解析几何综合题型分析及解题策略

1、个人收集整理 勿做商业用途专题四：解析几何综合题型分析及解题策略【命题趋向】纵观近三年的高考题,解析几何题目是每年必考题型, 主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合,如 08 年 08 年江西理 7 文 7 题 （5 分）是基础题，考查与向量的交汇、 08年天津文 7题（5分）是基础题,考查圆锥曲线间的交汇、 08年08徽理 22题（12 分 ）难度中档偏上，考查圆锥曲线与向量、直线与圆锥曲线的综合、08 年福建 21 题（12 分）难度中档偏上 ,考查圆锥曲线与不等式的交汇、 08年湖北理 19 题（12 分）中等难度，考查直线、 圆与圆锥曲线的综合题、 08 年江苏 21题（

2、 12 分）中档偏下题，考查解析几何与三角函数的 交汇，等等 .预计在 09 年高考中解答题仍会重点考查直线与圆锥曲线的位置关系，同时可 能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问,第（ 1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第 （2） 问主要涉及最值问题、定值问题、 对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等。这类问题综合性大，解题时需根 据具体问题 ,灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等 式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系。这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问

3、题”的思想。个人收集整理，勿做商业用途个人收集整理，勿做商业用途【考试要求】1掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据 直线的方程判断两条直线的位置关系2了解线性规划的意义，并会简单的应用 3掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程 4掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程 5掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质 6掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质【考点透视】解析几何是高中数学的重要内容， 包括直线和圆与圆锥曲线两部分 ,而直线和圆单独命为 解答题较少， 只有极个别的省市高考有出现

4、 ,而圆锥曲线是解析几何的核心内容， 每年在全国 及各省市的高考中均出现 .主要考查热点 :（1）直线的方程、斜率、倾斜角、距离公式及圆的方程； （2）直线与直线、直线与圆的位置关系及对称问题等； （ 3）圆锥曲线的定义及标准方程 ;（ 4）与圆锥曲线有关的轨迹问题 ;个人收集整理 勿做商业用途（5）与圆锥曲线有关的最值、定值问题；（ 6）与平面向量、数列及导数等知识相结合的交汇试题.【典例分析】题型一 直线与圆的位置关系此类题型主要考查 :（ 1）判断直线与圆的三种位置关系是：相离、相切、相交；（2）运用三种位置关系求参数的值或取值范围； （3）直线与圆相交时，求解弦长、弦的中点问题及 轨迹

5、问题 .【例1】 若直线3x + 4y+ m= 0=0与圆x2 + y2 2x + 4y + 4 = 0没有公共点，则实数 m 的取值范围是 .【分析】 利用点到直线的距离来解决。【解】 圆心为 （1， 2），要没有公共点，根据圆心到直线的距离大于半径，得d =错误！ r= 1,即 | m 5 | 5, m （ g, 0 ）U （10, + ）【点评】解答此类题型的思路有：判别式法（即方程法），平面几何法（运用 d与r的关系），数形结合法。由于圆的特殊性（既是中心对称图形又是轴对称），因此解答直线与圆的位置关系时一般不利用判别式法，而利用平面几何法求解，即利用半径r、圆心到直线的距离 d 的求

6、解。题型二 圆锥曲线间相互依存 抛物线与椭圆、双曲线的依存关系表现为有相同的焦点、准线重合、准线过焦点等形式,只要对三种圆锥曲线的概念与性质掌握得好,处理这类问题的困难不大。【例2】（2009届大同市高三学情调研测试 ）设双曲线以椭圆 错误! +错误! = 1长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点 ,则双曲线的渐近线的斜率为（）A .戈B . 昔误！C. 昔误！D . 昔误！【分析】 根据椭圆的两个端点坐标确定双曲线的焦点坐标 ,再根据椭圆的焦点得到双曲 线的准线方程，由此得到关于双曲线关于 a、c的值，进而得到b的值，再进一步求得渐近线 的斜率。【解】由椭圆方程知双曲线的焦点为 （5, 0

7、）,即c= 5,又同椭圆的焦点得 错误！ = 4,所以a= 2错误！，则b=错误！=错误！，故双曲线渐近线的斜率为 昔误！ = 昔误！，故选D.【点评】 本题主要考查椭圆与双曲线的标准方程、几何性质及相关几何量之间的相互 关系 .本题主要体现为有相同的焦点、准线重合、准线过焦点等形式的圆锥曲线间交汇,解答 时主要根据这两种曲线的相同点建立关于基本量a、 b、 c、 p 之间的方程,再通过解方程求出相关基本量值,进而求取相关的问题。题型三 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系主要考查三种题型：一是判断已知直线与已知曲线的位置关 系；二是根据直线与圆锥曲线的位置关系 ,求直线或曲线方

8、程的参数问题 ;三是求直线与圆锥 曲线相交时所得弦长、 弦的中点及轨迹问题等。 解答此类题型的一般方法化为二次方程 ,利用 判别式与韦达定理来求解。【例3】（2009届东城区高中示范校高三质量检测题）已知中心在原点的双曲线C的 个人收集整理勿做商业用途右焦点为（2, 0）,实轴长为2错误！.（I）求双曲线 C的方程；（H）若直线I: y= kx +错误! 与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；（川）在（H）的条件下，线段 AB的垂 直平分线Io与y轴交于M（0 , b）,求b的取值范围.【分析】第（1）小题利用直接法求解；第（H）小题将直线与双曲线方程联立消去y,然后利用判别式及韦达定

9、理求解；第（川）小题须利用 垂直与平分”联系两条直线斜率间的关系及中点坐标公式建立 b关于斜率k的表达式，结合第（n ）小题k的范围求解。【解】（I）设双曲线方程为 错误！错误！ = 1 （ a 0, b 0）,由已知，得a=错误！，c= 2, b2= c2 a2= 1，故双曲线方程为 错误! y2= 1。（n）设 A（xa, yA） , B（xb, yB ）,将 y= kx+错误!代入错误! y2= 1,得（1 3k2） x2 6错误! kx 9 = 0.由题意知 错误!错误!，解得，错误! k 1 .当错误！ k 1时，I与双曲线左支有两个交点.（川）由（n）得：xa + xb =错误！，

10、二 yA + yB=（ kxA+ 2 ） + （kxB+ 错误!）= k（XA+ xb）+ 2 2=错误！. AB中点P的坐标为（错误!，错误!）.设10方程为：y=-错误!x + b,将P点坐标代入10方程，得b=错误！.错误！ k 1, 2 1 3k2 0 , k2v 骨, k工0, 0 v k2v 错误!, k2+ 3 ( 3,错误!) ,错误！错误！ ( 8,错误！)。【点评】本题主要考查向量的坐标运算及几何意义、轨迹的直接求法、不等式的解法，个人收集整理勿做商业用途考查设而不求法”结合二次方程的判别式及韦达定理在解决直线与圆锥曲线位置关系中的应 用，同时考查函数与方程的思想、转化的思

11、想以及逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想 方法应用能力。本题解答有两个关键：（1）对条件中的向量关系的转化；（2）建立疋 错误咲于直线斜率k的函数。解答本题还有一个易错点：忽视直线与圆锥曲线相交的条件限制，造成所求范围扩大题型六圆锥曲线与数列的交汇此类试题主要体现为以解析几何中的点的坐标为数列，或某数列为圆锥曲线方程的系 数，或以直线与圆及圆锥曲线的弦长构成数列等解答时一般须根据解析几何的知识确定数列的通项或递推关系，进而利用数列的知识作答。例6 （2009届渭南市咼三教学质量检测）已知双曲线 a* iy2 anx2= an ian的一个焦点为 （0,错误!），一条渐近线方程为y =错误！x

12、,其中an是以4为首项的正数数列。（I）求数列 Cn的通项公式；（n ）求数列错误!的前n项和Sn.【分析】将焦点坐标与双曲线实轴与短轴的关系建立Cn与an、an 1的等式，再利用渐近线的斜率与实轴与短轴的可判断数列 an为等比数列，由此可求得an的表达式,进而求得cn的通项公式，由此解决第 （I）小题；第（n）小题利用第（I）的结果确定数列错误!的通项 公式，根据公式特点选择利用错位相减法求解【解】 （I ） 双曲线方程 错误！一错误！ = 1的焦点为（0,错误!） , Cn= an+ an 1,又一条渐近线方程为y=.2x，即错误！=错误！，错误！ = 2,又a1 = 4, an= 4 2

13、n 1= 2n+1,即 Cn= 2n+1+ 2n= 3 2n。（n ） 错误！ = n 2n,. Sn= 1 2 + 2 22 + 3 23+ n 2n 2Sn= 1 22 + 2 23 + 3 24 + + （n 1） 2n+ n 2n+1由一得一Sn= 2 + 22 + 2n n 2n+1,S=错误！ + n 2 n+1 = 2 2 n+1 + n 2 n+1。【点评】本题主要考查双曲线的几何性质、等比数列的定义和通项公式及利用错位相减法，同时考查转化思想及解答综合处理交汇试题的能力。本题是一道与数列相结合的一道 综合题，但难度并不大解答本题注意两点基本知识及方法的应用：（2）通过双曲线的

14、焦点坐标与渐近线方程建立等式；（2 ）利用错位相减法求解求和。个人收集整理勿做商业用途【专题训练】一、选择题1设x,y R，且2y是1+ x和1-x的等比中项，则动点(x ,y)的轨迹为除去x轴上点的()A .一条直线B .一个圆C.双曲线的一支D .一个椭圆2. 已知 ABC 的顶点 A (0, - 4), B (0,4)，且 4 (sinB sinA)= 3sinC,则顶点 C 的轨迹方程是()A .错误！错误！ = 1 (x 3)B .错误！错误！ = 1 ( x错误!)C.错误！错误！ = 1(y 3)D .错误！错误！ = 1 (yv错误！)3. 现有一块长轴长为10分米，短轴长为8

15、分米，形状为椭圆的玻璃镜子，欲从此镜中划块面积尽可能大的矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为()A . 10平方分米B . 20平方分米C. 40平方分米 D . 41平方分米94. 设A(X1,y1), B(4,5)，C (X2, y2)是右焦点为F的椭圆错误！ +错误！ = 1上三个不同的点，则AF|, |BF | , |CF丨成等差数列”是“x + X2= 8”的()A .充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既非充分也非必要5.直线l:y = k(x 2)+ 2 与圆 C:x2+ y22x 2y = 0相切，则直线l的一个方向向量错误！=( )A .(2, 2)B . (

16、1 , 1)C.(3, 2)D . ( 1,错误!)6.已知椭圆E的离心率为e,两焦点为F1, F2,抛物线C以F1为顶点，F2为焦点,P为两曲线的一个交点，若JPF=L = e,则e的值为()I Pf2|A .错误！B .错误！C.错误！D .错误！个人收集整理勿做商业用途7椭圆错误！ +错误！ = 1（a b 0）的左、右焦点为Fi, F2,过Fi的直线I与椭圆相交于 A、B 两点.若/ AF1F2 = 60，且错误！错误！ = 0,则椭圆的离心率为（）A 错误！ + 1B 错误!- 1C. 2错误！D 4 错误！&如图一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使

17、M与F重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设CD与OM交于P,则点P形成的图形是（）A 椭圆B 双曲线C .抛物线D 圆9. 如图，P是椭圆错误！ = 1上的一点，F是椭圆的左焦点，且错误！=错误！（错误！ +错误！），错误！|= 4，则点P到该椭圆左准线的距离为A 6B 4C 3D 错误！10. （理科）设X1,X2 R, a O,定义运算A . y2 = 4axB y2 = 4ax(y 0)则动a)C. y2= 4axy2= 4ax (y 0)D.11设集合 A = (x, y)|x, y, 1 x y是三角形的三边长所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是A.)C.B.yA0.50.512

18、 .在平面直线坐标系xoy中，已知 ABC的顶点(4, 0)和(4, 0),顶点B在椭圆错误! +错误! = 1 上,则错误!=点P （x, x * a）的轨迹方程为个人收集整理勿做商业用途A .错误！B .错误！C.错误！D .错误!错误！ +错误！ = 1的右焦点重合，则p的值为二、填空题13 .若抛物线 y2= 2px ( p 0)的焦点与椭圆14. 若点(1, 1)到直线xcos a ysin a 2的距离为d,贝U d的最大值是 。x215. 椭圆务+错误！ = 1(ab 0)的左、右焦点为 R,F2,过F1的直线l与椭圆相交于 A、Ba两点。若/ AFjF2= 60，且错误！错误！

19、a 0,则椭圆的离心率为 .16 .设A (1, 0),点C是曲线ya错误!(0 a2 an 0, O Ck( k a 1,2,n都与x轴相切，且顺次逐个相邻外切(I)求由a1,a2,， an构成的数列 an的通项公式；(n )求证：a错误！ + a错误！ + a错误！ v错误!.19. (08年泰兴市3月调研)已知O O:x2+ y2a 1和定点A(2,1)，由O O外一点P(a, b)向O O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=| PA|。(I )求实数a, b间满足的等量关系；(n)求线段PQ长的最小值;时O P的方程。(川)若以P为圆心所作的OP与O O有公共点,试求半径最小值20.

20、 已知定点A ( 2, 4),过点A作倾斜角为45的直线I，交抛物线个人收集整理 勿做商业用途y2= 2px(p 0)于 B、C 两点，且丨 BC|= 2错误！.(I)求抛物线的方程；(H)在(I)中的抛物线上是否存在点D,使得|DB | = | DC丨成立？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由.21已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 M(1,2 )，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的 对称轴是坐标轴，抛物线的顶点是坐标原点.(I )求这三条曲线的方程；(n)已知动直线 l 过点 P(3， 0)，交抛物线于 A、 B 两点，是否存在垂直于 x 轴的直线 l 被以 AP 为直径

21、的圆截得的弦长为定值 ？若存在，求出I的方程；若不存在，说明理由。22.椭圆C:错误！ +错误！ = 1(a b 0)的两个焦点为Fi、F2,短轴两端点 Bi、B2，已知Fi、F2、Bi、B2四点共圆，且点 N(0, 3)到椭圆上的点最远距离为5错误！。 ( I )求此时椭圆C的方程；(H)设斜率为k(k丰0的直线m与椭圆C相交于不同的两点E、F,Q为EF的中点 问E、F两点能否关于过点 P ( 0,错误！)、Q的直线对称？若能，求出 k的取 值范围；若不能，请说明理由.【专题训练】参考答案一、选择题1. D【解析】由题意得(2y) 2= (1 + x) (1 - x)，即 x2+ 4y2=

22、1。个人收集整理勿做商业用途2. C 【解析】 由条件c=| AB| = &由正弦定理：4 (b a)= 3c= 24, b a= 6,即|CA| | CB| = 6。点C的轨迹是焦点在 y轴的双曲线上支，t a = 3,c = 4, b =错误！， 其方程错误！错误！ = 1(y 3)。3. C【解析】设椭圆方程为错误！ +错误！ = 1, P(5cos , 4sin ), Q ( 5cos , 4sin ),R(5cos , 4sin )是矩形的三顶点，则 S矩形=| 10cos | |8sin | = 40|sin2 | |OF|,根据椭圆定义知 P形成的图形是以O、F为焦点的椭圆。9.

23、 D【解析】由OQ =错误！(错误！ +错误!)，得Q是PF的中点又：|错误！ |= 4,所以P点到右焦点F的距离为8,二| PF |= 2 5 8 = 2,又错误！ = e=错误!(d表示P到椭圆左准线的距离), d=错误!。10. B【解析】设P(x,y)，则y =错误！=错误！=错误！，即y2= 4ax (y0).11. A【解析】由构成三角形的条件知 错误！错误!,即错误！错误！，易知选A.12. C【解析】由双曲线方程及定义| BC |+ |AB | = 10, |AC | = 8,根据正弦定理知 错误！=错误!=错误!。二、填空题13. 4【解析】抛物线的焦点为(错误!,0),椭圆

24、的右焦点为(2, 0)，则由错误！ = 2,得p =4。14. 2 +错误！【解析】d = |cos a ysin |= |错误！sin(七错误!) 2 |，当 sin(七错误!) =1时，d的最大值是2 + 2。15. 错误! 1【解析】错误！错误！ = 0,.AF1 丄 A2F,vZ AF1F2 = 60 ,二| F1F2|=2|AF1|,| AF2| =错误!|AF1|,. 2a= |AF1|+ |AF2 |, 2c= IF1F2 | ,e=错误!=错误!=错误!个人收集整理勿做商业用途-1.16. 2cos2B+ 2cos 9F 1,灰(错误！，错误!)【解析】根据条件知/ COA =

25、 180 2 0且 灰(错误!，错误!),则点 C (cos(180 2 0), sin(180 2 0),即 C ( cos2 0, sin2 0,)则 |AC | + | CD |=错误! cos2 爭一2cos2 0+ 2cos 9F 1, 0 (错误！，错误!).三、解答题17. 解析】(I)依题知圆O的半径r等于原点O到直线x 3y = 4的距离，即r =错误!=2,圆O的方程为x2 + y2= 4.(H)不妨设 A (X1, 0), B(x2, 0) ,X1X2，由 x2= 4 即得 A( 2, 0), B(2 , 0),设P(x, y),由|PA, |PO |,| PB |成等比

26、数列，得错误!错误! = x2 + y2,即 x2 y2= 2,PA错误! = ( 2 x, y)(2 x, y) = x2 4 + y2= 2(y2 1),由于点P在圆O内，故错误!错误！,由此得y2 1,又T y2Q所以错误！错误！的取值范围为 一2,0 .18. 解析】 设相邻两圆心为 Ck(xk, x2, k), Ck+1 (xk,xk+1),相应的半径为rk, rk+1，则rk = x令昔误!, rk+1 = x令昔误!, rkrk+1,如图，作 Ck+1Bk丄AkCk于 Bk,则 | CkCk+1|2| CkBk | 2 =| AkAk+1爪CkCk+1Ak+1即g+ rk+1)2

27、 (rk rk+1)2= (x Xk+1) 2，错误！一错误! = 2, 错误!是首项为4,且公差为2的等差数列， Xk=错误!.1/ ( k+ 12)错误!=错误！一错误！， x2, 1 + x2 + xn=错误！错误！ +错误！ +错误！错误！ (1 错误！ +错误！错误!+错误！错误!)=错误!(1 错误!)错误!.19. 解析】(1)连OP,t Q为切点，PQ丄OQ,由勾股定理有| PQ | 2=|OPF|OQ|2.又由已知 |PQ |= |PA |,故 |PQ | 2=| PA | 2, 即卩 a2+ b2 12= (a 2) 2+( b 1) 2, 化简得实数a、b间满足的等量关系

28、为：2a+ b 3= 0.(n )由 2a+ b 3 = 0，得 b= 2a + 3. | PQ |=错误！=错误！=错误！=错误！，故当a=错误时,|PQ| min =错误!错误!，即线段PQ长的最小值为 错误!错误!。个人收集整理勿做商业用途(川)设O P的半径为R, OP设O O有公共点，O O的半径为1, |R 1 | |0P| 1，且 RW | OP | + 1。而|0P| =错误!=错误!=错误!,故当a= 6时，| PQ | min = 3错误！，此时b = 2a+ 3 =错误！，R min =错误！错误! 1,55得半径取最小值O P的方程为(x 错误！)2+ (y 错误!)2

29、=(错误！错误! 1)2.20. 【解析】(I)直线I方程为y= x 2，将其代入y2 = 2px，并整理 得x2 2 (2+ p)x + 4 = 0，/ p0,.山=4 (2+ p) 2 160,设 B (X1, y1)、C ( X2, y2), X1 + X2= 4 + 2p, X1 X2= 4,|= 2 10,而 | BC| =错误! | X1 x2 | , 2 2错误!= 2错误！，解得p = 1,.抛物线方程y2= 2x.(H)假设在抛物线 y2= 2x上存在点D(X3, y3),使得| DB |= |DC |成立，记线段 BC 中点为 E(X0, y0)，则 | DB | = |

30、DC| DE 丄 BC kDE =错误！ = 1,当 p= 1 时，式成为 x2 6x + 4= 0,. X0=错误！ = 3, y0= x0 2 = 1,点D (X3,y3)应满足错误!错误！，解得错误!错误！或错误!错误!.存在点D(2 , 2)或(8, 4)，使得| DB| = |DC|成立.21. 【解析】(I )设抛物线方程为y2= 2px(p 0)，将点M (1, 2)坐标代入方程得 p= 2, 所以抛物线方程为=4xo由题意知椭圆、双曲线的焦点为 F1( 1, 0), F2(1, 0)，所以c= 1,c = 1 ,对于椭圆,2a =|MF1|+| MF2|=(1 + 1)2 + 22 + 错误！