20182019数学北师大版选修21练习5 夹角的计算 1

1、基础达标如果平面的一条斜线和它在平面上的射影的方向向量分别是a(0，2，1)，b(，)，那么这条斜线与平面的夹角是()A90°B60°C45°D30°解析：选D.cosa，b，a，b30°.平面的一个法向量为n1(4，3，0)，平面的一个法向量为n2(0，3，4)，则平面与平面夹角的余弦值为()ABC.D以上都不对解析：选B.cosn1，n2，平面与平面夹角的余弦值为.如图，在空间直角坐标系中有正三棱柱ABCA1B1C1，已知AB1，点D在BB1上，且BD1，则AD与侧面AA1C1C所成角的余弦值是() A.BC.D解析：选D.A点坐标为(，0

2、)，D点坐标为(1，0，1)，(，1)易知平面ACC1A1的法向量n(1，0，0)(，0)(，0)cosn，所求角的余弦值为 .在正四棱锥P­ABCD中，PA2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为()A90°B60°C45°D30°解析：选C.建立如图所示的空间直角坐标系，则PAO60°，OP，OA1，AB，P(0，0，)，A(，0)，B(，0)，C(，0)，E(，)，(，)，(，)，cos，45°，即异面直线PA与BE所成角为45°.如图所示，已知点P为菱

3、形ABCD外一点，且PA平面ABCD，PAADAC，点F为PC中点，则平面CBF与平面BFD夹角的正切值为()A.BC.D解析：选D.连接BD，设ACBDO，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设PAADAC1，则BD， B(，0，0)，F(0，0，)，C(0，0)，D(，0，0)(0，0)，且为平面BDF的一个法向量由(，0)，(，0，)可得平面BCF的一个法向量n(1，)cosn，sinn，.tann，.在空间中，已知二面角­l­的大小为，n1，n2分别是平面，的法向量，则n1，n2的大小为_解析：半平面(及其法向量n1

4、)绕l旋转使与重合，若n1与n2同向时n1，n2，若n1与n2反向时n1，n2.答案：或如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，令|AB|2，则D(0，0，0)，C(0，2，0)，M(0，1，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，N(0，2，1)，(2，1，2)，(0，2，1)，·0，即异面直线A1M与DN所成的角为.答案：如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA平面ABC，ACBC，PAAB2AC2a，则AB与平面PBC所成角的正弦值为_解析：建立

5、如图所示的空间直角坐标系，则AB2a(a0)，O(0，0，0)，B(0，2a，0)，C(a，0)，P(0，0，2a)(0，2a，0)，设平面PBC的法向量n(x，y，z)，则，即，令yz1，则x，n(，1，1)，cosn，.答案：在三棱柱ABC­A1B1C1中，A1A底面ABC，ACB90°，AA1ACBC2，D为AB中点(1)求证： BC1平面A1CD；(2)求直线AA1与平面A1CD所成角的正弦值解：(1)证明：连接AC1交A1C于O点，则DO为ABC1的中位线，故DOBC1，又DO平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)以CA，CB，CC1所在

6、的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(1，1，0)，设平面A1DC的法向量为n(x，y，z)，由得，令x1得n(1，1，1)设直线AA1与平面A1CD所成角为，则sin |cos，n|.如图，PC平面ABC，DAPC，BCA90°，ACBC1，PC2，AD1.(1)求证：PD平面BCD；(2)设Q为PB的中点，求二面角Q­CD­B的余弦值解：(1)证明：因为PC平面ABC，所以PCBC.又BCAC，因为PC平面PDAC，AC平面PDAC，ACPCC，所以BC平面PDAC，又PD平面PDAC，所以BCPD.因为ACBCA

7、D1，PC2，DAAC，所以PDCD.因为CD平面BCD，BC平面BCD，CDBCC，所以PD平面BCD.(2)由PC平面ABC，BCAC所以CA，CB，CP两两垂直以C为坐标原点，分别以CA，CB，CP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，P(0，0，2)，Q(0，1)，D(1，0，1)所以(1，0，1)，(0，1)设平面CDQ的法向量n1(x1，y1，z1)则，取x11.解得，所以n1(1，2，1)设平面CDB的法向量n2(x2，y2，z2)，则，取x21.解得，所以n2(1，0，1)设二面角Q­CD­

8、;B为，所以cos .所以二面角Q­CD­B的余弦值为.能力提升在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为()A.BC.D解析：选B.如图，以BCD的中心O为原点，OC，OA所在直线分别为x轴，z轴，平面BCD内垂直OC于点O的直线为y轴建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为1，则C(，0，0)，A(0，0，)，D(，0)，所以E(，)，所以(，)，因为平面BCD的一个法向量为n(0，0，1)，所以cos，n，设夹角为，sin |cos，n|.二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB4，

9、AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为_解析：取基底，则二面角大小为，且，22222·2·2·，即4×176242822×6×8cos，cos，即二面角的大小为60°.答案：60°如图，已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，且PAACABBC2，PA平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点(1)证明：AEPD；(2)求二面角E­AF­C的余弦值解：(1)证明：由ACABBC，可得ABC为正三角形因为E为BC的中点，所以AEBC.又BCAD，因此AEAD.因为PA平面ABC

10、D，AE平面ABCD，所以PAAE.而PA平面PAD，AD平面PAD且PAADA，所以AE平面PAD.又PD平面PAD，所以AEPD.(2)由(1)知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，所以A(0，0，0)，B(，1，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(，0，0)，F，所以(，0，0)，.设平面AEF的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则，因此取z11，则m(0，2，1)，因为BDAC，BDPA，PAACA，所以BD平面AFC，故为平面AFC的一法向量又(，3，0)，所以cosm，.因为二面角E&#

11、173;AF­C为锐角，所以所求二面角的余弦值为.4.在如图所示的四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，点E是PC的中点，作EFPB交PB于点F. (1)求证：PA平面EDB；(2)求证：PB平面EFD；(3)求二面角C­PB­D的大小解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC1.(1)证明：连接AC，AC交BD于点G，连接EG. 依题意得A(1，0，0)，P(0，0，1)，E.因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，故点G的坐标为，且(1，0，1)，.所以2，即PAEG.而EG平面EDB，且PA平面EDB，因此PA平面EDB.(2)证明：依题意得B(1，1，0)，(1，1，1)又，故·00.所以PBDE.由已知EFPB，且EFDEE，所以PB平面EFD.(3)已知PBEF，由(2)可知PBDF，故EFD是二面角C­PB­D的平面角设点F的