中考之圆综合题型

1、精选优质文档-倾情为你奉上6（2017武汉元调）如图，OA、OB、OC都是O的半径，AOBBOC（1）求证：ACB2BAC；（2）若AC平分OAB，求AOC的度数解：（1）证明：在O中，AOB2ACB，BOC2BAC，AOB2BOCACB2BAC（2）解：设BACx°AC平分OAB，OAB2BAC2x°，AOB2ACB，ACB2BAC，AOB2ACB4BAC4x°，在OAB中，AOBOABOBA180°，4x2x2x180，解得：x225，AOC6x°135°7（2017武汉元调）如图，在RtABC中，BAC90°，BD是角

2、平分线，以点D为圆心，DA为半径的D与AC相交于点E（1）求证：BC是D的切线；（2）若AB5，BC13，求CE的长解：（1）证明：过点D作DFBC于点F，BAD90°，BD平分ABC，ADDFAD是D的半径，DFBC，BC是D的切线；（2）解：BAC90°AB与D相切，BC是D的切线，ABFBAB5，BC13，CF8，AC12在RtDFC中，设DFDEr，则r264（12r）2，解得：rCE13（2016武汉元调）如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AD交O于点E（1）求证：AC平分DAB；（2）连接CE，若CE6，AC8，直接写出O

3、直径的长 解：（1）证明：连接OC，CD是O的切线，CDOC，又CDAD，ADOC，CADACO，OAOC，CAOACO，CADCAO，即AC平分DAB；（2）解：CADCAO， CEBC6，AB为直径，ACB90°，由勾股定理得：AB，即O直径的长是10【案例1】圆中的线段【真题呈现】如图，在O中，弦AB、AC互相垂直，D、E分别为AB、AC的中点，则四边形OEAD为（ C ）A正方形 B菱形 C矩形 D直角梯形【真题解读】因为D、E分别为AB、AC的中点，根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，得OEAC ，ODABABAC，OEAD为矩形，故填C【真题变式】1如图，在O中，弦AB

4、、CD相交于E，且ABCD，AE2，BE6，CE4，则O的半径R 解：过O作OGCD于G，OFAB于F，设DE2x，CG2x，GE2x2x2x，AFFB×(26)4，EFAFAE422，22(2x)2OC2OB2(2x)242，解得x15，R 2如图，O的半径R6，点A、B、C在O上，A60°，求AB2AC2ABAC的值 解：延长CO交O于D，连DB、CB，过C作CEAB于E，DA60°，CD为直径，CBD90°，BCCD×6×26，易得AE，CEAC，CEAB，CE2BE2BC2，即，AB2AC2ABAC1083如图，O的半径R6，

5、点A、B、C在O上，A60°，ODAB于D，OEAC于E连DE，求DE的长CEODAB CEODABF解：连OC、OB、BC，过O作OFBC于F，A60°COB2×60°120°，OCOB，OCB30°R6，OF3，CF3BC2CF6OEAC，ODABD、E分别为AB、AC的中点DEBC34如图，O的半径R6，点A、B、C在O上运动，保持A60°，ODAB于D，OEAC于E，连DE，求四边形OEAD面积的最大值CEODAB CEODAB解：连OA、OC、OB、BC，易知DEBC×63AO、DE的长度不变，当AODE

6、时面积最大，S四边形OEADOA×DE×6×395如图，O的半径R6，点A、B、C在O上运动，保持BAC60°，ODAB于D，OEAC于E，连DE，则下列结论中，错误的是(B)CEODAB CEODABA弦BC的长为定值B四边形OEAD的面积为定值C线段DE的长为定值D四边形OEAD的面积有最大值案例2 切线中常见基本图形真题呈现如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C的切线互相垂直，垂足为D，AD交O于点E，连接AC（1）求证：AC平分DAB；（2）若CE6，AC8，直接写出O直径的长 C A E D O B 真题解读（1）遇切线连接切点和圆心，

7、故连CO，则COCD COAO，CAOACOCOCD，ADCD，ADCO，ACODAC，DACCAO，即AC平分DAB（2）用（1）的结论：AC平分DAB，CECB，AB为直径，ACB90°，AB10【真题变式】1例题中在（2）的前提下：CD_；DE_ 解：过C作CFAB于F，DACCAO，CDCF，CF48，DE36；易证CDECFB，设DEBFx，62x282(10x)2，解得x36C A E D O B F C A E D O B F 2在例题条件下，已知CDa，DEb求O的半径R 解：连OC、BE相交于F，连CE，易证：DCEFBC在OFB中，OB2OF2BF2，(Rb)2a

8、2R2，解得R3在例题条件下，已知R6，CE2，则R_，CD_解： R232（2）2（3）2，解得R15，R22（舍去）CD14在例题条件下，延长AB，DC相交于F，若F，连接AC（1）如图1，当30°时，_；（2）如图2，当45°时，_；1（3）如图3，当60°时，_；1案例3 图中几何变换【真题呈现】如图，ABC是等边三角形，O为BC的中垂线AH上的动点，O经过B，C两点，D为上一点，D，A两点在BC边异侧，连接AD，BD，CD（1）如图1，若O经过点A，求证：BDCD AD；（2）如图2，圆心O在BD上，若BAD 45°，求ADB的度数；（3）如图

9、 3，若 AHOH，求证：BD2CD2AD2图1 图2 图3【真题解读】（1）求证的是两条线段之和等于第三条线段，故考虑截长补短法，结合为等边三角形考虑旋转方法一：延长BD到F，使DFDC，再证BCF ACD；方法二：在AD上截取DGDC，连接CG，先证DCG为等边三角形，再证ACGBCD；方法三：此题也可作垂线，构造全等；过C作CMAD于M，CNBD于N先证ACMBCN，再证MCDNCD【解后反思】当ABC为等边三角形时，一般化，对于等腰ABC不妨设ABBC，且ABC，为多少呢？不妨先特殊化： 90°，60°， 120°，的值分别为，1，（2）几何直观可以猜想，

10、BCD为等腰直角三角形，但无法证明看此问题添加了条件BAD45°，联想到等腰直角三形，故设AD交O于E，连接BE，则BEED，BAEABE45°，则CAECBE15°，CBECDA15°，CAECDA， ACCDBC，BD为O的直径，BCD90°，CDB45°，ADB45°15°30°【真题变式】1如图，AB是O的直径，C为圆上一点，ACD为等边三角形，D在O外，已知ADB45°，O的半径为4，则AD的长为 解：CDB60°45°15°； CBD180°6

11、0°90°15°15°；DCCBACAD；ADAC42如图，AB是O的直径，C为圆上一点，ACD为等边三角形，D在O外，已知ABD30°，则 的值为 解：设BD与O相交于E，连接AE、EC，弧AE弧AE，ACEABD30°DCE；DCEACE；DEAE；【真题解读】第三问：看条件AHOH，O为BC的中垂线AH上的动点，AO与BC相互垂直且平分，四边形ABOC为菱形BOCBAC60°，BDCBOC30°，看结论：要证BD2CD2AD2，要用勾股定理解题，而30°60°90°，故以BD为边

12、向外作等边三角形BED，于是思路找到：先证ABDCBE，得到ADCE，在RtCED中，易得ED2CD2CE2，BD2CD2AD2【真题变式】3四边形ABCD中，BCD30°，连BD、ABD为等边三角形，BCD的外接圆圆心为O，若O的半径为8，则SABD 164四边形ABCD中，BCD30°，AC6，ABBDAD，求BCD的面积的最大值解：以CD为边作等边CDE，ADBD，DCDE，ADC60°BDCBOE，ADCBDE，ACBE在BCE中，BE2BC2CE2，即BC2CD2AC2362BC·CD，BC·CD185，SBCDBC·CD&

13、#215;185四边形ABCD中，ABBCAC，ACCD，若ABD45°，则ADB的度数为 【提示】方法一：作AEBD于E，以AD为直径作圆O，则点E、C都在圆O上，ABC为等边三角形，ABD45°，CBE15°AEB90°，ABE为等腰直角三角形，EAB45°，EAC15°，CDE15°，CBD为等腰三角形，ACD为等腰直角三角形，ADB30°方法二：以C为圆心，CA为半径作C，则C过A、B两点，若D为C外，设CD交C于D，则ABDACD45°，则D、D重合，若D在O内，设CD交C于D，连接BD，则AB

14、DACD45°，则D、D重合，D在O上，ACB60°，ADBACB30°6四边形ABCD中，ABBCCA，ACCD，若ADB30°，求ABD的度数ABCD解：过A作AEBD于E，以AD为直径作圆，则E、C在O上，设ABDx，则CBE60°x， EACx30°，ADB30°，ACEBCE30°，EC ECBCEACE，CBECAE，60°xx30°，x45°，即ABD45°7四边形ABCD中，ABADBD，BCD30°，BCD的面积为12，求线段AC长的最小值ABCD

15、解：以CD为边向外作等边三角形CDEADBD，CDDE，ADC60°BDCBDEADCBDE，ACBE，又在BCE中，BCEBCDDCE30°60°90°，ACBECEBCCD过D作DFBC于F，则2DFCDSBCDBC·(CD)BC·CD12，BC·CD48，ACBCCD2BC·CD2×4896，AC4，AC的最小值为4案例4 圆与等腰三角形（1）【真题呈现】如图1，已知O中，BC是直径，D点为OB上任意一点（异于O，B），过D点作ADBC，交O于A点，连接BF交AD于E点（1）探究AE与BE的大小关系

16、并证明你的结论；（2）当D为OC上任意一点（异于O，C），其他条件不变时，（1）中的结论是否仍然成立，画出图形并证明你的结论OBCFADEG（图3）OBCADFGE（图2）OBCAFDEG（图1）【真题解读】第一问：从条件BC为直径，ADBC可联想到垂径定理，故延长AD交O于G，则，从结论看到要探究AE与BE的大小，几何直观看AEBE，故可连接AB证ABEBAE，显然，由可得到结论，请规范表述：延长AD交O于G，连接AB，直径BCAG，又，ABEBAE第二问：能否运用第一问的方法？故仍然延长AD交O于G，连接AB，其实证法与上一问做法一模一样，请规范表述：同上【解后反思】其实第二问作出图形有两

17、种情况，请试一试，如图3，但做法仍与图2一样（回归双基）【真题变式】1（回归双基）如图2，若OD5，AD12，则EC_解：连接OA，则OA13，BD51318，设BEAEa，则DEa12，在RtBDE中，a18(a12) ，解得aEG2ADAE2×122如图3，已知OB5，CD2，则EG_解：CD2，半径为5，从而OD3，在RtODG中，DG4，设CEx，则DE4x，BDAE88x，在RtBDE中，8(4x)(8x)，解得x23（回归双基）如图1，连AF、AC交BF于M，已知BD4，DE3，则（1）AF_；（2）BC_；（3）SAMF_BODACFEM解：（1）BD4，DE3，BE5

18、AE，AFAB4；（2）连接OA交BF于点N，由圆的对称性知OABF，则BDEANE；AN4，EN3，设圆的半径为r，(r4)8r，解得r10，BC20；（3）易知ONCF1046，CF12，BF16，由，AC平分BCF，则，MFBF×6，SAMFMF·AN×6×412案例5 圆与等腰三角形（2）【真题呈现】小明学习了垂径定理，做了下面的探究，根据题目要求帮小明完成探究（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题如图1，在O中，C是的中点，直线CDAB于点E，则AEBE请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦如图2，

19、PA，PB组成O的一条折弦C是劣弧的中点，直线CDPA于点E，则AEPEPB请证明此结论；（3）如图3，PA、PB组成O的一条折弦，若C是优弧的中点，直线CDPA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论CFADBPOE（图3）ACPBDOEF（图2）OACDBE（图1）【真题解读】第一问：证OAEOBE即可；第二问：，ACBC，CAPCBP，再从结论AEPEPB，可考虑截长法，即在AP上取AFBP，再证EFEP即可；第三问：用第二问的方法，可考虑补短法，即在PA的延长线上截取AFBP，连接CF、AC、CP、CB，先证AFCBPC；再证EFEP即可解：（1）略；（2）

20、连接AC，BCC为AB的中点，ACBC，CAPCBP，在AP上截取AFBP，连接CF、CP，AFCBPC，CFCP，CEAP，EFEP，AEAFEFBPEF，即AEPEPB；（3）PEAEPB证明：C是的中点，ACBC，延长PA到F使AFBP，连CF、CA、CP、CB，CAPB180°，FACCAP180°，BFAC，FACPBC，CFCP，CDAP，PEEF，PEAEAFAEPB【解后反思】从条件看弧的中点可得到等弧，运用旋转可完成一些图形的变换在运用旋转时，等角、等边是关键，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角也是常见旋转的工具【真题变式】1BC为O内一弦，A为优弧的中

21、点，D为劣弧上任意一点，过A作AEBD于E，AFCD于F，则下列结论正确的有_（填序号）ABDACD，EAFBAC，BAC2DEF，2EABCODF【提示】，ABDACD，故对；AEBD，AFCD，AEBAFC90°，A为的中点，ABAC，ABEACF，EABFAC，EAFBAC，故对；ABEACF，AEAF，连AD，则AEDAFD，DEDF，DEFDFE，BDCDEFDFE2DEF，BACBDC2DEF，故对；ABEACF，BECFAEDAFD，DEDF，2，故对；故填2如图，在O中，直径AB弦CD，点P是上任一点，作AMDP延长线于M，则_ABCDPOMN【提示】连接AD、AC，

22、过A作ANCP于N直径ABCD，ACAD，ACPADP，AMMD，ANCP，AMDANC，DMCN，AMAN，APAP，AMPANP，MPPN，23如图，已知等边ABC内接于O，AB2，点D为弧AC上一点，ABD45°，AEBD于点E，则BDE的周长是_ABCDOE【提示】运用真题结论：BEEDCD，BDC的周长BCBDCDBCBEEDCDBC2BE22×AB22案例6 看不见的圆路径问题【真题呈现】如图，扇形OAB的圆心角的度数为120°，半径长为4，P为上的动点，PMOA，PNOB，垂足分别为M、N，D是PMN的外心当点P运动的过程中，点M、N分别在半径上作相

23、应运动，从点N离开点O时起，到点M到达点O时止，点D运动的路径长为（ ）AOBPMNDA B C2 D2 【真题解读】当点N与点O重合时，作出P1M1O，外心D1为P1O的中点当点M与点O重合时，作出P2M2O，外心D2为P2O的中点当P在上运动时，取OP中点为D，则于是DMDNDP，从而点D为PMN的外心点P运动时，OP4，从而DO2，点D在以O为圆心半径为2的上运动从而所求得的路径长即为的长又的圆心角为D1OD260°，从而弧长为，故选择A【真题分解】1如图，扇形AOB的半径为R，P为上的动点，PMOA于M，PNOB于N，PMN外接圆半径为r则的值 解：连OP，取OP中点Q，由题

24、意可知OQQPQMQN从而点M、O、N、P在以Q为圆心，OQ长为半径的圆上于是PMN的外接圆为Q，从而rOQ，ROP，于是2如图，扇形AOB的圆心角的度数为120°，半径长为6，P为上的动点，PMOA于M，PNOB于N则线段MN的长为 解：连OP，由OMP90°，ONP90°知M、N在以OP为直径的圆上，则MPN60°，设OP的中点为Q，从而MQN120°由于OA6，从而OP6，QMQN3，有垂径定理可知3如图，扇形AOB的圆心角的度数为120°，半径长为8，P为上的动点，PMOA于M，PNOB于N则四边形PMON的最大值为 解：连O

25、P、MN，运用上一题的方法，由OA8，可知OP8由AOB120°，可知，于是4（武汉四调）如图，直径AB、CD的夹角为60°，P为O上的一个动点（不与点A，B，C，D重合），PM、PN分别垂直于CD，AB，垂足分别为M、N若O的半径长为2，则MN的长（ B ） A随P点运动而变化，最大值为 B等于C随P点运动而变化，最小值为 D随P点运动而变化，没有最值【真题变式】1如图，四边形ABCD为正方形，边长为，E在CD边上，CE，点P在线段CE上运动，DH直线BP于H当点P从C运动到E时，求点H运动的路径长为 解：以BD为直径画圆，圆心为O，由，知直径DB6，从而半径为R3，连B

26、E，延长后交O于F，则点H的运动轨迹为弧CF，又,EBC30°，于是FOC2EBC60°,从而弧CF的长为2已知半圆O的直径AB长为8，点C在上，且2，点P在上运动，Q为弦AP的中点当点P从B运动到C时，点Q运动的路径长为 解：连AC，取AC中点D，取AO中点E，连DE，则ADO90°，以E为圆心，ED为半径，在直线AB上方画圆，可知点Q的轨迹为弧DO，由于，从而BOC120°由DEOC知DEO120°，又AB8，从而AO4，于是OE2，于是弧DO的长为3如图所示，AB为O的直径，弦CDAB于E，E为OB的中点，BE，点P在上运动，连AP，DF

27、AP于F，当点P从C运动到点B时，则点F的运动路径的长为 解：由知，从而，连AD、AC，从而，AC6，可知ACD为等边三角形，取AD中点为M，AC中点为G，以M为圆心，3为半径作圆M，则点F在M上运动，当P在C点时，F在G点，当P在B时，F在点E；当P在弧CB上运动时，F在弧GE上运动，所求路径长为弧GE的长，又可知GME60°，从而弧GE的长为4如图所示，O的半径为6，弦AB/CD，且AB，CD，点P在上运动，连PA、PB，BEPA于E，AFPB于F，BE交AF于G，当点P从C运动到D时，求点G运动路径的长解：有R6，可知圆心角AOB120°，COD120°，从

28、而APB60°，于是AGB120°，当P在C点时，G在A点，当P在D点时，G在B点，做弧AB关于直线AB的对称图形，得弧AOB，当P在弧CD上运动时，G在弧AOB上运动，从而弧AOB的长弧AB的长5如图所示，O的直径AB长为，点C、D在上，点P在上运动，连PA、PB，I为PAB的内心，当点P从C运动到D时，则点I运动路径的长为 解：连AI、IB，则AIB135°，取下半圆弧AB的中点Q，Q与P在直线AB异侧，则QA6，QB6，QI6，连QC、QD，则COD60°，CQD30°，以Q为圆心，6为半径，作圆Q，设圆Q与QC交于M，与QD交于N，当P

29、在C点时，I在点M，当P在D点时，I在N，当P在弧CD，I在弧MN，从而点I运动的路径长为6如图所示，BAC中，BAC120°，ABAC，点D在BC边上，BD2DC点P在线段BD上运动，APC的外接圆的圆心为O，当点P从B运动到D时，则点O运动路径的长为 解：由题意可知，BD4，作线段AC的垂直平分线，则APC外接圆的圆心在直线上运动，过点A作BC的垂线与交于M，作AD的垂直平分线交于N，当P在B点时，O在M点，当P在D点时，O在N点；点P从B运动到D时，点O从M运动到N，所求路径MN的长为47如图所示，平面直角坐标系中，点A(0，2)，B(2，0)，C(6，0)，点P在x轴正半轴上

30、运动以AP为直角边作等腰直角三角形，APQ90°，M为BQ的中点，点Q与B在直线AP异侧，当点P从原点O出发运动到C时，则点M运动路径的长为 解：设P为（t，0），则Q为（2t，t），从而M为，点M在直线上，当P在O点时，M为（0，0）；当P在C时，t6，M为（3，3），从而点M运动路径长为案例7 几何定值问题【真题呈现】如图，扇形AOD中，AOD90°，OA6，点P为上任意一点（不与点A和D重合），PQOD于Q，点I为OPQ的内心，过O，I和D三点的圆的半径为 则当点P在上运动时，的值满足（ D ）A B C D【真题解读】 分析四个选项，我们看到B和D意味着r为定值，我

31、们作出OID的外接圆E，又作出直径DF，此时DOF90°，由OA6，知OD6，从而r为定值等价于F为定角，由于圆内接四边形OFDI中，FOID180°，这要求OID为定角，我们注意到OIP和OID关于OI轴对称，从而要求OIP为定角，这一点恰好成立，易知OIP135°，详细推理过程，请同学们自己给出由OQP90°，可知OIP135°，从而OID135°，于是OFD180°OID45°，从而OFD为等腰直角三角形，于是,又，从而，故而选择D【解后反思】 如图ABP中，AB为定长线段，P为动点，若保持APB(为定角)，

32、则APB的外接圆半径R为定值这个结论，我们称为“定线定角定半径”【真题分解】1ABC中，I为内心，BACa，则BIC (用含a的式子表示)解：，从而，于是，从而2如图，四边形ABCD，内接于O，CD为直径，BAD135°，AB，AD1，则CD 解：作BE直线AD于E，连BD，由BAD135°，知BEA和BCD为等腰直角三角形，由AB知AE3，BE3，又AD1，从而EDEAAD4，于是RtBED中，RtBCD中，3ABC中，A90°，AB6，AC8，I为ABC的内心，求IBC的外接圆的半径解：由题1中结论知，BIC135°，由AB6，AC8，A90

33、6;，知，作出BIC的外接圆O，又作出直径CD，连BD，从而BDC45°，BDC为等腰直角三角形，于是，从而IBC的外接圆的半径为4如图，ABC中，BAC60°， AB2，AC，I为ABC的内心，则IBC的外接圆的半径R_解：由BAC60°知，BIC120°，作CEAB于E，又作出IBC的外接圆O，再作出直径CD，连BD，AEC中，AC，AE，EC，从而BEABAE，于是BC3，BDC中，D60°，BCD30°，从而DC2R，BDR，于是BCR，从而R3，R5如图，扇形AOB中，AOA30°，ACOB于C，AOC的内心为I，

34、以I，O，B为顶点的三角形的外接圆直径为8，则AC的长为_解：由ACO90°，可知AIO135°，易知AIOBIO，从而BIO135°，作出BIO的外接圆E，又作E的直径BD，连OD，D180°BIO45°，从而，BOD为等腰直角三角形，于是BDBO，从而BO4，AOC中，ACAOBO2【真题变式】1（回归教材）如图，点P在线段AB上运动，APM和PBN为等边三角形，点M，N在直线AB同侧，AN和BM相交于点H，已知AB3，AHB外接圆半径为R，求R的值解：先证APNMPB，由此可知AHB120°，作出AHB的外接圆O，又作出直径BC

35、，连AC，则ACB60°，ABC30°，从而BC2R，ACR，于是ABC中，R2（3）2（2R）2，从而R32如图，点P在线段AB上运动，APM和PBN为等边三角形，点M，N在直线AB同侧，AN和BM相交于点H，已知AB6，求AHB的面积的最大值解：与上题相同的辅助线，可求出AHB的外接圆半径R2，点H的运动轨迹为劣弧AB（去掉A、B两端点），易知当H为弧AB的中点时，AHB的面积最大，此时SAHB×6×33如图，线段AB长为8，点P在AB上运动，以AP为直径作O，BDAB，且BDBP，AD交O于点E，求ABE外接圆半径R的长解：连PE、PD，从而AEP90°，于是B、E在以PD为直径的圆上，作出此圆，从而，BPDBDP45°，于是A