关于高等数学上册复习归纳

1、高等数学(上册)复习资料:函数的两个要素： 定义域 对应法则1两个函数相同： (1)定义域相同 (2)对应法则相同 至于自变量与因变量用什么符合来表示无所谓。 例如：y sin xx与 u sintt是同一个函数2函数的几种特性(1)有界性 yf(x)x D如果存在实数 ki，使得f(x)ki，则称 f(x)在D上有上界如果存在实数 k2，使得 f (x)k,，则称 f(x)在D上有下界。有界：既有上界，又有下界。即存在实数 k,，k2使得 k2f(x) & 等价于存在k 0， 使得f(x) k x D(2)单调性若对区间I内任意两点 x,X2，都有 f (x,) ( )f(X2)，则

2、称 y f(x)在I内单调增加(减少)。若将“()”改成“()”称为严格单调增加(减少)。(3)奇偶性设函数 y f (x)的定义域关于原点对称如果 f( x)f (x)，则称f (x)为偶函数如果 f ( x)f(x)，则称f (x)为奇函数(4)周期性若 f(x l)f(x)则称 f(x)是以l为周期的函数注：周期通常指的是它的最小正周期3复合函数设 y f (u)的定义域为 D,，又 u g(x)的定义域为D，且 g(D)D,，则函数y f g(x) x D称为由函数 u g(x)和 函数 y f (u)构成的复合函数。u 称为中间变量，记为：(f og)(x) f g(x) 4基本初等

3、函数：(1)幕函数 y x(2)指数函数 y ax(a 0,a 1)(3)对数函数 y logax 特例 a e , y In x(4)三角函数y sinx , y cosx 等5初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到的并可 以用一个式子表示的函数。x 1 x 02两个式子，故不是初等函数x21 x 06函数的极限女口：lim arctanx , y ,y两条渐近线。x2 2当 x x0时，如果 f (x)无限地接近于某一确定的常数A，则称A为 f (x)当 xx0时的极限。记为：lim f(x) AX x注：(1) f(x)在 X。处的极限存在与否与 f (x)

4、在 x X。处有无定义没有关系。因为定(5) 反三角函数 y arcsinx,y arccosx 等例：f (x)当 x 时，若 f(x)无限地接近于某个确定的数A，则称A为 f (x)当 x 时的极限。记为lim f (x) Ax重要结论：lim f (x) A lim f (x) limxxxf(x)lim f (x) A的几何意义:xy A 是他的水平渐近线例如:lim f (x) A lim f (x)xx(1)幕函数 y x(2)指数函数 y ax(a 0,a 1)义中没有要求 x x0，只是 x x0(2) x 趋近于 X。的方式是任意的。左极限：当 X 从左边趋近于沧(记为：x时

5、的左极限。记为：lim f (X)X x右极限：lim f (x) AX X即左右极限存在且相等(即 可以从左边，也可以从右边)X0)时，f(x) A，则称A为 f (x)当 xX0A 或 f (x) A 。若：f(xo) f(x。)，贝U lim f(x)不存在Xx07无穷小量定义：以0为极限的变量称为无穷小(量)定义：当 X Xo(或 X )时，对应的函数值的绝对值f(x)无限增大注意无穷大是一种特殊的无界变量，但无界变量不一定是无穷大 无穷大的几何意义：limf(x)，直线 x xo是函数 y f(x)图形的铅直渐近线(回忆水平渐近X冷线定理二：在自变量的同一变化过程中，如果 f(x)为

6、无穷大，则丄为无穷小；反之，f(x)如果 f(x)为无穷小，且 f(x) 0，则 丄为无穷大。f(x)无穷小的性质：定理三：有限个无穷小的和仍是无穷小 定理二：有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论：(1)有极限的量与无穷小的量的乘积是无穷小。(有极限有界)(2) 常数与无穷小量的乘积是无穷小(3) 有限个无穷小量的乘积也是无穷小8无穷小的比较定义：设，都是无穷小(1)若lim 0，则称 是比 高阶的无穷小，记为： 0()若lim，则称是比低阶的无穷小(3)若lim c 0，则称与是同阶无穷小若lim 1，则称 与 是等价无穷小，记为：最重要是等价无穷小，关于等价无穷小，我们要记住以下结论当x

7、0时 ，si nxx , ta nxx ,l n(1 x) x , ex1 x ，arcsi nxxarctanxx，v1 x 1x，1 cosx x， ax1 xlna ， (1 x) 1 xn2注意其引申si nkxkx , ta nkxkx 即上面的无穷小可换成其他无穷小定理一：设，且 lim 存在，则9函数的连续性定义：设函数 y f(x)在点 x0的某一邻域内有定义，如果limx。y lim f (x。x。x) f(x。)。，则称 yf (x) 在点 x。处连续。强调：x。包含 x。, x。； x。,x。记：x。x x ，则yf(x。x)f (x。)f (x)f(x。)x。相当于 x

8、x。y。相当于 f (x)f (x。)由此 ，我们得到连续的另一个等价定义定义2:设 y f (x)在点 x0的某一邻域内有定义，如果lim f (x) f(x)，则称 y f(x)x x0在点 x0处连续。即：在 X。处的极限等于它在该点的函数值与左、右极限相对应 ，也有左、右连续的概念若limy0，即 limf (x)f(x。)，则称 f (x)在点 x。处左连续x 0 x x0若limy0，即 limf (x)f(x。)，则称 f(x)在点 x。处右连续x 0 x x0y f(x) 在点 x0处连续 左右都连续即lim f(x) lim f (x)f (x0)x 0 x 0若函数 y f

9、 (x)在点 X。处不连续，则称 y f (x)在点 X。处间断。x。称为 y f (x)的间断 点。(1)可去间断点极限lim f (x)存在，但 y f (x)在点 x0处无定义或 y f (x)在点 x0处有定义，但x x。lim f (x)f (xo)。则称 xo为 f (x)的可去间断点x x。2)跳跃间断点若 lim f (x)与 lim f (x)存在，但 lim f (x)x x。x x。xx。可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点 在。第一类间断点以外的间断点称为 第二类间断点常见的有 无穷间断点 。特点：至少有一个单侧极限为无穷大 一切初等函数在其定义区间内是连续的lim

10、 f (x)x x。第一类间断点的特点是左右极限都存特点：是至少有一个单侧极限不存在。10函数的导数定义：设函数 y f(x)在点 X。处的某个邻域 U(x。)内有定义，给 X。以增量x(x 0,( x0 x) U (x0)仍然在该邻域内)，若lim - lim -X)fX)存在。则x 0 xx 0 x关于导数的几点说明：(1) 导数反映因变量关于自变量的变化率， 即反映了因变量随自变量的变化而变化 的快慢程度。(2)令 X0X X，当X 0时 X X0等价定义f (X0) limf(x) f(x0)或X沟X x0(1)若定义中极限不存在，则称 f(x)在 X。处不可导。 在不可导中有一个特殊

11、情形。 当lim ，则称 f(x)在 X。处的导数为无穷大。X0 x(2)如果函数 yf (x)在开区间I内的每一点处都可导，就称函数 yf (x)在开区间I内可导。(3)对于任一个x I，都对应着 f(x)的一个确定的导数值，x f (x)。这个函 数叫做原来函数 f(x)的导函数。记作：y f(x)3 或史虫dx dx即 y limf(X X) f(x)或x 0 x注：(1)导函数 f (x)简称为导数f(X0)f(X)xx0(6) 单侧导数1、左导数2、右导数称 f(x)在 X0处可导。并称这个极限值为 f (x)在 x 处的导数。记为:f (x)，yx x0，df(x)dXXX。dyd

12、x即 f (X) limf(X0 x)f(X0)x 0Xf (X0)存在f (沧)f (X0)(7) 如果 f(x)在开区间(a,b)内可导，且 f (b)及f (a)都存在，就说 f(x)在闭区间a,b上可导。函数 f (X)在点 X0处的导数 f (x0)的几何意义就是曲线 y f (x)在对应点 A(x0, y0)处的切线的斜率于是：曲线 y f (x)在点 A(xo, yo)处的切线方程可写成:(1)f帆)存在，则切线方程：y yf (x)(x X)法线方程：y y1(x X)f(X。)(2)若 f (x)切线方程：xX法线方程：yy0定理：若 f(x)在 xo处可导。则 f(x)在

13、xo处必连续连续但不可导的例子：y x在x 0处lim x 0 f (0)所以连续，但不可导x 0 /7注：若不连续，则一定不可导11函数的微分定义：设函数 y f(x)在某区间内有定义，在 x X。处给自变量以增量x，如果相 应的函数的增量y 总能表示为：y A x o( x)，其中A与x无关，o( x)是x的 高阶无穷小。则称函数 y f (x)在点 x处可微。并称A x为 f (x)在点 x0处的微分。 记 作：dy 或 df (x)即：dy A xA称为微分系数。定理：函数 y f (x)在 x0处可微函数 y f(x)在 x0处可导我们得到函数的可微性与可导性是等价的。(可微 可导)

14、。函数在 x 处的微分 dy f (x)dx12 函数的不定积分定义1设函数F(x)在某区间I上可导，且xI有F(x)=f(x)，则称F(x) 为函数f(x)在区间I上的一个原函数.定理1设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，贝 UF(x)+C(C为任意常数) 为f(x)的全体原函数.定义 设函数 f ( X)在区间 I 上有定义，称 f (X)在区间 I 上的原函数的全体为 f (X)在 I 上的不定积分，记作f(x)dx，其中记号“”称为积分号，f (X)称为被积函数，X 称为积分变量定理 1 设 F( X)是 f (X)在区间 I 上的一个原函数，则f(x)dx=F (X)+C，C

15、 为任意常数强调：c不能丢，F(x)仅是一个原函数，不定积分是原函数的全体。通常，我们把f(X)在区间I上的原函数的图形称为f(X)的积分曲线， 不定积分的性质(1)f (x) g(x) dx=f (x)dx+g(x)dx，其中a，B为常数；(2)-f(x)dx=f (x);dx(3)f (x)dx=f( x)+ C, C 为任意常数.13 函数的定积分定义 设函数 f (x 在区间a，b上有界，今取 n+1 个分点：a=XoVXiVX2VVXi1VXiVVXniVXn=b，将a，b分成 n 个小区间Xii，Xi，其长度记为 Xi二XiXii(i=1，2，n)，并令入=max Xi,1 i n

16、若EiXi1, Xi (i=1，2，n)，极限nlimf(Ei) Xi0i 1存在，且该极限值与对区间a，b的分划及Ei的取法无关，则称 f (x)在a，b上可积，且称该极限值为f (x)在a，b上的定积分，记为f (x)dx，. a其中，f( x)称为被积函数，X 称为积分变量，a 和 b 分别称为积分下限和上限，a，nb称为积分区间，f(EXi称为积分和i 1注意:定积分是一个和式的极限，它是一个数。和式很复杂，区间的分法 无穷多，点的 取法也无穷多。但是，极限与取法、分法无关。定积分由被积函数f(x)与积分区间a,b确定，与积分变量无关。即bbbf (x)dx f (t)dt f (u)

17、du。aaa曲边梯形的面积Abf(x)dxa当被积函数在积分区间上恒等于1 时，其积分值即为积分区间长度，即bf (x)dx=b a；a可积条件为方便起见，我们用R (a，b)表示区间a，b上所有可积函数的集合，可以证明：(1)若 f (x) C (a，b),则 f (x) R (a，b);(2)若 f (x)为 |a，b 上的单调有界函数，则 f (x)R (:a，b);(3)若 f (x)在 |a，b 上仅有有限个第一类间断点，则 f (x)R (:a，b.定积分的几何意义：(1)bf(x)0, f(x)dx Sa图(2)b口f (x)0 , f (x)dx S图a(3)f(x)在a,b上

18、有正有负图bf (x)dx S|S2S3a面积的代数和(1)(3)(4)总之，若 f (x) C (: a, b),则定积分bf(x)dx的几何意义是表示由a曲线 y=f (x)、直线 x=a 与 x=b 所围成的各部分图形面积的代数和，其中位于上方的图形面积取正号，位于x 轴下方的图形面积取负号.定积分的性质(1) 当 a=b 时，& f(x)dx=0；a ba(2)当 ab 时，f(x)dx二f (x)dxab积分中值定理)设 f (x) C (a，b)，贝 9a，b，使得设f(x)C(a，b,F(x)是f(x)在a，b上的一个原函数，则bf(x)dx=F(b)F(a).a要掌握的

19、具体内容： 如何求极限；如何求导数与微分 如何求不定积分与定积分导数和定积分的应用如何求极限求极限的方法(1)约去零因子法(适用于 x X。时的0型)0(2)无穷小因子分出法(适用于 x时的一型)当 x时有理分式的极限为(3)有理化(适用于含有根式的极限)(4)通分(适用于型)(5)利用两个重要极限1第一个重要极限lim沁1X0 x这个极限的特点：(1)0型(2)沁0 x推广：某m呈(：(：)i,其中u(x)是x的该变化过程中的无穷小2第二个重要极限x 轴、x 轴f (x)dx=f ( E )(ba)1 lim(1 )xe(e是无理数 ，e 2.71828L)Xx几种变形有如下特点：(1)1型

20、(2)加号上的量与肩膀上的量互为倒数u(x)推广：若lim u(x)，贝y lim 1 eu(x)1若lim u(x) 0,lim 1 u(x)丽e(6)等价无穷小替换当x 0时，si nxx , ta nxx ,ln(1 x) x,ex1 x ,arcsi nx x,n -112xarctanxx,. 1 x 1 x,1 cosx x, a 1 xlna, (1 x) 1 xn2注意其引申si nkxkx , ta nkxkx 即上面的无穷小可换成其他无穷小I定理一一 :设 , ，且 lim -r 存在，则强调：乘积时才用等价无穷小代替，在加减中不能代替,即被替换的无穷小必须处于乘积因子位置

21、tanx sinx例：lim3x 0sin x3原式lim学0错在加减中不要替换X0X(7)利用无穷小的性质(定理二：有界函数与无穷小的乘积是无穷小)(8)利用左右极限与极限的关系(适用于分段函数在分段点处的极限)(9)连续性的定义(设连续函数 y f(x)在点 x。的某一邻域内有定义，则lim f(x) f()Xx(10)洛必达法则0型，一型直接使用法则，00型，将其中的一个倒下来，化成 -型或一型，再使用法则。0型，通分后化成0型，再使用法则。01 ,00,0型，化成以 e 为底的指数，或取对数后化成0以上10种方法中，特别要注意洛必达法则与重要极限，无穷小替换，相结合 二如何求导数(1)

22、基本求导公式求导公式：(1)(c)0(3)(ax) axlna 特例：(ex) exy f g(x)在点 x 处可导，且其导数为:复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。(4)参数方程的求导法若参数方程；(；)确定y与x之间的函数关系，称此为由参数方程所确定的函数。(2) (x ) x1特例：(x)1,( 、x)_1_2匸(4)(lOgax)1xl na特例:1 1(lnx)匚，(ln x)x(5) (sin x) cosx(cosx)sin x(6) (arcsin x)(arccos x)(2)求导的四则运算法则：u v uv /()2(v 0)v v(3)复合

23、函数的求导法则(cu) cu c 为常数定理三:如果 u g(x)在点 x 处可导，而 yf(u)在点 u g(x)处可导,则复合函数矽翌虫或ydx du dxdy:函数对 x 的导数dxdu: u g(x)对 x 求导dxf (u) g (x)链式法则dy: f (u)对 u 的导数dux11隐函数的求导法则：用复合函数的求导法则直接对方程两边求导(6)对数求导法：先两边取对数，然后按照隐函数的求导方法求导。适用范围：(1)幕指函数 u(x)v(x)(2)多个函数相乘或还有开方的情况(7)变限函数的求导dxf (t)dt=f(x)dxa(8)如何求微分 dy f (x) dx先求出函数的导数

24、，贝 U dy f (x)dx千万不要忘记写dx三如何求积分基本积分公式kdx=kx+C (k 为常数)，12xadx二丄xa1+C(az1),a 1特别地：dx-c孚2fxcxxVx13dx=ln 丨 x|+C(XM0),x4exdx=ex+C,5axdx二丄ax+C(a 0 且 a 1),ddxu(x)v(x)f(t)dt=f(u(x)u(x)f(v(x)v (x).求导公式dy虫dx dxdty对 t 的导数比上 x 对 t 的导数二阶导数dy对 t 的导数比上 x 对 t 的导数dx(5)隐含数的求导法什么叫隐含数？定义：由方程所确定的函数 yf(x)称为隐函数(x)=(t)d2ydx

25、2dtIna6cosxdx=s inx+C,110 x7sin xdx= cosx+C,8sec xdx=tanx+C,9csc xdx= cotx+C,10secx tan xdx=secx+C,Ocscxcotxdx= cscx+CO dx=arctanx c1 x2积分的方法一，分项积分f(x)g(x) dx=f(x)dx+g(x)dx，其中a，B为常数;baf(x)g(x) dx=bf(x)dxabag(x)dx二换元法第一换元法(凑微分)f( (x)(x)dx=f (x)d (x)u(x) f(u)du F(u) cu(x)FZ (x)+ C.(注意：中间的换元过程可省略。) 第二换

26、元对于定积分的第二换元法要注意：(1)换元必换限(3),选取可能不唯一，原则上：不自找麻烦，|越小越好 三分部积分注意：1将谁看成v2回归法对于定积分还有三个要注意的地方一,分段函数的定积分如果积分区间包含了被积函数的分段点，则利用积分对区间的可加性，分成几个定积分 的和。0，计算(2)当a b时，不一定有，但下限一定要对应下限，上限一定要对应上限例：f (x)lim F (x) F (a) + F (b) lim F (x)x cx c四应用题(一) 求曲线的切线，法线(二) 求极值，单调区间，拐点，凹凸区间，最大值，最小值 确定函数单调区间，极值的步骤为：解:例:11f(x)dx01f(x

27、)dx10f (x)dx01(1x2)dxieXdx0f(x)解：因为f (x)(x 1x3)311，求3f(x)dx二奇零偶倍三、广义积分(1)无穷积分定义： f(x)dx lim f (x)dxata 0若广义积分f(x)dx 与 0 f(x)dx 都收敛，贝 Uf (x)dx 收敛，积分之和。0t=tlim 七 f (x)dx limof(x)dx且定义为这两个广义计算： f(x)dx F(x) lim F (x) F(a)aax(2)瑕积分定义：若x b为 f (x)的瑕点，贝 Uf (x)dx lim f (x) dxat b abb若 x a 为 f (x)的瑕点，贝 Uf (x)

28、dx lim f (x)dxat a t若 x c (a,b)为 f (x)的瑕点，贝 U bfgdx lim1f (x)dxat ca计算：bb若x b为 f (x)的瑕点，贝 uf (x)dxF(x)alim F(x) F(a)aax bbbblim f (x)dxt ct若 x c (a,b)为 f (x)的瑕点，则f (x)dx=f(x)dx +bf(x)dxF(x)F(x)(1)写出定义域(2)找出驻点和导数不存在的点，将定义域进行划分。(3)判断各区间导数的符号，并判断单调性，。(4)写出单调区间， 求出各极值点的函数值，即得全部极值。判断凹凸区间，曲线拐点的步骤：(1)写出定义域，求 f (x)(2)令 f (x) 0，解出实根，并找出二阶导数不存在的点，将定义域进行划分对每一点 X0，考察 f(X)在 X0的左、右两侧的符号。写出凹凸区间，若左、右两侧符号相反，则(Xo, f (Xo)为拐点，否则不是。求最值的步骤:(1) 在a ,b内找出驻点和不可导点，X-I,X2L L Xn(2)计算 f (Xi)及 f (a) , f(b)(3)从这些值中找出最大值、最小值(三) 与中值定理有关的证明题(四) 利用单调性证明不等式(五) 关于闭区间上连续函数性质的证明题(六) 求平面图形的面积记住：被积函数是上面的函数减下面的函数。 记住