伽略金近似方法与数值方法的比较分析(II)

1、伽略金近似方法与数值方法的比较分析(II张敏1 段钰锋2 许彬1 张钧波1 王志永11南京理工大学动力工程学院,南京(2100942东南大学洁净煤发电和燃烧技术教育部重点实验室,南京(210096摘 要:在介绍伽略金近似方法基本概念的基础上,在结构化网格中,对稳态/非稳态热传导问题,同时进行数值解、精确解和近似解的计算。通过比较计算结果,得到了令人满足的一致性。这些充分证明伽略金近似方法的可靠性和实用性。 关键词:伽略金近似方法,数值方法,精确解在求解偏微分方程的众多方法中,伽略金近似方法是行之有效的方法之一。伽略金近似方法中,权函数的构造和选取是一个十分关键的问题。在此,我们给出两个热传导算

2、例,针对权函数的选取,给出近似解,并将其同数值解与精确解进行比较分析,为今后采用伽略金近似方法求解该类问题提供有价值的参考和帮助1-6。1. 基本概念和方程对于一个非稳态热传导问题,我们可以用下式来描述,(211,T T r t A r T r t g r t tk +=R内,t>0(1.1a (,s s T HT r t f r t S n+=处,t>0(1.1b (T F r =t=0,R内(1.1c 或者有,(21(,(,(,01(,LT r t A r T r t g r t kT r t T r t t+=区域R内(1.2a(,s i i s iT H T f r n B

3、 T r t +=i 边界s 处(1.2b式中T 为温度,L 是线性微分算子,B 是线性边值条件算子。选取近似试探解,T r t 为如下形式,01,(ni j j T r t r c r f t R =+区域内(1.3式中,试探函数(0r 为满足边界条件方程(1.2的非齐次部分,而试探函数(j r 满足齐次部分,即(0s B f r =(1.4a 01,2,j B j n =K(1.4b显然方程(1.3中试探解满足问题全部边界条件,但它并不一定满足微分方程(1.1。若将试探解代入微分方程(1.1就会有余量,因为只有近似试探解是精确解时,余量才为零。对于选定的试探函数有几个可调参数组成,通过对参

4、数j c 的调整,可使余量尽可能的小,则由此得到的解,对精确解而言可认为是一种很好的近似。为了确定未知系数j c ,伽略金法要求,在问题所讨论的区域内,余量的加权平均为零,即(01,(01,2,n i R nj j i Rj L T r t w r dV L r c r f t r dV i n=+= K (1.5式中,(i r 为权函数。通过上面关系式会得到一组用于确定n 个系数12,n c c c K 的代数方程。由方程式(1.5所示的表达式可作如下解释:它等价于表达式n L T 与试探函数系(j r 的全部函数正交。权函数(1,2,i r i n =K 可认为在区域R 内是完备的。这样,

5、如若把属于这个完备系的全部权函数i 都包括进去,则方程式(1.5成立的必要条件对应着问题的精确解。然而在伽略金法中,方程式(1.5考虑的只是这个函数系中的有限个数,因此,最终的解将是近似的。请注意,试探函数系(j r 和权函数(i r 是相同正交函数系。下面我们用一个稳态算例和一个非稳态算例予以说明。2. 一维稳态热传导算例分析在一维有限区域内,两侧边界为零度,区域内有非常数的内热源。稳态导热方程和边界条件数学描述为,2201d T AT Bx dxx +=<<(2.1a 001T x x =和(2.1b式中A 和B 是常数(A=B=1,用伽略金方法可得,(21200i x d T

6、 AT Bx x dx dx =+=% (2.2设单项式试探解为,(111(1T x c x c x x =% (2.3方程式(2.2中权函数为,(21i x x x x x =(2.4显然,试探/权函数(x 满足方程(2.1b 所示的边界条件。把上两式代入方程式(2.2有,121102(1(0x cAc x x Bx x x dx =+=(2.5积分有,13423101453410(/3/4/3(/4/5/3/40c Ax Ax x Bx c Ax Ax x Bx += (2.6因此得,(1541/1018B c A =(2.7由此得到单项式试探解为,(51141/1018B Tx x x

7、x x A =%(2.8该问题的精确解为,(1/21/2sin sin sin sin1B A x xT x x x A A =( (2.9此算例与参考文献6中,用里兹方法求得的结果完全相同,由于篇幅所限,在此我们就不赘述。3. 一维非稳态热传导算例分析一块平板,01x ,初始温度为(20,1T x t T x =;在时间0t >时,0x =处的边界维持绝热,1x =处的边界温度维持零度。现用伽略金法求平板内温度分布(,Tx t %的近似解,并与精确解(,T x t 作比较。该问题的数学描述为,(22,101,0T x t Tx t t x =<<> (3.1a 00,

8、0T x t x => (3.1b 01,0T x t =>(3.1c (2010,01T T x t x =(3.1d 将伽略金法用于式(3.1a ,对x 求积分得到,(212010i x TT x dx x t =% (3.2选单项式试探解为,(21010,1T x t T f t x T f t x =%( (3.3方程式(3.2/3.3中,试探/权函数为,(21i x x =(3.4函数(f t 仍是待定的。显然,上所选的试探解满足问题的初始条件及两个边界条件。积分式(3.2有,1220002(1/(10x T f x T f x dx = (3.5a 1335002(/3

9、(2/3/5/(20T x x f x x x f +=(3.5b 稍作运算之后可得(f t 的微分方程为,(5002df t f t t dt +=>(3.6(10f t t =(3.7(f t 的解为,(5/2t f t e =(3.8且单项式近似解(,Tx t %为, (5/220,/1t T x t T x e =% (3.9此问题的精确解可求得,(2031,/41cos n ntn n nT x t T e x = (3.10式中,(212n n +=(3.11表1对近似解与精确解作了比较。由表1可见,即便是单项式近似解,它与精确解也相当一致。要得到更为完善的近似解,可选更高阶

10、的试探解,其形式可为,(01,nni i t T x t T f t x =% (3.12其中,函数(i t 满足问题的边界条件,而函数(i f t (01if =可从常微分方程中求得,而该常微分方程是由对变量x 作偏积分的伽略金法中得到。表1 近似解与精确解的比较(/100T T T ×%x0.01t =0.1t =1t =0.20.6+1 +2-1 +5.5+4.4 +3.1我们在进行数值计算时,物性参数如下(单位为国际标准单位,001000.511w p T T k C =(3.13图1为三个不同时刻温度变化的曲线,图2为三个不同位置温度随时间变化的曲线。图3为t=0.18s 时刻,精确解与数值解的比较结果,图中背景云图为数值解,虚线为精确解。图4为t=0.18s 时刻,近似解与数值解的比较结果,图中背景云图为数值解,虚线为近似解。图5为t=0.18s 时刻,近似解与精确解的比较结果,图中背景云图