D5定积分习题课

1、第五章第五章 定积分习题课定积分习题课1定积分的定义：定积分的定义： 2定积分的几何意义：定积分的几何意义： badxxfA)(用图表示用图表示:一、定积分的概念与性质一、定积分的概念与性质 xy( )yf x0ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 (2)近似近似: ;(3)求和求和;(4)取极限取极限定积分定义的四要素：定积分定义的四要素：(1)分割分割: ;nixxii, 2 , 1 ,1 1 iiixxx 01()lim()nbiiaifx dxfx ), 2 , 1 ,max(nixi 3可积的充分条件可积的充分条件 若若 在区间在区间 上连续，则上连续，则 在在 上可积上可积. ( )f

2、 x ba,( )f x ba, 若若 在区间在区间 上有界，且只有限个间断点，上有界，且只有限个间断点， 则则 在在 上可积上可积. ( )f x ba,( )f x ba,4定积分的性质定积分的性质反号性：反号性： dxxfdxxfabba )()(与积分变量无关性：与积分变量无关性： ( )( )bbaaf x dxf t dt 线性性质：线性性质： 1212( )( )( )( )bbbaaak f xk g x dxkf x dxkg x dx 区间可加性区间可加性: ( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx 区间长：区间长： 1badxba保号性：如果在区

3、间保号性：如果在区间 上上, ，则，则 ba,( )0f x ( )0 baf x dx 单调性：如果在区间单调性：如果在区间 上上, 则则 ba,)()(xgxf ( )( )bbaaf x dxg x dx 估值定理：设估值定理：设 和和 分别是函数分别是函数 在区间在区间 上的上的 最大值和最小值，则最大值和最小值，则Mm)(xf ba, baabMdxxfabm)()()( )aaf x dx 奇偶对称性：若奇偶对称性：若 在在 上连续，则上连续，则 )(xf aa, )(xf是奇函数是奇函数 )(xf是偶函数是偶函数02( ),af x dx 0，定积分中值定理：如果函数定积分中值定

4、理：如果函数 在闭区间在闭区间 上连续上连续, 则至少存在一点则至少存在一点 ,使下式成立：使下式成立： )(xf ba,( , )a b ( )( )()baf x dxfba 周期函数性质：周期函数性质： 0a TTafx dxfx dx 三角函数性质：三角函数性质： 2200sincosfx dxfx dx 00sinsin2xfx dxfx dx 二、积分上限函数与牛顿二、积分上限函数与牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式 1积分上限函数：积分上限函数： xadttfxF)()(设函数设函数 在区间在区间 上连续，则称上连续，则称)(xf ba,(定积分与积分变量记法无关定积分与积分变量记法无

5、关)()(xfdttfdxdxa (1) (2) ).()()()(xxfdttfdxdxa (3) ( )( )( )( )( )( )( )xxdf t dtfxxfxxdx 2积分上限函数的微分积分上限函数的微分3牛顿牛顿莱布尼兹公式：莱布尼兹公式：若函数若函数 为连续函数为连续函数 在区间在区间 上的一个原函数，则上的一个原函数，则 )(xF)(xf ba, baaFbFdxxf)()()(三、定积分的计算方法三、定积分的计算方法求定积分的总体原则：先求被积函数求定积分的总体原则：先求被积函数 的原函数的原函数 ,然后利用牛顿然后利用牛顿莱布尼兹公式计算，即莱布尼兹公式计算，即 )(x

6、f)(xF baaFbFdxxf)()()(2分部积分法：分部积分法： bababavduuvudv（2）变量置换法：函数）变量置换法：函数 满足条件：满足条件： )(tx ( ), a b )( dtttfdxxfbatx)()()()( 1换元积分法换元积分法（1）凑微分法：）凑微分法： babaxdxfdxxxf)()()()( 五、典型例题五、典型例题【例例1】利用定积分几何意义求定积分：利用定积分几何意义求定积分： 120(1)1x dx 21(2)x dx 【例例2】设设 ，问，问 取何值时，积分取何值时，积分 取得最大值？取得最大值？ab , a b 2baxxdx 【例例3】估

7、计积分值：估计积分值：313(2)arctanxxdx 5244(1)1sin x dx 【例例3】设设 , 求求 21,1( )1,12xxf xxx 20)(dxxf解解:21220011( )(1)2f x dxxdxx dx 1223101=26xxx83 【例例4】设设 求求 2,1( ),2,1xxf xxx 21)1(dxxf分析：利用变量代换将分析：利用变量代换将 在在 上的定积分上的定积分 化为化为 在在 上的定积分再计算。上的定积分再计算。 )1( xf 2 , 1 ( )f t 3, 0解解:设设 ,则则1 xtdxdt 13321011 =2323xxx 13201 =

8、(2)x dxx dx dxxfdttfdxxf 303021)()()1(【例例6】设设 ,求求 2)(xexf dxxfxf 10)()(解解:1100( )( )( ) ( )fx fx dxfx d fx 由由 , 得得2)(xexf 22)(xxexf 则则12)1(, 0)0( eff所以所以120( )( )2fx fx dxe 12220( )(1)(0)22fxff 【例例7】求定积分求定积分 411xdx解解:设设 ,则则ux 2,2.xu dxudu4211211dxuduux 212=2ln(1)2 1ln3uu 211121uduu 【例例8】计算定积分计算定积分 )

9、0(0222 adxxaxa解解: 令令 则则sin ,xat cos .dxat 22222200sincoscosaxax dxat at atdt 44201 sin48416aatt 4201cos442atdt .2t 当当 时时, 当当 时时, 0 x0;t ax 42220sincosattdt 4220sin 24atdt 【例例9】计算定积分计算定积分 10arctanxdxx解解: 101arctan82xx 21100arctanarctan()2xxxdxxd 12212001arctan221xxxdxx 12011(1)821dxx 11(1)82442 【例例10

10、】求定积分求定积分 3434(1arctan ) 1cos2xxdx 分析：由于积分区间为对称区间，可考虑被积函数是否分析：由于积分区间为对称区间，可考虑被积函数是否具有奇偶性或部分具有奇偶性具有奇偶性或部分具有奇偶性解解: 原式原式24022 2cos2 2( cos )4 22xdxx dx 334433441cos2arctan1cos2xdxxxdx34341cos2xdx 34021cos2xdx 34022 cos x dx 【例例11】设设 求求324,1xxdtut dxdu解：因为解：因为 3241xxdtut 所以所以21283211duxxdxxx234400 11xxd

11、tdttt 32044011xxdtdttt 【例例13】求极限求极限 4002arctanlimxtdtxx 解解:4002arctanlim xtdtxx 2302 arctanlim4xxxx 220arctanlim2xxx 2201lim22xxx易错提醒：在求含有积分上限函数的极限时，一定要验证易错提醒：在求含有积分上限函数的极限时，一定要验证是不是未定式，若不是，不能应用罗比塔法则。如是不是未定式，若不是，不能应用罗比塔法则。如 2004coslim0.11xxxdtt 分析：极限为分析：极限为 型未定式，应用罗比塔法则。型未定式，应用罗比塔法则。00【例例16】设设 1sin ,0.( ),20,0 xxf xxx 或或分析：求分段函数的变上限积分的题型，其解法是：按与被分析：求分段函数的变上限积分的题型，其解法是：按与被积函数相同的分段依次讨论，计算中使用定积分的可加性。积函数相同的分段依次讨论，计算中使用定积分的可加性。所以，应分段求所以，应分段求 的表达式的表达式 )(xF当当 时，时，0 x 0( )( )xF xf t dt xdt000 求求 在在 内的表达式内的表达式0( )( )xF xf t dt ,解：在解：在 的定义