南通大学《误差理论与数据处理》复习要点

1、精选优质文档-倾情为你奉上误差理论与数据处理复习要点第一章 绪论一、误差的基本概念1、误差的定义及表示方法（1）（绝对）误差=测得值-真值，结果可正可负。（2）修正值：为消除系统误差而用代数法加到测量结果上的值。修正值真值-测得值，与误差值大小相等、符号相反。（3）相对误差=绝对误差/真值绝对误差/测得值，结果可正可负。（4）引用误差=示值误差/测量范围上限=（示值-实际值）/量程2、误差来源测量装置误差（标准量具、仪器、附件）；环境误差（温度、湿度、气压）；方法误差；人员误差。3、误差分类1）系统误差（多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变；或在条件改变时，按一定规律变化的误差）；2）随机

2、误差（多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差）；3）粗大误差（超出在规定条件下预期的误差）。二、精度1、精度：反映测量结果与真值接近程度的量，误差小精度高。2、精度的分类：1）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示；2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度；3）准确度（正确度）：反映测量结果中系统误差的影响程度。精密度和准确度无关；精确度高，则精密度与准确度都高。三、有效数字与数据运算1、有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零数字，称为第一位有效数字。从第

3、一位有效数字起至最末一位数字止的所有数字，都是有效数字。2、数字舍入原则：（1）舍去部分数值保留部分末位的半个单位，末位数加1；（2）舍去部分数值保留部分末位的半个单位，末位数不变；（3）舍去部分数值保留部分末位的半个单位，末位数凑成偶数。3、数据运算规则：（1）加减运算时，以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，结果应与小数位数最少的数据小数位相同；（2）乘除运算时，以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据多取一位数字，结果应与有效位数最少的数据小数位相同；（3）平方或开方运算，按乘除运算处理；（4）对数运算，n为有效数字的数据应用n为对数表，或用（n+1）为对数表，以免损失

4、精度；（5）三角函数运算，所取函数值的位数随角度误差的减小而增多，对应关系如下。角度误差（”）1010.10.01函数值位数5678第二章 误差的基本性质与处理一、随机误差1、随机误差产生的原因：测量装置方面、环境方面、人员方面。2、若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则随机误差具有以下特征：（1）对称性：绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等；（2）单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多；（3）有界性：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限；（4）抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零。3、算术平均值（1）x=lin（近似认为是被测量的真值L0）。

5、残余误差：vi=li-x（2）算术平均值的校核：vi=li-nx，当求得的x为未经凑数的准确数时，有vi=0。残余误差代数和的绝对值应符合：1）当n为偶数时，vin2A；2）当n为奇数时，vi(n2-0.5)A。4、等精度测量的标准差：（1）单次等精度测量的标准差：=i2n，i=li-L0（测得值与真值之差）；贝塞尔公式：=vi2n-1 评定单次测量不可靠性的参数：标准差（=vi2n-1）、或然误差（23vi2n-1）、平均误差（45vi2n-1）（2）测量列算术平均值的标准差x=n，测量次数越大，测量精度越高，n10较为适宜。评定算术平均值的精度标准：标准差（x=n）、或然误差（P=23vi

6、2n(n-1)）、平均误差（T45vi2n(n-1)）（3）标准差的其他计算方法1）别捷尔斯法：x=1.253×vinn-1；2）极差法：=ndnn234567891011121314151617181920dn1.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.743）最大误差法：=imaxKn，真值已知vimaxKn'，真值未知5、等精度测量的极限误差（1）单次测量的极限误差正态分布时，limx=±3，t=3，P=99.73%；一般地，limx=±t，t是置

7、信系数。t=2.58，P=99% ；t=2，P=95.44%；t=1.96，P=95%。（2）算术平均值的极限误差正态分布时，limx=±3x；测量列的测量次数较少时，按“学生氏”分布或t分布计算limx=±tx，t是置信系数。自由度v=n-1，是显著水平，常取=0.01,0.02,0.05。解题步骤：1）求算术平均值x；2）求残余误差：vi=li-x；3）求标准差、x；4）计算极限误差limx6、不等精度测量（1）权：说明测量结果的可靠程度。（2）权的确定：测量次数pi=ni；权与其相应的标准差平方成正比p1:p2:pm=1x12:1x22:1xm2（3）加权算术平均值：

8、x=pixipi；当p1=p2=pm时，x=pximp=xim简化计算，x=x0+pi(xi-x0)pi，x0为接近xi的任选参考值。（4）单位权（5）加权算术平均值的标准差：x=pi=pivxi2m-1pi=pivxi2(m-1)pi7、随机误差的其他分布：均匀分布、反正弦分布、三角形分布、2分布、t分布、F分布。二、系统误差1、系统误差产生的原因：测量装置方面的因素、环境方面的因素、测量方法的因素、测量人员方面的因素。2、系统误差的特征：在同一条件下，多次测量统一测量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或是在条件改变时，误差按照一定规律变化。系统误差的统计规律：1）在多次重复测量同一测量值时

9、，系统误差不具有抵偿性，它是固定的或服从一定函数规律的误差；2）系统误差即是服从某一确定规律变化的误差。系统误差的分类：不变的系统误差、线性变化的系统误差、周期性变化的系统误差、复杂规律变化的系统误差。3、系统误差的发现方法：（1）实验对比法：是改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量，以发现系统误差，适用于不变的系统误差；（2）残余误差观察法：1）若残余误差大体上是正负相同，且无显著变化规律，则无根据怀疑是存在系统误差；2）若残余误差数值有规律地递增或递减，且在测量开始与结束时误差符号相反，则存在误差；3）若残余误差符号有规律地逐渐由负变正，再由正变负，且循环交替重复变化，则存在周期性系统误

10、差。（3）残余误差校核法：1）用于发现线性系统误差将测量列中前k个残余误差相加，后（n-k）个残余误差相加（当n为偶数，取k=n/2；n为奇数，k=n+1/2）两者相减，若差值显著不为0，则有理由认为测量列存在线性系统误差（马利科夫准则）；若=0，可能存在系统误差。2）用于发现周期性系统误差若有一等精度测量列，按测量先后顺序将残余误差排列为v1，v2，vn，（阿卑-赫梅特准则）令u=vivi+1=v1v2+v2v3+vn-1vn，若u>n-12，则认为测量列中含有周期性系统误差。（4）不同公式计算标准差比较法对等精度测量，可用不同公式计算标准差：1）按贝塞尔公式1=vi2n-1；2）按别

11、捷尔斯公式2=1.253×vin(n-1)。令21=1+u，若u2n-1，则怀疑存在系统误差。（5）计算数据比较法对同一量进行多组测量，得到很多数据，通过多组计算数据比较，若不存在系统误差，其比较结果应满足随机误差条件，否则可认为存在系统误差。任意两组结果xi和xj之间不存在系统误差的标志是：xi-xj<2i2+j2（6）秩和检验法将独立测得的两组数据，混合后，按大小顺序重新排列，取测量次数较少的那一组，数出它的测得值在混合后的次序（即秩），再将所有测得值的次序相加，即得秩和T。1）当n1、n210时，若T-<T<T+，则无根据怀疑存在系统误差。2）当n1、n210

12、时，TN（n1(n1+n2+1)2,n1n2(n1+n2+1)12），t=(T-a)/，选取概率(t)，查正态分布积分表的t，若tt，则无根据怀疑存在系统误差。（7）t检验法独立测得的两组数据xi，i=1,2，nx；yi，i=1,2，ny令t=(x-y)nxny(nx+ny-2)nx+nynx-1x2+ny-1y2，服从自由度为nx+ny-2的t分布变量，式中x=1nxxi，y=1nyyj，x2=1nx-1(xi-x)2，y2=1ny-1(yj-y)2取显著度，由t分布表查Pt>t=中的t，若算出t<t，则无根据怀疑两组间有系统误差。4、系统误差的减小和消除从产生误差根源上消除系统

13、误差；用修正法消除系统误差；不变系统误差消除法：代替法、抵消法、变换法；线性系统误差消除法对称法；周期性系统误差消除法半周期法。三、粗大误差1、粗大误差产生原因：（1）测量人员的主观原因：操作不当、测量时不小心、不仔细；（2）客观外界条件的原因：测量条件意外改变（如机械冲击、外界振动）2、粗大误差的防止与消除：加强测量者的工作责任心；保证测量条件的稳定。3、判别粗大误差的准则3准则适用于测量次数较多的测量列；格罗布斯准则的可靠度最高，适用于测量次数为n=20100时；测量次数很小时，可采用罗曼若夫斯基准则；狄克松准则可快速从测量列中判别出是否含有粗大误差。（1）3准则（莱以特准则）以测量次数充

14、分大为前提，若发现有大于3的残余误差的测量值，即vi>3，则可认为它含有粗大误差，应予以剔除。（2）罗曼诺夫斯基准则当测量次数较少时，按t分布的实际误差分布范围来判别粗大误差，较为合理。首先剔除一个可疑的测量值，然后按t分布检验被剔除的测量值是否含有粗大误差。若xj-x>k,则认为xj含有粗大误差，剔除xj是正确的；x、为剔除xj后的测量值的平均值和标准差，k是t分布的检验系数k(n,)，n是测量次数。（3）格罗布斯准则设对某量作多次等精度独立测量，得x1，x2，xn当xi服从正态分布时，x=1nx，vi=xi-x，=v2n-1，将xi按大小顺序排列成顺序统计量xi，而x1x2xn

15、若认为x1可疑，则有g1=x-x1；若认为xn可疑，则有gn=xn-x。当g(i)g0(n,)，即判别该测量值含有粗大误差，并予以剔除。（4）狄克松准则（无需求出标准差）xi是x1，x2，xn的顺序统计量，当xi服从正态分布时，得到xn的统计量 n7， r10=xn-xn-1xn-x1 8n10， r11=x(n)-x(n-1)x(n)-x(2) 当xn的统计量r<r0(n,)时，不含粗大误差11n13，r21=x(n)-x(n-2)x(n)-x(2) n14， r22=xn-xn-2xn-x3 四、测量结果的数据处理实例（误差理论P52）1、等精度直接测量列测量结果的数据处理实例步骤：

16、计算算术平均值；求残余误差；校核算术平均值及其残余误差；判断系统误差；求测量列单次测量的标准差；判别粗大误差；求算术平均值的标准差；求算术平均值的极限误差（limx=±tx）；写出最后测量结果（L=x+limx）。（例2-24）2、不等精度直接测量列测量结果的数据处理实例步骤：求加权算术平均值；求残余误差并进行校核；求加权算术平均值的标准差；求加权算术平均值的极限误差（limx=±3x）；写出最后测量结果（L=x+limx）。第三章 误差的合成与分配1、随机误差的合成方法：方和根。2、系统误差的合成方法：代数和。3、系统误差与随机误差的合成（1）按极限误差合成1）单次测量：

17、总=±ei2+i2；2）多次测量：总=±ei2+1ni2（随机误差具有抵偿性）（2）按标准差合成1）单次测量：=ui2+i2；2）多次测量：总=ui2+1ni2（随机误差具有抵偿性）4、微小误差的取舍准则：对于随机误差和未定系统误差，被舍去的误差必须小于或等于测量结果总标准差的1/31/10。第四章 测量不确定度一、测量不确定度的基本概念1、测量不确定度可用两种方法来评定：A类评定、B类评定。（1）A类评定：用一系列观测数据的统计分析来评定；（2）B类评定：基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定。二、标准不确定度的评定1、标准不确定度的A类评定在其他Xj（ji）保持不变的

18、条件下，仅对Xi进行n次等精度独立测量，用统计法由n个观测值求得单次测量标准差i，则xi的标准不确定度uxi的数值按下列情况分别确定：（1）用单次测量值作为Xi的估计值xi，则uxi=i；（2）用n次测量的平均值作为Xi的估计值xi，则uxi=i/n。2、标准不确定度的B类评定（1）测量估计值x受多个独立因素影响，且影响大小相近，则假设为正态分布，由所取置信概率P的分布区间半宽a与包含因子kp来估计标准不确定度，即ux=akp。（2）估计值x取自有关资料，所给出的测量不确定度Ux为标准差的k倍时，则ux=Uxk。（3）已知估计值x落在区间（x-a，x+a）内的概率为1，且在区间内各处出现的机会

19、相等，则x服从均匀分布，其标准不确定度为：ux=a3。（4）当估计值x受到两个独立且皆是具有均匀分布的因素影响，则x服从在区间（x-a，x+a）内的三角分布，其标准不确定度为：ux=a6。（5）当估计值x服从在区间（x-a，x+a）内的反正弦分布，则其标准不确定度为：ux=a3。3、自由度及其确定（1）自由度概念将不确定度计算表达式中总和包含的项数，减去各项之间存在的约束条件所得差值，用V表示；意义：反映不确定度评定的质量。自由度越大，标准差越可信赖，不确定度评定质量越好。（2）自由度的确定1）标准不确定度A类评定的自由度用贝塞尔法计算的标准差，自由度为v=n-1别捷尔斯法、极差法、最大误差法

20、2）标准不确定度B类评定的自由度v=12uu2 其中，u为评定u的标准差；u/u为评定u的相对标准差。三、测量不确定度的合成1、展伸不确定度Y=y±U，U=kuc，k是包含因子，uc是合成标准不确定度，v=uc4ui4vi，k由t分布的临界值决定，k=tp(v)，一般情况下可取k=232、不确定度的报告用合成标准不确定度表示测量不确定度时，应给出合成标准不确定度uc及其自由度v；用展伸不确定度表示测量不确定度时，应给出展伸不确定度U、合成标准不确定度uc、自由度v、置信概率P和包含因子k；3、结果表示例：假设报告的而被测量Y是标称值为100g的标准砝码，其测量的估计值y=100.02

21、147g，对应的合成标准不确定度uc=0.35mg，自由度v=9，则测量结果可表示为：a、y=100.02147g，uc=0.35mg，v=9b、Y=100.02147(35)g，v=9c、Y=100.02147(0.00035)g，v=9d、Y=(100.02147±0.00035)g，v=9报告中合成标准不确定度或展伸不确定度的有效数字不超过2位，不确定度的数值与被测量的估计值末位对齐第五章 最小二乘法处理（P109例5-1）一、最小二乘原理最可信赖值应在使残余误差平方和最小的条件下求得。等精度测量时，v12+v22+vn2=vi2=最小不等精度测量时，加权残余误差平方和最小误差

22、方程v1=l1-(a11x1+a12x2+a1txt)v2=l2-(a21x1+a22x2+a2txt)vn=ln-(an1x1+an2x2+antxt)，设有列向量L=l1l2ln，X=x1x2xn，V=v1v2vn，A=a11a12a21a22a1ta2tan1an2ant其中：li是n个直接测量结果；xi是t个待求的被测量的估计量；vi是n个直接测量结果的残余误差；aij是n个误差方程的n×t个系数。可得线性测量参数的误差方程式表示为：V=L-AX等精度测量时，残余误差平方和最小这一条件的矩阵形式为：VTV=最小或L-AXT(L-AX)=最小不等精度测量时，最小二乘原理的矩阵形

23、式为：VTPV=最小或L-AXTP(L-AX)=最小二、正规方程1、等精度线性测量参数最小二乘处理的正规方程ATV=0，又V=L-AX，正规方程可表示为ATL-ATAX=0，即ATL=(ATA)X，令C=ATA，则正规方程又可写为CX=ATL，若A的秩等于t，则矩阵C是满秩的，即C0，那么X必定有唯一解为X=C-1ATL，EX=X。解题步骤：列误差方程式；列出正规方程；解出待求估计量（解方程组或矩阵求解）；精度估计。2、不等精度线性测量参数最小二乘处理的正规方程ATPV=0，又V=L-AX，正规方程可表示为ATP(L-AX)=0，即ATPL=ATPAX，则X=(ATPA)-1ATPL令C*=A*TA*=ATPA，则 X=C*-1ATPL，EX=X。三、精度估计测量数据的精度估计1、等精度测量数据的精度估计=vi2n-t2、不等精度测量数居的精度估计=pivi2n-t四、组合测量的最小二乘处理步骤：1）列出误差方程；2）矩阵形式求解的最佳估计值；3）代入误差方程求得测量数据的标准差；4）求不定乘数dij；5）求出估计量的标准差。其中不定乘数dij是矩阵C-1中的各元素，即C-1=d11d12d21d22d1td2tdn1d2ndnt；估计量对应的方差为x12=d112x22=d222xt2=dtt