单调性与最大(小)值-人教版必修一课件

1、第一章 集合和函数的概念1.3.1单调性与最大（小）值知识清单·课堂脉络1、 单调函数的定义设函数的定义域为，对于定义域内某一给定区间D上的任意两个自变量的值，当<时，都有（或），那么就说函数在这个区间上是增函数（减函数），这个区间叫做的单调区间.增函数或减函数叫做在这个区间上的单调函数，或者说在这个区间上具有（严格的）单调性. 注意：（1）、任意性：增减函数中，“任意两个自变量的值，”中“任意”两字绝不能丢掉；（2） 、有大小：，由大小，通常规定<，若在给定区间内存在，且，那么函数在此区间上不单调；（3） 、若函数的定义域由多个区间组成，那么，必须属于同一区间，例如函数

2、在上是减函数，在上也是减函数，但是在内不是减函数；（4） 、自变量取值之间的不等式关系和函数值的不等式关系正逆互推，即是增（减）函数，则.2、 单调性和单调区间如果函数在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.其中“定义域内某个区间D”即说明函数的单调区间是其定义域的子集.3、 单调区间的写法（1） 、一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“”而应该用“和”或“，”来连接，如函数在和上均是减函数，但不能说它在定义域上是减函数.（2） 、书写函数的单调区间时，区间端点的开闭没有严格的规定，若区间端点有意义，开闭都可以，若区间端点没有意义

3、，则必须写出开区间.例如：对于函数，其单调减区间可以写出，也可以写成，而对于函数，它的单调减区间只能写成和.4、 函数的最值（1） 、最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数M满足：对于任意的，都有；存在，使得，那么称M是函数的最大值.（2）、最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数m满足：对于任意的，都有；存在，使得，那么称m是函数的最大值.注意：最大（小）值的定义中，两个条件缺一不可，若只有第一个条件，M(m)不一定是最值，如，对于任意，都有成立，但1不是此函数的最大值.5、 函数的最值与值域、单调性之间的关系（1） 、对于一个函数来说，其值域是确定的，但不一定有最值，若存在最

4、值，则最值一定是值域中的一个数值，如函数的值域确定，但没有最值.（2） 、若函数在闭区间上是增函数，则在上的最小值为，最大值为；若函数在闭区间上是减函数，则在上的最小值为，最大值为.基础练习·夯实基础1、 下列命题正确的是（ ）.A、 定义在上的函数，若存在，当<时，有，那么在上为增函数B、 定义在的函数，若有无穷多对，当<时，有，那么在上为增函数C、 若函数在区间上为减函数，在区间上也是减函数，那么在区间上就一定是减函数D、 若函数在区间上的增函数，且，则<【解析】A、B中都没有强调对任意的都成立，C中以函数为例，虽然在及上均为减函数，但在整个定义域上却不具有单调

5、性，D中为自变量取值之间的不等式关系和函数值的不等式关系正逆互推.答案：D2、 如下图所示，分别为函数和的图像，试写出函数和的单调增区间. （1） （2）【解析】根据函数图像的上升和下降趋势，确定增减区间：（1） 、由图像上可知，(1,4和(4,6内呈上升趋势，所以增区间为(1,4和(4,6；（2） 、由图像上可知，和内呈上升趋势，所以增区间为和.注意：多个单调性相同的区间的写法，和区间端点是否有意义，确定区间端点的开闭.3、 下图为函数，的图像，指出它的最大值、最小值.【解析】观察图像可知，图像的最高点事(3,3)，最低点是(-1.5,-2)，因此函数在x=3时取得最大值，即=3；在x=-1

6、.5时取得最小值，即=-2.难点透析·加深思考1、 定义法判断或证明函数的单调性步骤：取值，在指定区间任取，令<（或<）；作差变形，将（或）进行化简变形，使之容易判断其符号；定号，对变形后的差进行判断，确定（或）的符号，若不能直接定号，则需要进一步讨论或再细分区间，直到可以确定差的符号为止；判断，判断函数究竟符合增函数还是减函数的定义，从而得出结论.例题1、证明：在其定义域上是增函数.【证明】用函数的单调性定义证明，严格按照以上四个步骤进行.由题意可知得定义域为.设，是定义域上任意两个实数，且<，则=.<，-<0，<0，即，在其定义域上是增函数.例

7、题2、证明函数在0,1上是减函数.【证明】由题意可知得定义域为.设，是上任意两个实数，且<，则=.0<<，>0，函数在0,1上是减函数.2、 求函数单调区间的基本方法（1） 、定义法，即“取值作差变形定号判断”（最基本方法）.（2） 、图像法：直接根据函数图像的升、降趋势进行判断.（3） 、直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性.例题3、已知在(0,1)上是增函数，求实数a的取值范围.【解析】在没有学导数之前，第一要想到的是用定义证明单调性.设时，=，由在(0,1)上是增函数可知，a3.例题4、画出下列函数图像并写出函数的单调区间.（1） 、；（2） 、；【解析】

8、（1）、，即据图可知，函数的单调增区间为和，单调减区间为和.函数可以看做，为偶函数，相当于将y轴右侧对折到y轴左侧.（2） 、当时，有-1x3，函数=.当时，有x<-1或x>3，函数=，即据图可知单调增区间为和，单调减区间为和.函数相当于函数将x轴下方的图像对折到x轴上方.例题5、求函数的单调区间.【解析】可以用分离常量的方法，可知定义域为和，因为x为增函数，为减函数，为增函数，为增函数，所以f(x)在和上为增函数.注意：基本初等函数的单调性（1） 、正比例函数y=kx(k0)当k>0时，函数y=kx在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx在定义域R上是减函数.（

9、2） 、一次函数y=kx+b(k0)当k>0时，函数y=kx+b在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx+b在定义域R上是减函数.（3） 、反比例函数当k>0时，函数的单调递减区间是，不存在单调递增区间；当k<0时，函数的单调递增区间是，不存在单调递减区间.（4） 、二次函数，当a>0时，f(x)在上是单调递减，在上单调递增；当a<0时，f(x)在上是单调递增，在上单调递减.例题6、下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是（ ）.A、 y=3-xB、C、D、【解析】A中函数y=3-x在定义域R上都是减函数；B中在上为减函数，在上为增函数；C中在为增函

10、数，在上为减函数；D中对称轴为x=1，所以在（0,2）上不具有单调性，故答案为B.注意：函数单调性常用的结论（1） 、函数y=f(x)与函数y= -f(x)的单调性相反.（2） 、函数y=f(x)与函数y= f(x)+c（c为常数）的单调性相同.（3） 、当a>0时，函数y=a·f(x)与函数y=f(x)的单调性相同；当a<0时，函数y=a·f(x)与函数y=f(x)的单调性相反.（4） 、若f(x)0，则函数y=f(x)与函数，的单调性相同.（5） 、当f(x)的值恒为正或恒为负时，函数和函数f(x)的单调性相反.（6） 、若f(x)>0，g(x)>

11、;0，且在公共区间上都是增（减）函数，则y=f(x)g(x)在此区间上是增（减）函数，若f(x)<0，g(x)<0，且在公共区间上都是增（减）函数，则y=f(x)g(x)在此区间上是减（增）函数.（7） 、在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数.例题7、求函数的单调区间.【解析】，函数定义域为，-x在定义域上为减函数，由于a>0，在和分别是减函数，减函数+减函数=减函数，所以的单调减区间为，.3、 复合函数单调性的求法一般地，对于复合函数y=f(g(x)，如果t=g(x)在(a,b)上是单调函数，并且y=f

12、(t)在(g(a),g(b)或者(g(b),g(a)上也是单调函数，那么y=f(g(x)在(a,b)上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”.t=g(x)y=f(x)y=f(g(x)增增增增减减减减增减增减例题8、已知，试讨论函数的单调性.【解析】函数是由和复合而成，在上为单调增函数，在上为单调减函数，而，在上为单调减函数，在上为单调增函数，当u1时，x -2或x2；当u1时，-2 x 2，所以-2和2也是分界点.由复合函数的单调性列表如下：增增减减减增增减减增减增故函数的递增区间为，递减区间为，.4、 抽象函数的单调性没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数. 常用两种方法，一种是“凑”，凑定

13、义或凑已知；一种是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论的关系，使得条件和结论可以联系起来.例题9、已知函数f(x)对任意的x、yR，总有，且当x>0时，f(x)<0，f(1)=.（1） 、求证：f(x)在R上是减函数；（2） 、求f(x)在-3,3上的最大值、最小值.【解析】（1）、设、，且<，又<，->0，有，f(x)在R上是减函数.（2） 、令x=y=0，得f(0)=0，再令y= -x，得f(x)=-f(-x)，由（1）可知f(x)在R上是减函数，f(x)在-3,3上的最大值为f(-3)，最小值为f(3)，f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(

14、1)=3f(1)=-2，f(-3)=-f(3)=2，故f(x)在-3,3上的最大值为2，最小值为-2.例题10、设f(x)是定义在上的函数，且当x>1时，f(x)>0；对任意实数x，y都有，若f(5)=1，试解不等式.【解析】设、，且<，又<，>1，f(x)在上为增函数. 又f(5)=1，f(25)=f(5)+f(5)=2，又f(x)在上为增函数，.综上，原不等式的解集为.（此题中函数单调性的正逆互推）5、 对勾函数的单调性函数的图像如右图所示，虚线所示函数为y=x.(x0，先取、，且<，有=，其中和的符号均可以确定，特殊情况下若，则时=0，可以将讨论区间分

15、为，).证明如下：设、，且<，则-<0，>0，0<<a，-a<0.=>0，即.在上单调递减.同理可证在上单调递增；在递增；在递减.6、 二次函数在闭区间上的最值问题二次函数的最值问题主要讨论的就是所求最值区间与对称轴之间的位置关系.例题11、已知，当f(x)的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值.(1)、0,3；（2）、-1,1；（3）、【解析】，可知函数f(x)的对称轴为x=2，最小值为-7，图像如图所示.（1） 、，f(x)在单调递减，在上单调递增.可得=5，=-7；（2） 、由图像可知在区间-1,1上=20，=-4；（3） 、由图像可知在区间上=-4，无最大值.例题12、已知二次函数在区间上最小值为-2，求a的值.【解析】函数的对称轴为x=a.（1） 、当a<0，f(x)在上单调递增，=a，a=-2；（2） 、当a>3，f(x)在上单调递减，=9-5a=-2，a=<3（舍去）；（3） 、当0a3，f(x)在上单调递减，在上单调递增，=-2，a=2或a=-1（舍去），得a=2；综上：a=2或a=-2.7、 函数单调性的应用 函数单调性的应用主要应用的是利用单调性的互为逆推性质，判断函数值的大小关系或自变量的大小关系.