七年级数学思维拓展训练校本教材

1、七年级上数学思维拓展训练第一章 兴趣数学 七桥问题（一笔画问题）18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。七桥问题引起了著名数学家欧拉（17071783）的关注。他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且

2、a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复），并且最后返回起点？欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。这就是说，七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢？如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶

3、数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。欧拉定理 ：  如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。一笔画：凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。 其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成

4、。)练习：你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。（不走重复线路）图例1图例2图例3图例4第二章绝对值知识回顾：绝对值的意义（1） 代数意义:一个正数的绝对只是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.（2） 几何意义：一个数的绝对值是表示这个数的点在数轴上离开原点的距离。1、 绝对值的常用性质：非负性：任何一个数的绝对值都是非负数，即|a|0.双解性：绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数（0除外），即若|x|aa0则x±a.|a|a| |a|a (|a|)²|a²|a²|ab|a|b| |b0解题技巧： 解答绝对值问题，常用的

5、思维方法有：1、分类讨论思想：去掉含字母的绝对值时，需要对字母取值加以讨论。2、数形结合思想：绝对值问题通常会和数轴联系在一起。3、 零点分段法：多个绝对值化简时常用。教学过程：【基础知识检测：】1、有理数的绝对值一定是 （ ）A、正数 B、整数 C、正数或零 D、自然数2、绝对值等于它本身的数有 （ ） A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个3、等于 （ ） A、3 B、3 C、D、4、若a与2互为相反数，则|a2|等于( ) A、0 B、2 C、2 D、45、 |x|=2,则这个数是（    ）A.2     

6、;    B.2和2    C.2        D.以上都错6、 | a|= a，则a一定是（    ）7、 A.负数       B.正数  C.非正数       D.非负数7、一个数在数轴上对应点到原点的距离为m，则这个数为（    ）A.m 

7、;      B.m    C.±m        D.2m8、如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（    ）A.正数       B.负数   C.正数、零      D.负数、零9、-4的的相反数是_,-4的倒数是_,-

8、4的绝对值是_,-4倒数的相反数是_,-4倒数的绝对值是_,-4倒数的相反数的绝对值是_10、当时，_，当时，_，、如果，则_，_.【典例解析：】一.求未知数例1：若，则。若，则思考提示：根据绝对值定义：数轴到原点距离是5和0的点有几个？是多少？ 变式1:若，则；若，则；若，则 ；变式2：，则若，则。 二.非负数的性质应用例2：若，则。思考提示：两个最小是0的数加在一起等于0说明什么呢？变式：1：非负数类型玩花样：若，则。变式：2：变量个数不断增加：若，则。总结：若干非负数之和为0，。 三.数轴上两点间的距离公式：若数轴上两点所表示的数为，则两点间的距离为例3（距离问题）观察下列每对数在数轴上

9、的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3. 并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：_.（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为1，则A与B两点间的距离可以表示为 _.（3）结合数轴求得的最小值为，取得最小值时x的取值范围为 _.（4） 满足的的取值范围为 _ .（5）若的值为常数，试求的取值范围 四.绝对值的最值问题例4.（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？（2）当取何值时，有最大值？这个最大值是多少？（3）求的最小值。（4）求的最小值。（2）当b为_时，5-有最大值，最大值是_当a为_时，1|a +3 |有最小值是_.（3） 已知，设

10、，求M 的最大值与最小值（4） 利用数轴分析，可以看出，这个式子表示的是到2的距离与到的距离之和，它表示两条线段相加：当时，发现，这两条线段的和随的增大而越来越大；当时，发现，这两条线段的和随的减小而越来越大；当 时，发现，无论在这个范围取何值，这两条线段的和是一个定值，且比、情况下的值都小。因此，总结，有最小值，即等于到的距离（5） 利用数轴分析，这个式子表示的是到的距离与到1的距离之差它表示两条线段相减：当时，发现，无论取何值，这个差值是一个定值；当时，发现，无论取何值，这个差值是一个定值；当时，随着增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。 因此，总结，式子当时，有最大值 ；当时，有最小

11、值 ； 五.含未知数的绝对值的化简（学习去绝对值符号法则）例5：阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值）。在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1） 当时，原式=;（2）当时，原式=；（3）当时，原式=。综上讨论，原式=通过以上阅读，请你解决以下问题：（1） 先分别求出和的零点值，再化简（2） 已知的最小值是，的最大值为，求的值。（3） 如果2x| 45x|13x|4恒为常数，求x的取值范围。【课后练习】1、若，则x_；若，则x_；若，则x_.2、若|m1|

12、=m1,则m_1;若|m1|>m1,则m_1;3若实数、y满足2002(x一1)2，则4. 若与互为相反数，则与的大小关系是( ) A B C D5.若与互为相反数，求的值。6.先求零点值，再化简3x+1+2x-17.当a为_时，3|2a1 |有最小值是_；当b为_时，1- | 2b|有最大值是_.8.的最小值是（ ）A 2 B0 C1 D-19.求当取何值时，有最小值，最小值是多少。求当取何值时，有最小值，最小值是多少。第三章 整式的加减【典型例题】类型一：整体代入法例1、若代数式的值是，求代数式的值。例2、 设和均不为零, 和是同类项,求例3、当时，代数式的值是3，求当时，代数式的值

13、.例4、 设，其中、为常数，已知，求的值.例4、已知多项式中，为常数，当时，多项式的值是1；当时。多项式的值是2.若是8和时，多项式的值分别是、,求的值。类型二：降次法例5、（1999年北京竞赛题）若，求代数式的值。变式练习、若_。例6、已知为有理数，且，求代数式的值.1、如果代数式的值为，求代数式的值。2、已知，求代数式的值。3、（16届希望杯数学竞赛题）已知求代数式的值。4、如果求代数式的值。5、已知代数式，当时的值为2；当时的值为1，求当时，代数式的值。6、当，代数式的值等于，那么当时，代数式的值是多少？7、如果对于某一特定范围内的任意允许值，的值恒为一个常数。请求出这个常数。第4章 动

14、点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想1已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|2b6|+（a+1）2=0，A、B之间的距离记作AB，定义：AB=|ab|（1）求线段AB的长（2）设点P在数轴上对应的数x，当PAPB=2时，求x的值（3）M、N分别是PA、PB的中点，当P移动时，指出当下列结论分别成立时，x的取值范围，并说明理由：PM÷PN的值不变，|PMPN|的值不变2如图1，已知数轴

15、上两点A、B对应的数分别为1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x（1）PA=_；PB=_（用含x的式子表示）（2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由（3）如图2，点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由3如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14（1）若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度；（2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线

16、AB上的位置无关；（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：的值不变；的值不变，请选择一个正确的结论并求其值4如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQBQ=PQ，求的值（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：PMPN的值不变；的值不变，

17、可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值5如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=AC，点C对应的数是200（1）若BC=300，求点A对应的数；（2）如图2，在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、C两点同时出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN（不考虑点R与点Q相遇之后的情形）；（3）如图3，在（1）的条件下，若点E、D对应的数分别为800、0，动点P、Q分别从E、D两点同时出发向左运动，点P、Q的速度分别为10单位长度每秒

18、、5单位长度每秒，点M为线段PQ的中点，点Q在从是点D运动到点A的过程中，QCAM的值是否发生变化？若不变，求其值；若不变，请说明理由6如图1，已知点A、C、F、E、B为直线l上的点，且AB=12，CE=6，F为AE的中点（1）如图1，若CF=2，则BE=_，若CF=m，BE与CF的数量关系是 （2）当点E沿直线l向左运动至图2的位置时，（1）中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理由（3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上，是否存在点D，使得BD=7，且DF=3DE？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由7已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AB=10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值（2）若点C、D运动时，总有MD=3AC，直接填空：AM=_AB（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且ANBN=MN，求的值8已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x（1）如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是_；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在，请说明理由（3）如果点P以每分钟3个单位长度的速度