刚体的转动定律

1、12刚体的定轴转动刚体的定轴转动一、力矩：一、力矩：rFFrM同一刚体上有多个作用力时，合力矩是同一刚体上有多个作用力时，合力矩是各力矩的矢量和。各力矩的矢量和。iMM二、描述转动的物理量二、描述转动的物理量dtddtd角速度角速度角加速度角加速度Rat2Ran法向加速度为法向加速度为切向加速度为切向加速度为(SI)单位：单位：rad/s 工程单位工程单位 rev/min(转转/分）分）3将刚体分为质量为将刚体分为质量为mi的质元的质元设：该质元所受的外力设：该质元所受的外力 Fi 该质元所受的内力该质元所受的内力 fi 该质元到转轴的位置矢量该质元到转轴的位置矢量ri 将力分解为切向与法向分

2、量，将力分解为切向与法向分量，由牛顿第二定律可得由牛顿第二定律可得 Fit+fit=miait=miri （1） Fin+fin= miain= miri2 (2)刚体的定轴转动定律：刚体的定轴转动定律：定轴转动时所有的质点有同样的角速度、角加速定轴转动时所有的质点有同样的角速度、角加速度度,2式对转动无作用，将式对转动无作用，将(1)式乘以式乘以riiFifimirii4riFit+rifit=miri2iFifimirii利用利用 Fit=Fisini fit=fisini 并对所有的质元求和有并对所有的质元求和有riFisini+ri fisini =miri2由于任意的两个质元的内力大

3、小相由于任意的两个质元的内力大小相等，方向相反，作用于同一直线上，等，方向相反，作用于同一直线上，故故 内力的力矩为内力的力矩为0。而：。而：riFisini= Mi=MM = Mi =(miri2)if1if5扩号中的项称为转动惯量，表示刚体在转动时的惯性。扩号中的项称为转动惯量，表示刚体在转动时的惯性。通常用通常用J来表示。来表示。J =(miri2)对于质量连续分布的刚体，上式的求和变成积分。对于质量连续分布的刚体，上式的求和变成积分。dmrJ2刚体的定轴转动定律为：刚体的定轴转动定律为： M=J例例1、求质量为、求质量为m的质点、到转轴的的质点、到转轴的Y距离为距离为r,对对Y轴的转动

4、惯量是多少？轴的转动惯量是多少？mrJ222MRmrJ若另有一质点，质量为若另有一质点，质量为M,到转轴的到转轴的Y距离距离为为R,这两个质点的转动惯量是多少？这两个质点的转动惯量是多少？YmrRM6Rr0例例1、求质量为、求质量为m、半径为、半径为R的细元环的细元环绕其直径转动的转动惯量。绕其直径转动的转动惯量。dmrJ222223mRR用用 表示细元环的质量密度表示细元环的质量密度=m/2R 02)sin(2RdR023sin2dR若将转轴移动到圆环的左边，由平行轴定理若将转轴移动到圆环的左边，由平行轴定理圆环的转动惯量是多少？圆环的转动惯量是多少？232222mRmRmRJ7例例2、求质

5、量为、求质量为m，长度为长度为l的均匀细棒，的均匀细棒，对下列转轴对下列转轴C、G、H的转动惯量。的转动惯量。GHCx2/ lh解：设棒的线密度为解：设棒的线密度为，由转动惯量的定义式，由转动惯量的定义式dxxJ2对对C点：点：2/2/2llCdxxJ对对G点点：lGdxxJ02对对H点点332/)2/(32/)2/(2)2()2(331hlhlxdxxJhlhlhlhlH12)2(3231232/2/3mllxll3)(3312303mllxl2212mhml平行轴定理平行轴定理8上面的第上面的第3个计算结果是一个普遍的结果：称为平行轴个计算结果是一个普遍的结果：称为平行轴定理。定理。即：若

6、质量为即：若质量为m的刚体绕一通过刚体质心的转轴的转的刚体绕一通过刚体质心的转轴的转动惯量为动惯量为Jc,则绕一与过质心的转轴平行的另一转轴的则绕一与过质心的转轴平行的另一转轴的转动惯量转动惯量J为为 J= Jc+mh2。（。（h是新转轴到过质心转轴是新转轴到过质心转轴的距离。）的距离。）9设棒的长度为设棒的长度为l，据上面的结果，下图的转动惯量是多，据上面的结果，下图的转动惯量是多少？。少？。10转动定律的应用：转动定律的应用：刚体绕定轴转动的转动定律为刚体绕定轴转动的转动定律为 M=J例例3、一均匀圆盘质量为、一均匀圆盘质量为m0，半径为，半径为R,可绕其圆心转动。圆盘边缘绕有一轻绳，可绕

7、其圆心转动。圆盘边缘绕有一轻绳，受到向下的张力受到向下的张力F,求圆盘的角加速度，求圆盘的角加速度，以及圆盘边缘的切向加速度。若轻绳下以及圆盘边缘的切向加速度。若轻绳下挂一质量为挂一质量为m的物体时情况如何？的物体时情况如何？mg2021RmJFRMRmF0202mFRatF11将其分为两个部分将其分为两个部分,分别列出运动方程：分别列出运动方程：Tmg)2() 1 (JTRmaTmg2RJaRJT由（由（2）式解出）式解出T 得：得：2/02mmmgRJmmga)2/(/0mmRmgRa如果令如果令 mg=F 则：则：2/0mgFFa)2/(0mgTRF12刚体绕定轴转动的动能定理：刚体绕定

8、轴转动的动能定理：dJA刚体的转动动能为刚体的转动动能为221JEk22222221)(21)(2121iiiiiikVmrmrmJE由由 A=Md得得 0dJddtdJ2022121JJ在机械能守恒定律中，刚体定轴转动的动能由上式在机械能守恒定律中，刚体定轴转动的动能由上式计算。计算。13例例4 4、一根长为、一根长为l、质量为、质量为m m的均匀细直棒，其一端有一固定的光的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆置，求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。角时的角加速度和角速度。

9、解：棒下摆为加速过程，外力解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对矩为重力对O O的力矩。的力矩。 在棒上在棒上取质元取质元dm,dm,当棒处在下摆当棒处在下摆 角时，角时，质元的重力为：质元的重力为： XOdmgdmldM=ldm g sin(900-) =gldlcos()cos21cos21cos20mglglgldlMl由由 M=J 得：得：lgmlmglJM2cos33/2/cos214接下来求接下来求，由由dddtddddtd得得lgdd2cos3两边乘以两边乘以d后积分得：后积分得：2021dlgsin3用能量守恒原理也可以解出用能量守恒原理也可以解出由于均匀细棒的质心在由于均匀细棒

10、的质心在 l/2 处，下降时重力做的功为下降时重力做的功为: :sin2lmgA lgImglsin3sin把左边的式子平方后对把左边的式子平方后对t求求导可得导可得02cos3dlglg2sin3222)31(2121mlJ15刚体的角动量定理、角动量守恒定律刚体的角动量定理、角动量守恒定律由转动定律由转动定律dtdJJM两边乘以两边乘以dt并积分并积分000JJJddtdtdJMdttt上式称为刚体定轴转动的角动量定理，其中上式称为刚体定轴转动的角动量定理，其中ttMdt0是合力矩对时间的积分，称为冲量矩。是合力矩对时间的积分，称为冲量矩。J称为刚体的动量矩，或角动量。常称为刚体的动量矩，

11、或角动量。常用用 L 表示。表示。注意：单个质点绕轴运动时，其角动量为该质注意：单个质点绕轴运动时，其角动量为该质点的位置矢量与动量的叉乘。点的位置矢量与动量的叉乘。rvmprL刚体做定轴转动时，刚体做定轴转动时，P与与r垂直时垂直时 L= rmv= mr2= J16当系统由多个刚体组成时，合外力矩的冲量矩等于系统总角动当系统由多个刚体组成时，合外力矩的冲量矩等于系统总角动量的增量。量的增量。0jjiLLdtM由于由于 Mi 可以分解为内力与外力产生的力矩，内力矩的矢量和可以分解为内力与外力产生的力矩，内力矩的矢量和总是为总是为0，可以得到系统的角动量守恒定律。，可以得到系统的角动量守恒定律。

12、若系统的合外力矩为若系统的合外力矩为0时，系统的总角动量守恒。时，系统的总角动量守恒。 0iM时时即即：0jjLL注意：注意：1）对于一个做定轴转动的刚体，合外力矩为）对于一个做定轴转动的刚体，合外力矩为0时，角动时，角动量保持不变。刚体依靠惯性做匀角速运动。量保持不变。刚体依靠惯性做匀角速运动。 2）对于由若干个物体组成的系统，在满足角动量守恒）对于由若干个物体组成的系统，在满足角动量守恒的条件下，使系统的转动惯量减小，其角速度将增大。转动惯的条件下，使系统的转动惯量减小，其角速度将增大。转动惯量增加，则角速度将减小。量增加，则角速度将减小。17例例5、在一光滑的水平桌面上，用轻绳的一头拴着

13、一个、在一光滑的水平桌面上，用轻绳的一头拴着一个做匀速圆周运动的小球，小球的质量为做匀速圆周运动的小球，小球的质量为m、速度为、速度为V0、运动半径为运动半径为R。绳的另一端穿过桌面上的小孔，现向下。绳的另一端穿过桌面上的小孔，现向下拉绳子使其运动半径减小到拉绳子使其运动半径减小到r，求小球的速率和角速度。，求小球的速率和角速度。这个过程能量是否守恒？这个过程能量是否守恒？F0VR解：由角动量守恒定律解：由角动量守恒定律RmV0= r mV0VrRV 02VrR这个过程能量不守恒。这个过程能量不守恒。18拉力拉力F做的功为做的功为rRrRrRdrrRVmdrVrRmrdrmrA32020221)()(2022020220212121)(2121)(mVmVmVVrRmrRVmrRdrmrFdrrdrrFrdFdA219例例6、长为、长为2L质量为质量为m的匀质细棒，可在竖直平面内绕的匀质细棒，可在竖直平面内绕过中心的水平轴无摩擦地转动。开始时棒静止在水平过中心的水平轴无摩擦地转动。开始时棒静止在水平位置。一质量为位置。一质量为m