三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用1_第1页
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文档简介

1、三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用阿波罗尼斯定理 三角形两边平方的和,等于所夹中线及第三边之半的平方和的2倍.具体地说,就是:设AD是ABC的中线,则.证明 如图1,作BC边上的高AH.由勾股定理,得,.所以.由,可得.所以.该定理应用广泛,不但可以用来计算三角形中线的长度,而且对于多线段的平方和问题,尝试构造三角形的中线后运用它往往也能凑效.下面举例说明此定理的应用.1.直接使用当题设条件中出现三角形的中线时,可考虑使用阿波罗尼斯定理建立相关线段的联系,以助解题.例1 AD、BE、CF是ABC的三条中线.若,则_.(2005年山东省初中数学竞赛)分析 AD、BE、CF是ABC的三条中线,故可

2、直接使用三角形中线的阿波罗尼斯定理进行计算.解 如图2, AD是BC边上的中线,由阿波罗尼斯定理得.代入已知数据,变形得.同理,.故.例2 如图3,ABC的内切圆O与边CA上的中线BM交于点G、H,并且点G在点B和点H之间.已知,.那么,当BC、CA为何值时,线段GH的长达到最大值?并求GH的最大值.解 如图3,设O与边BC、CA、AB分别切于点D、E、F.由切线长定理,得.由切割线定理得.所以,.设,则. 因此.设,.则. 由阿波罗尼斯定理,得,代入数据并变形,得. 由式、,解得,其中,即.因此,当时,x达到最大值,即当时,线段GH的长达到最大值.2.构造三角形的中线后使用定理有些平面几何题

3、,虽然题设条件中没有直接出现三角形的中线,但根据一些条件可先构造三角形的中线,然后再利用阿波罗尼斯定理求解.例3 如图4,正方形ABCD、正方形CGEF的边长分别是2、3,且点B、C、G在同一直线上,M是线段AE的中点,连接MF.则MF的长为_.(2006年全国初中数学竞赛浙江赛区初赛)分析 要求MF的长,注意到点M是线段AE的中点,只要连接AF后,就可运用阿波罗尼斯定理进行求解了.解 如图4,连接AF,延长BA、EF交于点H. 则.在RtAHF中,由勾股定理得.在RtAHE中,由勾股定理得.M是AEF的边AE的中点,由阿波罗尼斯定理得.变形,并代入得.所以.例4 如图5,为锐角,A、B是OM

4、上的两个定点,P是ON上的一个动点,问当P在什么位置时,最小? 解析 如图5,取AB的中点C,连接PC.由阿波罗尼斯定理,得.式中AB的长是定值,要使最小,只需使CP的长最小,根据“垂线段最短”可知,当CPOY时,CP的长最小.至此得到:当P在点D(D为AB的中点C在ON上的射影)时,最小.例5 如图6,已知三个圆:半径分别为1、2、3的、.其中, 和彼此外切,并且都和内切.若(未画出)和内切,并分别和、外切,求的半径.(2011年世界数学团体锦标赛(少年组) 解析 如图6,连接、.由和彼此外切,并且都和内切,可得,.所以.所以点O在线段上.设的半径为,连接、.由和内切,并分别和、外切, 可得,.注意到,故可取的中点P,连接,从而可两次使用三角形中线的阿波罗尼斯定理,得,.所以,即.

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