弹性力学试卷2017上学期答案及评分标准

1、2016-2017 第二学期弹性力学考试答案及评分标准概念问答题1、以应力作未知量，应满足什么方程及什么边界条件？答：以应力作为未知量应满足平衡微分方程、相容方程及边界条件。（5 分）2、平面问题的未知量有哪些？方程有哪些？答：平面问题有x、y、xy、x、y、xy、U、V 八个，方程有两个平衡方程, 个几何方程，三个物理方程。（5 分）3、已知x200Pa，y100Pa，xy50Pa及r100Pa，100Pa，试分别在图中所示单元体画出应力状态图4、简述圣维南原理答:如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相 同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有

2、显著的改变，但远处所受 的影响可以不计。（5 分）5、简述应变协调方程的物理意义。答：形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体一位移连续-几何方程一形 变协调条件。（2 分）形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。形变协调一对应的位移存在一位移必然连续；形变不协调对应的位移不存在不是物体实际存在的形变微分体变形后不 保持连续。（3 分）&刚体位移相应于什么应变状态。答：刚体位移相应于零应变状态，对平面问题为x=y=xy=0（ 5 分）7、简述最小势能原理，该原理等价于弹性力学的哪些基本方程？答：由位移变分方程可得300Pa，（2分）UXu Yv Zw dxdydz Xu

3、Yv Zw dSU Xu Yv Zw dxdydz Xu Yv Zw dS 0 或0其中为物体得总势能（形变势能和外力势能在之和），0称为最小势能原理，它表明物体处于平衡位置时，总势能的一阶变分为零。可以证明：在线 弹性体中，20,即在所有几何可能的位移中，实际的位移使总势能取最小值。最小势能原理等价于平衡微分方程和静力边界条件。（5 分）、已知下述应变状态是物体变形时产生的，试求各系数之间应满足的关系（5分）xA0A（X2y2）44x yyB0Bdx2y2）44x yxyC0Gxy（x2y2C2）应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件，即为固定边界。（15 分）解：2x2y2y2X2xyx

4、 y（2分）由题中给出的应变可得：222T2A112y2，则由相容条件可得：2A,2B112x2，12y22耳2xyx y12x23C1x23C1y2C1C23C1x23C1y2C1C2上式对任意 x，y 均成立，则有：12 3C1C142A 2B1C1C2A1A 2C2（3分）、试与出图中所示各边的精确边界条件，图中s、q 均为均匀分布荷载，AFUXu Yv Zw dxdydz Xu Yv Zw dSAF 边：u=0，v=0（2 分）AB 边：y=0,xy=0（2 分）xyEF 边:BC 边:l siny=0,xy=o（4 分）2（2分）22Txy2TycosxT2xyCD 边：（2 分）x

5、qscosssin222s2xxyxy yssin222Txy、2 22xy2yDE 边：（3 分）lm cos2scos2 s2ssin2 s2xyxy四、对于图中所示结构,l 远大于 h,已知2M3hqx823y y2h h2M 是集中弯矩，q 为均匀分布荷载，试证明它是圣维南条件下的解。（15）OI11l1r11111qrZZ/2尹/z丿1xy解:（1）（2）验证相容方程:应力分量：0，这里显然满足。（1 分）22（3）顶部 xh2h2解:yx2xy12My有0qx1 6yh h2（3分）边界条件0,h2h2xyxyxyy ydy0,0（2分）3一q成立 （2 分）43y2h2dyh 1

6、2Myh2h3dy，积分后为偶数，故为 0（2分）2y2hh2212Mydyh 3dy2hh2h2h2h24My3h3xydy 03yh2h2h2ydyh2h22q昇0,成立（2分）成立（3 分）试按逆解法推导轴对称问题的应力解和位移解（15分）应力数值轴对称一仅为 的函数，应力方向轴对称 一相应的应力函数TPbp，应力分量:d2dp0.（a）（3分）（1）相容方程丄）20pdp其中:d2dp2p）p221 d 1 d - P- dP PdP相容方程成为常微分方程，积分四次得2AinpBpInpC应力通解：将式(c)代入式(a)，A2B(1 2ln ) 2C,dP)0,dP的通解，PD(b)(

7、c)(3 分)AB(3 2ln )2C,(d)(3 分)(3) 应变通解：将应力(d)代入物理方程，得对应的应变分量的通解。应变|也为轴对称。(4) 求对应的位移：将应变代入几何方程，对应第一、二式分别积分,PP,uP1 UP Up f (D;U,7(P季 up)d卩护up,fi( P)。将UP,u代入第二式,p)1 UPP 分开变量，两边均应等于同一常量d ff1P P即得两个常微分方程,fi(P)Pd fi(PF,dPfi(P)UPF,Up0,d fd(3 分)F；d f()d得：f()代入up,uf()dF,K sind2f()f(0,其中I cos，得轴对称应力对应的位移通解,Uy (

8、1)-2(1)B (In2(1)CI cosK sin，4BUHI sinK cos。1)E(1 3 )B(e)(3 分)I , K为 x、y 向的刚体平移， H为绕 o 点的刚体转动角度。六、一端固定、另一端弹性支撑的梁，其跨度为 I，抗弯刚度 EI 为常数，弹簧 系数为 k,承受分布荷载 q(x)的作用(如图所示)。试用位移变分方程(或最小 势能原理)导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件( 15 分)vy解：用位移变分方程推导(1)梁内总应变能的改变为2U -lEJ20d2vdx2dxEJd2vdx2d2vdx2dx ( 1 分)(2) 外力总虚功为l0(3) 由位移变分方程

9、得ld2vd2vEJ22dx0dx2dx2q x vdx RAvl0qlq对上式左端运用分部积分得lEJ0d2vdx2d2vdx2dxEJEJEJvdxvdx坐d0dx2d2vdx2d2vdx2dvdxdvdx(1 分)(a) (1 分)dvdxiEJld3v0代入(a)式，经整理得dvd3vdxdx3d2vEJdx2由于变分0d3vdx3dx3l色dxdxdvdxv的任意性，式(b)成立的条件为d2vdx2EJ凶dx4dvkv(c)EJld4v0dx4dxx l(b)d4vEJ4q x vdx 0 dx4(3 分)dxd3vdx3(d)d2vdvd3vEJ2kv EJ3v 0(e)(3 分)dx(4)式(c)就是以挠度 v 表示的平衡微分方程。下面讨论边界条件。