第个步骤有种不同的方法,那么完成这
2、件事共有种不同的方法。(2) 本质:缺少任何一步均无法完成任务,每一步是不可缺少的环节。(3) 特点:分成几步,就有几项相乘。例2. 从甲地到乙地,要先从甲地先乘火车到丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地,一天中火车2班,汽车3班。那么两天中,从甲地到乙地共有多少种不同的方法? 解:由上图可知共有的可能路线为:火车1汽车1,火车2汽车1 火车1汽车2,火车2汽车2 火车1汽车3,火车2汽车3 所以共有种方式。2、 排列组合1. 排列(1) 排列的定义:从个不同的元素中,任取个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同的元素中取出个元素的一个排列。(2) 使用排列的三条件 个不同元素; 任取个; 讲
3、究顺序。2. 组合(1) 组合的定义:从个不同的元素中,任取个元素并为一组,叫做从个不同的元素中取出个元素的一个组合。(2) 使用三条件 个不同元素; 任取个; 并为一组,不讲顺序。排列与组合的共同点:都是“从个不同元素中任取个元素;排列与组合的不同点:排列与元素的顺序有关系,而组合与元素的顺序无关。也就是说:组合是选择的结果,而排列是选择后再排列的结果。3排列数的定义:从个不同的元素中,任取个元素所有排列的个数,叫做从个不同的元素中取出个元素的排列数,记为。例1. 从甲、乙、丙三个中任取2个人分别参加明天上午和下午的比赛。问共有多少种方式?解:由上图可知,共有6种方式。需要注意:此题相当于从
4、3个不同的元素中任取2个元素,并按一定的顺序排列,所有共有的排列数为,即,其中上标2是相乘的项数,下标是相乘中的最大那一项3,而且之后的每项总是比前一项少1。例2. 从a, b, c, d四个元素中任取2个排成一列共有多少种可能?解 所以的可能排列为:ab, ba, ac, ca, ad, da,bc, cb, bd, db, cd,dc. 共有12种,即,其中上标2是相乘的项数,下标是相乘中的最大那一项4,而且之后的每项总是比前一项少1。例3. 从a, b, c, d四个元素中任取3个排成一列共有多少种可能?解 所以的可能排列为:abc, acb,bac,bca,cab, cba, abd,
5、 adb, bad, bda, dab,dba, acd, adc, cad, cda, dac,dca. bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb共有24种,即,其中上标3是相乘的项数,下标是相乘中的最大那一项4,而且之后的每项总是比前一项少1由上面的规律可以得出下面排列数的计算公式,其中上标表示相乘的项数,其中。尤其:。5组合数的定义:从个不同的元素中,任取个元素所有组合的个数,叫做从个不同的元素中取出个元素的组合数,记为。例4. 从甲、乙、丙三个中任取2个人参加某项比赛。问共有多少种方式?解:可能的组合为:甲乙,甲丙,乙丙。所以共有3种需要注意:此题相当于从3个不同的元素中任取2个
6、元素并成一组,所有共有的组合数为,即。这个结果与例1比拟发现例2. 从a, b, c, d四个元素中任取2个并成一组,共有多少种可能?解 所以的可能排列为:ab, ac, ad, bc, bd, cd. 共有6种,即。这个结果与例2比拟发现例6. 从a, b, c, d四个元素中任取3个并成一组,共有多少种可能?解 所以的可能排列为:abc, abd, acd, bcd。共有4种,即。这个结果与例3比拟发现由上面的规律可以得出下面组合数的计算公式尤其:我们这本书用表示。下面3题要求学解题过程1.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛, (1) 列出所有各场比赛的上方; 2列出所有冠军的可能情况。2.由0,1,2,3,
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