chapter7氢原子

1、第六章第六章 氢原子氢原子6.1 中心力问题中心力问题6.2 两粒子问题约化为一粒子问题两粒子问题约化为一粒子问题6.3 氢原子氢原子6.4 氢原子束缚态波函数氢原子束缚态波函数6.5 类氢原子波函数和电子云图形类氢原子波函数和电子云图形6.1 中心力问题中心力问题 中心力中心力是由球对称的势能函数而来的力，即：势是由球对称的势能函数而来的力，即：势能函数只是质点与原点间距离能函数只是质点与原点间距离r的函数。的函数。V=V(r) 对于受到中心力的单粒子体系。其哈密顿算符为：对于受到中心力的单粒子体系。其哈密顿算符为： rV2mH22 将拉普拉斯算符的球极坐标形式代入上式得到哈将拉普拉斯算符的

2、球极坐标形式代入上式得到哈密顿算符的球极坐标形式。密顿算符的球极坐标形式。6.1 中心力问题中心力问题2222222222r1r1r1rr2rsinctg由于：由于：22222221Lsinctg所以：所以：222222Lr1rr2r这样，哈密顿算符变为：这样，哈密顿算符变为： 16rVL2mr1rr2r2mH22222.6.1 中心力问题中心力问题 考虑，考虑，对于具有一定能量的定态，是否具有对于具有一定能量的定态，是否具有一定的角动量呢？一定的角动量呢？ 222L,VL,TL,H000L2mr1rr2r2mL2mr1rr2r2m22222222222222L,L,L,L,T 算符中只含有算

3、符中只含有和和，所以此对易子为所以此对易子为0。2L6.1 中心力问题中心力问题 由于势能函数由于势能函数V只含有只含有r，而算符，而算符 中不含中不含r，所，所以有：以有：2L02L,V这样，就得到：这样，就得到：02L,H 这意味着：当势能函数只是这意味着：当势能函数只是r的函数时，体系的函数时，体系的哈密顿算符与角动量大小的平方算符可对易，的哈密顿算符与角动量大小的平方算符可对易，这样，这样， 与与 有共同的本征函数。有共同的本征函数。2LH0zL,H另外，还可以得到：另外，还可以得到：6.1 中心力问题中心力问题因为：在哈密顿算符中只含有因为：在哈密顿算符中只含有r，而，而 中只含有中

4、只含有，所以对易子为所以对易子为0。zL这样，再根据前一章得到的：这样，再根据前一章得到的：0z2L,L这样，我们得到下列结论：这样，我们得到下列结论： ， 和和 有共同的本征有共同的本征函数。用函数。用来表示它们的共同的本征函数，有：来表示它们的共同的本征函数，有：2LHzL6.30,1,2,l,1llL226.1 中心力问题中心力问题l2,1,0,m,mLz26EH.6.2 中心力问题中心力问题 的本征函数是球谐函数，以及由于算符的本征函数是球谐函数，以及由于算符 不含不含有有r，所以，用，所以，用r的任一函数乘以球谐函数所得新函的任一函数乘以球谐函数所得新函数仍为的本征函数。因此有：数仍

5、为的本征函数。因此有：2L2L 46,YrRml. 将将(6.1)、(6.3)以及以及(6.4)代入代入(6.2)式中，整理，式中，整理，得到：得到： 56rERRrVR2mr1llRr2R2m222. 6.1 中心力问题中心力问题 这样，我们证明了对于在中心力中运动的任这样，我们证明了对于在中心力中运动的任意单粒子的波函数是径向因子和球谐函数的乘积。意单粒子的波函数是径向因子和球谐函数的乘积。径向因子径向因子R(r)满足满足(6.5)式。对于特定体系有一确定式。对于特定体系有一确定的势能函数的形式，从而可以通过求解方程的势能函数的形式，从而可以通过求解方程(6.5)以以得到体系具体的解。得到

6、体系具体的解。 考虑质量为考虑质量为m1和和m2的两粒子的经典处理。用的两粒子的经典处理。用从笛卡儿坐标的原点作出的矢径从笛卡儿坐标的原点作出的矢径 和和 来指明它们来指明它们的位置。如右图所示：的位置。如右图所示： 粒子粒子1和粒子和粒子2的坐标分别为的坐标分别为(x1,y1,z1)和和(x2,y2,z2)。由粒子。由粒子1到粒子到粒子2作矢量作矢量 ，并把，并把 的分量表示为：的分量表示为：6.2 两粒子问题约化为一粒子问题两粒子问题约化为一粒子问题1r12rrrr121212zzz ,yyy,xxx2r6.2 两粒子问题约化为一粒子问题两粒子问题约化为一粒子问题 坐标坐标x，y和和z叫做

7、相对坐标。现在作从原点到质叫做相对坐标。现在作从原点到质心心C点的矢量点的矢量 ，并把，并把C点的坐标表示为点的坐标表示为X，Y和和Z：RkZjYiXR 根据质心的定义，可以给出：根据质心的定义，可以给出：212211212211212211mmzmzmZ,mmymym,YmmxmxmX 即：即：66mmrmrmR212211.另外有：另外有：76rrr12.6.2 两粒子问题约化为一粒子问题两粒子问题约化为一粒子问题联立上述两个等式，我们就得到：联立上述两个等式，我们就得到：rmmmRr2121rmmmRr2112 (6.6)和和(6.7)式表示从式表示从x1,y1,z1,x2,y2,z2到

8、到X,Y,Z,x,y,z的的坐标变换。坐标变换。接下来考虑在上述坐标变换下哈密顿函数有何变化。接下来考虑在上述坐标变换下哈密顿函数有何变化。6.2 两粒子问题约化为一粒子问题两粒子问题约化为一粒子问题2212122121121122122121222211222211rmmmm21Rmm21rmmmRrmmmRm21rmmmRrmmmRm21rm21rm21dtrdm21dtrdm21T令令MM为体系的总质量：为体系的总质量：以及两粒子体系的折合质量以及两粒子体系的折合质量为：为：21mmM2121mmmm6.2 两粒子问题约化为一粒子问题两粒子问题约化为一粒子问题则：则：86r21RM21T

9、22.第一项是质量为第一项是质量为MM的整个体系的平动的整个体系的平动具有的动能。具有的动能。第二项是两粒子内部运动的动能。内第二项是两粒子内部运动的动能。内部运动有两种形式：两个粒子之间的部运动有两种形式：两个粒子之间的距离距离r r可以改变可以改变( (振动振动) )；矢量；矢量 的方向的方向的改变的改变( (转动转动) )。r2p2MpT22M将将(6.8)(6.8)式换作动量的形式为：式换作动量的形式为：其中：其中：kzj yi xpkZMjYMiXMpM对于势能函数对于势能函数V V只是两个粒子的相对坐标只是两个粒子的相对坐标x x，y y和和z z的函数。即：的函数。即：6.2 两

10、粒子问题约化为一粒子问题两粒子问题约化为一粒子问题zy,x,VV 这样，体系的哈密顿函数可以写为：这样，体系的哈密顿函数可以写为：zy,x,V2p2MpH22M 此哈密顿函数我们可以看作是：由一个质量为此哈密顿函数我们可以看作是：由一个质量为MM而不而不受到力的粒子以及一个质量为受到力的粒子以及一个质量为并服从势能函数并服从势能函数V(x,y,z)V(x,y,z)的的粒子所组成，且这两个粒子之间无相互作用的体系的哈密粒子所组成，且这两个粒子之间无相互作用的体系的哈密顿函数。顿函数。6.2 两粒子问题约化为一粒子问题两粒子问题约化为一粒子问题 由于两个粒子之间无相互作用，可以分开处理每个粒由于两

11、个粒子之间无相互作用，可以分开处理每个粒子的运动。质量子的运动。质量MM的粒子未受到力，将只做有恒定速度的的粒子未受到力，将只做有恒定速度的平动，它对体系总能量的贡献是某一常数值。于是我们能平动，它对体系总能量的贡献是某一常数值。于是我们能分开处理质量为分开处理质量为的假象粒子的运动。的假象粒子的运动。 这样，我们把原来的二体问题约化为两个分开的一体这样，我们把原来的二体问题约化为两个分开的一体问题问题(1)(1)体系作为一个整体的平动，这只单纯地在总能量上体系作为一个整体的平动，这只单纯地在总能量上加一常数；加一常数；(2) (2) 内部运动，可用考虑一质量内部运动，可用考虑一质量的假象粒子

12、服的假象粒子服从势能函数从势能函数V(x,y,z)V(x,y,z)来处理。来处理。6.2 两粒子问题约化为一粒子问题两粒子问题约化为一粒子问题 量子力学对两个无相互作用的粒子组成体系的处理。量子力学对两个无相互作用的粒子组成体系的处理。 用用q1表示粒子表示粒子1的坐标的坐标(x1,y1,z1)和用和用q2表示粒子表示粒子2的坐标的坐标(x2,y2,z2)。令。令 和和 分别表示粒子分别表示粒子1和粒子和粒子2的哈密顿算符。的哈密顿算符。1H2H 由于粒子间无相互作用，整个体系的哈密顿算符为：由于粒子间无相互作用，整个体系的哈密顿算符为：21HHH 其薛定谔方程写为：其薛定谔方程写为：2121

13、21q,qEq,qHH 用变量分离法求解上述方程，令：用变量分离法求解上述方程，令： 221121qGqGq,q6.2 两粒子问题约化为一粒子问题两粒子问题约化为一粒子问题这样：这样： 22112211222111qGqEGqGqGHqGqGH 22112221111122qGqEGqGHqGqGHqG上式两端同除以上式两端同除以 ，得，得 2211qGqG 12222211111EqGqGHEqGqGH 21111122222EqGqGHEqGqGHEEE216.2 两粒子问题约化为一粒子问题两粒子问题约化为一粒子问题这样，我们就将两粒子问题约化为两个分开的单粒子这样，我们就将两粒子问题约化

14、为两个分开的单粒子问题：问题： 111111qGEqGH 222222qGEqGH现在我们考虑两粒子的量子力学问题。质量为现在我们考虑两粒子的量子力学问题。质量为m1和和m2的两的两个相互作用的粒子，其势能只是它们的相对坐标的函数。经个相互作用的粒子，其势能只是它们的相对坐标的函数。经过坐标的变换，我们可以将这两粒子体系变换为两个无相互过坐标的变换，我们可以将这两粒子体系变换为两个无相互作用的粒子的一个假象体系。而体系的总能量可看作是两个作用的粒子的一个假象体系。而体系的总能量可看作是两个假象粒子能量之和。一个粒子将有质量为假象粒子能量之和。一个粒子将有质量为M并将象自由粒子并将象自由粒子的运

15、动一样，可以有非负能量。第二个假象粒子将有质量的运动一样，可以有非负能量。第二个假象粒子将有质量，其哈密顿算符为：其哈密顿算符为：zy,x,V2pH26.3 氢原子氢原子 氢原子由一个质子和一个电子组成。代替只处理氢原子，氢原子由一个质子和一个电子组成。代替只处理氢原子，我们考虑更一般的问题：类氢原子我们考虑更一般的问题：类氢原子(指由一个电子和一个电指由一个电子和一个电荷为荷为Ze的核所组成的体系的核所组成的体系)。此时我们令。此时我们令(x,y,z)为电子相为电子相对于核的坐标，以及令对于核的坐标，以及令 kzj yi xr 在类氢原子中，体系的势能函数为：在类氢原子中，体系的势能函数为：

16、 rZeV2 可见，体系的势能函数只依赖于粒子的相对坐标，这样，可见，体系的势能函数只依赖于粒子的相对坐标，这样，我们对可以运用上节的结果，将两粒子问题约化为两个单我们对可以运用上节的结果，将两粒子问题约化为两个单粒子问题。一个为原子作为整体的平动运动；一个为体系粒子问题。一个为原子作为整体的平动运动；一个为体系的内部运动，我们引入质量为的内部运动，我们引入质量为的虚拟粒子，有：的虚拟粒子，有： 6.3 氢原子氢原子NeNemmmm 质量为质量为的虚拟粒子服从势能函数的虚拟粒子服从势能函数 ，其坐标，其坐标(r,)是一粒子相对于另一粒子的球极坐标，如下图：是一粒子相对于另一粒子的球极坐标，如下

17、图： rZeV2 这样，内部运动的哈密顿算符为：这样，内部运动的哈密顿算符为： rZe2H2226.3 氢原子氢原子 因为势能只是因为势能只是r的函数，所以是个单粒子中心力问题，的函数，所以是个单粒子中心力问题，运用运用6.1节得到的结果，有：节得到的结果，有： ml ,0,1,2,l ,YrR,r,ml 而径向函数满足：而径向函数满足： 9 . 6rERRrZeRr21llRr2R22222 为了书写简便，定义常数为了书写简便，定义常数a为：为：22ea6.3 氢原子氢原子 这样，这样，(6.9)式变为：式变为：6.100Rr1llar2Zae2ERr2R22 此时，如果直接给以幂级数解，我

18、们将得到一个三此时，如果直接给以幂级数解，我们将得到一个三项的递推关系式。这是我们不想看到的。为了得到二项的递推关系式。这是我们不想看到的。为了得到二项的递推关系式，我们考虑当项的递推关系式，我们考虑当r值大时解的行为。值大时解的行为。 当当r大时，大时，(6.10)时变为：时变为：0Rae2ER2 6.3 氢原子氢原子 通过辅助方程可求得，其解为：通过辅助方程可求得，其解为：11. 6rae2Eexp212 假定假定E是正的。则：是正的。则： 0E,erRr/E2i径向函数的渐进状态径向函数的渐进状态 如同自由粒子一样，氢原子的所有非负的能量值都如同自由粒子一样，氢原子的所有非负的能量值都是

19、允许的。从物理意义上讲，这些本征函数相应于电子不是允许的。从物理意义上讲，这些本征函数相应于电子不受核束缚的那些态。这样，对于受核束缚的那些态。这样，对于E0时，我们得到连续而时，我们得到连续而非分力的能量值，相应于正的能量值的本征函数称为连续非分力的能量值，相应于正的能量值的本征函数称为连续本征函数。对于连续本征函数的角度部分仍为球谐函数。本征函数。对于连续本征函数的角度部分仍为球谐函数。6.3 氢原子氢原子 接下来我们考虑氢原子的束缚态，即：接下来我们考虑氢原子的束缚态，即：E0的情况。的情况。 此时，为了使波函数在此时，为了使波函数在r趋于无穷大时有限，在趋于无穷大时有限，在(6.11)

20、式中只能取负值，为了得到一个两项递推关系式，我们式中只能取负值，为了得到一个两项递推关系式，我们将径向函数做如下代换：将径向函数做如下代换： 212crae2Ec,rKerR其中 上式对上式对r求一阶、二阶导数，将结果代入求一阶、二阶导数，将结果代入(6.10)式中，式中，整理得到：整理得到：6.120K1llr2c2ZaK2cr2rKr122 6.3 氢原子氢原子 此微分方程是有正则奇点的微分方程，因此：此微分方程是有正则奇点的微分方程，因此： 0b,rbrMrMrrK00jjjs 计算计算K和和K代入代入(6.12)式，得：式，得：6.130M1llr2cs2c2ZassM2crr22sM

21、r1222 当当r0时，有：时，有： 2102b0M,b0M,b0M 代入代入(6.13)式，得：式，得：0llssb2206.3 氢原子氢原子 求解这个关于求解这个关于s的一元二次方程，得：的一元二次方程，得：舍去1lsl,s21 这样，我们就得到：这样，我们就得到： rMrerRlcr 与此同时，微分方程与此同时，微分方程(6.13)变为了：变为了：6.140M2cl2c2ZaM2cr22lMr1 此时：此时： 0jjjrbrM6.3 氢原子氢原子0jj1j0kk1k1j1jj0j1jjrb1jrb1krjbrjbM 0j1j1j0k1k1k1j2jj0j2jjrjb1jrkb1krb1j

22、jrb1jjM 将其代入将其代入(6.14)式中，得到：式中，得到：0rb2cj2cl2ca2Zb1j1l2b1jjj0jj1j1j6.3 氢原子氢原子 为使所有的为使所有的r都满足，只有使系数全为零。从而得到都满足，只有使系数全为零。从而得到递推关系式：递推关系式：156b1j1l21jj2Za2cj2cl2cbj11j. 为使为使r趋于无穷大时波函数保持有限，只有使得这一趋于无穷大时波函数保持有限，只有使得这一级数变为有限项，设级数变为有限项，设jk时，时，bk+1，bk2，都为零。，都为零。这样，有：这样，有：0,1,2,k0,2Za2ck2cl2c16.3 氢原子氢原子 令：令：1nl

23、1,2,3,n1,lkn 则有：则有：1Zacn 将将 代入上式，得到：代入上式，得到：22ea1662enZ2aenZE2422222n.此即类氢原子束缚态的能级公式此即类氢原子束缚态的能级公式 将将 代入递推关系式，得到：代入递推关系式，得到：6.4 氢原子束缚态波函数氢原子束缚态波函数1Zacn176b2lj1jn-1ljna2Zbj1j. 为了使波函数保持有限，必须使用有限级数展开函为了使波函数保持有限，必须使用有限级数展开函数数M(r)，即函数，即函数M(r)为一个多项式，其为一个多项式，其r的最高幂次为的最高幂次为k，kn-l-1，这样，我们就得到径向函数：，这样，我们就得到径向函

24、数： 6.18rberrR1ln0njjnaZrlln,联属拉盖尔多项式联属拉盖尔多项式6.4 氢原子束缚态波函数氢原子束缚态波函数 联属拉盖尔多项式可用联属拉盖尔多项式可用 表示，表示，na2ZrL12lln na2ZreddeddLlnlnln12l12l12lln, na2Zr,LNerR12llnl2ln,归一化因子归一化因子2133!ln2n!1lnna2ZN6.4 氢原子束缚态波函数氢原子束缚态波函数 这样，氢原子的束缚态空间波函数就为：这样，氢原子的束缚态空间波函数就为： imlmnlmlnlnlme21SrR,YrR 对于类氢原子基态，对于类氢原子基态，n1，l0，m0。径向函

25、数。径向函数为：为：Zr/a010ebR 归一化，确定归一化，确定b0：1drrebdrrR022Zr/a020221,0 积分，可得：积分，可得：230aZ2b 所以，所以，Zr/a2310eaZ2R 在乘以球谐函数在乘以球谐函数Y00，就得到氢原子基态波函数为：，就得到氢原子基态波函数为：6.4 氢原子束缚态波函数氢原子束缚态波函数Zr/a23100eaZ1 对应的能量为：对应的能量为：eV.6131017922e2aeE11242n尔格波函数波函数由量子数由量子数n n，l l，mm规定，通常表示规定，通常表示为为nlm。nlm表示原子核外单电子空间运动表示原子核外单电子空间运动状态，即

26、原子的单电子空间波函数状态，即原子的单电子空间波函数称为称为原子轨道。原子轨道。 mml,ln,ml,ln,ml,n,rR,YrR,r,波函数的径向部分波函数的径向部分波函数的角度部分，波函数的角度部分，它是球谐函数它是球谐函数6.4 氢原子束缚态波函数氢原子束缚态波函数6.4 氢原子束缚态波函数氢原子束缚态波函数 另外，波函数还有一种不同的另外，波函数还有一种不同的标记方法标记方法：将：将l的值用的值用相应的字母来表示，对应如下：相应的字母来表示，对应如下： 这样，这样，100也可标记为也可标记为1s，即我们常说的，即我们常说的1s原子轨道。原子轨道。由于由于函数有两套函数有两套不同表示形式

27、不同表示形式（复函数和实函（复函数和实函数），所以波函数数），所以波函数nlm也将有两套不同表示形式。也将有两套不同表示形式。1s1000m0l1n复函数表示复函数表示:11z2p1212p2112p2102s2001m1m0m1l0m0l2n6.4 氢原子束缚态波函数氢原子束缚态波函数实函数表示实函数表示:1m1l2nyxpp21212112121211对应的对应的m值不确定值不确定6.4 氢原子束缚态波函数氢原子束缚态波函数6.4 氢原子束缚态波函数氢原子束缚态波函数思考：思考： 2p12p1是算符是算符 、 和和 的本征函数吗？的本征函数吗？ 2px2px是算符是算符 、 和和 的本征函

28、数吗？的本征函数吗？H2LzLH2LzL解：解：2p12p1和和211211是不同的标记形式，是不同的标记形式，211211是算符是算符 、 和和 的共同的本征函数，因此的共同的本征函数，因此2p12p1是算符是算符 、 和和的共同的本征函数。的共同的本征函数。H2LzLH2LzL2p12p1和和2p-12p-1是算符是算符 的具有的具有同一本征值同一本征值(-4(-413.6eV) 13.6eV) 的本征函数，则它们的线性组合所得函数也应是的本征函数，则它们的线性组合所得函数也应是 算算符具有同一本征值的本征函数。符具有同一本征值的本征函数。HH6.4 氢原子束缚态波函数氢原子束缚态波函数同

29、理，同理，2p12p1和和2p-12p-1是算符是算符 的具有的具有同一本征值同一本征值2 22的本的本征函数，则它们的线性组合所得函数征函数，则它们的线性组合所得函数2p-12p-1也应是也应是 算符算符 具有同一本征值的本征函数。具有同一本征值的本征函数。2L2L而，而，2p12p1和和2p-12p-1是算符是算符 的具有的具有不同一本征值不同一本征值的本征的本征函数函数( (本征值分别为本征值分别为和和) )，这样它们的线性组合所，这样它们的线性组合所得函数得函数2px2px就不是算符就不是算符 的本征函数。的本征函数。zLzL 复函数形式和实函数形式是线性组合的关复函数形式和实函数形式

30、是线性组合的关系，不是一一对应的关系。此外，实函数形式系，不是一一对应的关系。此外，实函数形式的解不是轨道角动量在的解不是轨道角动量在Z Z轴方向分量算符轴方向分量算符L Lz z的本的本征函数，而复函数形式的解是征函数，而复函数形式的解是L Lz z的本征函数，的本征函数，即只有复函数解所对应的态其轨道角动量在即只有复函数解所对应的态其轨道角动量在Z Z轴方向的分量有确定值。轴方向的分量有确定值。实函数形式和复函数形式的区别实函数形式和复函数形式的区别给定一个波函数的具体形式，如何判断量子给定一个波函数的具体形式，如何判断量子数数( (主要是主量子数主要是主量子数n和角量子数和角量子数l)

31、)的值的值: :例如：例如：sin2sineaZraZ281123aZr223决定决定n值值决定决定l值值决定决定|m|值值所以该波函数为：所以该波函数为：xy3d232核电荷数核电荷数 6.5 波函数和电子云的图形表示和电子云的图形表示 6.5.1 作图对象与作图方法作图对象与作图方法 原子轨道的波函数形式非常复杂原子轨道的波函数形式非常复杂, 表示成图形才便于表示成图形才便于讨论化学问题讨论化学问题. 原子轨道和电子云有多种图形原子轨道和电子云有多种图形, 为了搞清这为了搞清这些图形是怎么画出来的些图形是怎么画出来的, 相互之间是什么关系相互之间是什么关系, 应当区分两应当区分两个问题个问

32、题: 1. 作图对象作图对象 2. 作图方法作图方法 作图对象主要包括：作图对象主要包括： (1) 复函数还是实函数？复函数还是实函数？ (2) 波函数波函数 (即轨道即轨道)还是电子云？还是电子云？ (3) 完全图形还是部分图形？完全图形还是部分图形？ 完全图形有完全图形有: 波函数图波函数图 (r, ,) 电子云图电子云图| (r, ,) |2 部分图形有部分图形有: 径向函数图径向函数图R(r) 径向密度函数图径向密度函数图R2(r) 径向分布函数图径向分布函数图r2R2(r)即即D(r) 波函数角度分布图波函数角度分布图 Y（,） 电子云角度分布图电子云角度分布图 |Y（,）| 2作图

33、方法作图方法主要包括主要包括：函数函数-变量对画图变量对画图等值面（线）图等值面（线）图界面图界面图网格图网格图黑点图黑点图 有些图形只能用某一种方式来画有些图形只能用某一种方式来画, 有些图形则可能用几有些图形则可能用几种不同方式来画种不同方式来画. 作图对象与作图方法结合起来作图对象与作图方法结合起来, 产生了错产生了错综复杂的许多种图形综复杂的许多种图形. 采用列表的形式采用列表的形式, 可使这种关系变得一目了然可使这种关系变得一目了然: 关于各种图形的扼要说明关于各种图形的扼要说明 不企求用三维坐标系表示不企求用三维坐标系表示原子轨道和电子云在原子轨道和电子云在空间各空间各点的函数值点

34、的函数值, 只把函数值相同的空间各点连成曲面只把函数值相同的空间各点连成曲面, 就是等就是等值面图值面图(其其剖面是等值线图剖面是等值线图) ).电子云的电子云的等值面亦称等密度面等值面亦称等密度面. 显然显然, 有无限多层等密度面有无限多层等密度面, 若只画出若只画出“外部外部”的某一的某一等密度面等密度面, 就是电子云界面图就是电子云界面图. 哪一种等密度面适合于作为哪一种等密度面适合于作为界面界面? 通常通常的的选择标准是选择标准是: 这种等密度面形成的封闭空间这种等密度面形成的封闭空间(可可能有几个互不连通的空间能有几个互不连通的空间)能将电子总概率的能将电子总概率的90%或或95%包包围在内围在内(而不是这个等密度面上的概率密度值为而不是这个等密度面上的概率密度值为0.9或或0.95). 6.5.2 原子轨道和电子云的原子轨道和电子云的等值面图等值面图 氢原子氢原子3pz电子云界面图电子云界面图 原子轨道界面与电子云界面是同一界面原子轨道界面与电子云界面是